Integración de Funciones Vectoriales

Objetivos

En esta sección aprenderás cómo sacar la integral de una función vectorial.

Concepto

Raymond lanza un globo meteorológico con una cámara adjunta. Él planea sacar fotos de la tierra desde la estratósfera. Necesita recuperar su cámara cuando vuelva a la tierra, por lo que necesita saber su posición durante el viaje. Él creó una función vectorial para modelar la velocidad de la cámara con respecto al tiempo. ¿Puede utilizar la función para encontrar otra función que describe la posición de su cámara?

Mira Esto

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Orientación

Puedes integrar las funciones vectoriales utilizando las mismas técnicas que usas para integrar funciones escalares y funciones paramétricas. Cuando integras una función vectorial, integras los componentes horizontales y verticales de manera separada. El resultado de la integración será una nueva función vectorial o, si calcular una integral definida, un nuevo vector.

Por lo tanto, si $\vec{F} (t) = ( f (t), g (t) )$ y $\vec{F} (t)$ es una función vectorial, entonces $\int \vec{F} (t) = \left( \int f(t) dt, \int g(t) dt \right)$ .

Como con las funciones escalares y paramétricas, la función vectorial $\vec{F} (t)$ es la integral de la función vectorial $\vec{G} (t)$ si y solo si la derivada de $\vec{F} (t)$ es igual a $\vec{G} (t)$ .

Ejemplo A

Encuentra la integral de la función vectorial $\vec{F} (t) = (t^2, - \cos \ t)$ .

Solución: $\int \vec{F} (t) = \left( \int t^2, \int - \cos \ t \right)$

Encuentra las integrales de los componentes horizontales y verticales:

$\int t^2 dt = \frac{1}{3} t^3 + C \ \int - \cos t \ dt = -\sin t + D$

Por lo tanto, tienes

$\int \vec{F} (t) = \left( \frac{1}{3} t^3 + C, -\sin t + D \right)$

Recuerda, puedes utilizar todas las técnicas que aprendiste para integrar funciones escalares para integrar cada componente de una función vectorial.

Ejemplo B

Para encontrar la integral definida de una función vectorial evalúa cada componente de la función separadamente. Tu respuesta será un solo vector.

Encuentra el valor de la integral definida $\int\limits_{0}^{2} \vec{F} (t) \ dt$ cuando $\vec{F} (t) = \left( 2t, \frac{1}{2} t^2 \right)$ .

Solución: Primero, encuentra las integrales definidas para los componentes horizontales y verticales.

$\int \limits_{0}^{2} 2t \ dt = \left[ t^2 \right]_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4 \ \int \limits_{0}^{2} \frac{1}{2} t^2 \ dt = \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{2} t^2 \ dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{2^3 - 0^3}{3} \right] = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

La integral definida de esta función es el vector $\left( 4, \frac{4}{3} \right)$ .

Ejemplo C

Las integrales de una función vectorial son muy útiles para ingenieros, físicos y otras personas que tratan con conceptos como fuerza, trabajo, momentum, velocidad y movimiento. Por ejemplo, la velocidad de un objeto se puede describir como la integral de una función vectorial que describe la aceleración del objeto. Esto es porque la aceleración se define como el índice de cambio de la velocidad de un objeto. La aceleración es la derivada de la velocidad y la velocidad es la integral de la aceleración.

Si la aceleración de un objeto se puede describir con la función vectorial (-1, 5), encuentra la función vectorial que describe su velocidad.

Solución:

$\vec{A} (t) = (-1, 5) \ \vec{V} (t) = \int \vec{a} (t) \ dt$

Entonces, para encontrar la función de la velocidad, encuentra las integrales de los componentes horizontales y verticales de la función de la aceleración.

$\int \vec{A} (t) \ dt = \left( \int -1 \ dt, \int 5 \ dt \right) = \left( -t+C, 5t + D \right) \ \vec{V} (t) = (-t + C, 5t + D)$

Ahora tienes una función vectorial que describe la velocidad del objeto en un momento determinado, de acuerdo a su aceleración.

Análisis del Problema de la Sección

La velocidad describe cómo cambia la posición de un objeto con respecto al tiempo. Esto significa que la velocidad muestra el índice y la dirección de cambio de la posición del vector, por lo que la velocidad es la derivada de la posición. De la definición de una integral, esto significa que una función vectorial que describe la posición de un objeto es la integral de una función vectorial que describe la velocidad del mismo objeto.

Raymond ha modelado la velocidad de su cámara después del despegue como $\vec{V} (t) = (t + 12, -6 t^2 + 18 t)$ . Él puede integrar para encontrar una función vectorial que describirá el trayecto que tomará la cámara. Él medirá el tiempo en horas.

Por lo tanto, $\vec{D} (t) = \int \vec{V} (t) \ dt$ . Él integra los componentes horizontales y verticales de manera separada y descubre que:

$\int t +12 dt = \frac{1}{2} t^2 + 12 t + C \ \int -6t^2 + 18 t \ dt = -2t^3 + 9t^2+K$

Entonces, $\vec{D} (t) = \left( \frac{1}{2} t^2 + 12 t + C, -2t^3 + 9 t^2 + K \right)$ .

Vocabulario

Integral - También conocida como la “antiderivada”, la integral de $f(x)$ es una función por la que $f(x)$ es su derivada.

Velocidad - La rapidez y dirección en que se mueve un objeto.

Aceleración - El índice en el que la rapidez y la dirección de un objeto cambian.

Vector - Una cantidad que expresa tanto la magnitud y la dirección. Puedes definir un vector en términos de su magnitud y su ángulo, o en términos de sus extremos finales.

Escalar - Una cantidad que expresa magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el peso es un escalar. La rapidez es un escalar pero la velocidad es un vector.

Función Vectorial - Una función que recibe un escalar como una entrada y vuelve a su extremo final del vector como una salida.

Práctica Guiada

1. Dada la función vectorial, encuentra la integral.

$\vec{F} (t) = (e^{2t}, 4 \sin 2t)$

2. Encuentra la integral definida de la siguiente función vectorial.

$\vec{F} (t) = \left( 3t^2, \frac{1}{t} \right) \ \int \limits_{.1}^{e} \vec{F} (t) \ dt$

3. La función vectorial $\vec{A} (t) = (t^2, \cos \ t)$ describe la aceleración de un objeto. ¿Cuál es la función vectorial que describe la velocidad del objeto?

Respuesta:

$\vec{F} (t) = (e^{2t}, 4 \sin \ 2t) \ \int \vec{F} (t) \ dt = \left( \int e^{2t} dt, \int 4 \sin 2t \ dt \right) \ \int e^{2t} dt = \frac{1}{2} e^{2t} + C \ \int 4 \sin 2t \ dt = -2 \cos 2t + K \ \int \vec{F} (t) \ dt = \left( \frac{1}{2} e^{2t} + C, -2 \cos 2t + K \right)$

$\vec{F} (t) = \left( 3t^2, \frac{1}{t} \right) \ \int \limits_{.1}^{e} \vec{F} (t) \ dt = \left( \int \limits_{.1}^{e} 3t^2 \ dt, \int \limits_{.1}^{e} \frac{1}{t} \ dt \right) \ \int \limits_{.1}^{e} 3t^2 \ dt = [t^3]_{.1}^{e} = e^3 - .1^3 \approx 20.08 \ \int \limits_{.1}^{e} \frac{1}{t} \ dt = [\ln \ t]_{.1}^{e} = 1 - (-2.3) = 3.3 \ \int \limits_{.1}^{e} \vec{F} (t) \ dt = (20.08, 3.3)$

$\vec{A} (t) = (t^2, \cos t) \ \vec{V} (t) = \int \vec{A} (t) \ dt \ \int \vec{A} (t) \ dt = \left( \int t^2 \ dt, \int \cos t \ dt \right) \ \int t^2 \ dt = \frac{1}{3} t^3 + C \ \int \cos t \ dt = \sin t + K \ \vec{V} (t) = \left( \frac{1}{3} t^3 + C, \sin t + K \right)$

Práctica

Utiliza las siguientes funciones vectoriales desde #1 a #10.

$\vec{F} (t) = \left ( t^2, \frac{1}{t} \right )$
$\vec{G} (t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$
$\vec{H} (t) = (t+1, t^2)$
$\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$
$\vec{M} (t) = (e^t, \sin t)$

Desde #1 a #5, encuentra la integral indefinida de la función.

1. $\vec{F} (t)$

2. $\vec{G} (t)$

3. $\vec{H} (t)$

4. $\vec{K} (t)$

5. $\vec{M} (t)$

Desde #6 a #10, calcula cada integral definida.

6. $\int \limits_{2}^{5} \vec{F} (t) \ dt$

7. $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \vec{G} (t) \ dt$

8. $\int \limits_{0}^{5} \vec{H} (t) \ dt$

9. $\int \limits_{0}^{10} \vec{K} (t) \ dt$

10. $\int \limits_{0}^{\pi} \vec{M} (t) \ dt$

Para #11 y #12, la función vectorial $\vec{A} (t) = (5t, t^2)$ describe la aceleración de un objeto.

11. ¿Cuál es la función vectorial que describe la velocidad del objeto?

12. ¿Cuál es la velocidad del objeto en el tiempo $t=2$ si la velocidad inicial del objeto es $\vec{V} (0) = (0, 0)$ ?

Para #13 y #14, la función vectorial $\vec{V} (t) = ( t^3, \sin t)$ describe la velocidad de un objeto.

13. ¿Cuál es la función vectorial que describe la posición del objeto?

14. ¿Dónde está el objeto en el tiempo $t =\pi$ si $\vec{D} (0) = (2, 5)$ ?

15. Si la función vectorial $\vec{A} (t) = (\sin t, 5)$ describe la aceleración de un objeto con $\vec{V} (0) = (0, 0)$ y $\vec{D} (0) = (0, 0)$ , ¿dónde está el objeto en el tiempo $t= \frac{\pi}{2}$ ?

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