Utilización de las Funciones Vectoriales para Describir el Movimiento Parabólico

Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo utilizar funciones vectoriales para resolver problemas que involucran el movimiento parabólico. Esta sección te ayudará a entender algunos de los cálculos necesarios para el examen de física AP Physics C.

Concepto

Jill tiene un trabajo de prácticas en el curso de golf de su colegio. Un día en su hora de almuerzo decide ver cuán lejos puede golpear una pelota de golf. Si la pelota deja el tee a 58 metros por segundo en un ángulo de 45 grados, ¿qué ecuación puede describir su vuelo? ¿Cuán lejos irá antes de tocar el suelo?

Mira Esto

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Orientación

Puedes utilizar funciones vectoriales, sus derivadas y sus integrales para modelar el movimiento de las parábolas. Cuando alguien lanza un proyectil, su velocidad inicial se puede representar con un vector donde la magnitud es la rapidez general y el ángulo es la dirección del proyectil. Después del lanzamiento, el movimiento del proyectil se puede dividir en componentes verticales y horizontales. Para problemas simples de física, asumes que el componente horizontal de la velocidad se mantiene constante, mientras que la aceleración de la gravedad afecta el componente vertical.

Si conoces la velocidad original y el índice de aceleración, es posible crear una función vectorial que describa la posición del objeto en el espacio como una función vectorial de tiempo. Puedes utilizar esta función para encontrar la altura máxima o el punto donde el objeto toca el suelo. Las funciones vectoriales hacen estos cálculos muy simples.

Ejemplo A

En el Coliseo Romano, un gladiador lanza su red hacia un oponente a través de la arena. La red se suelta de su mano cuando está a 2 metros del suelo. Comienza a moverse a 5 m/s en un ángulo de 60 grados. Encuentra las funciones vectoriales que describen su posición como una función de $t$ .

Solución: Primero, escribe la función vectorial para la aceleración de la red. Asume que la velocidad horizontal es constante. Puedes utilizar $-9.8 \ m/s^2$ como la aceleración debido a la gravedad. Eso significa que $\vec{A}(t) = (0, -9.8)$ .

La velocidad es la integral de la aceleración. Por lo tanto,

$\vec{V}(t) = \int \vec{A}(t) dt \ \vec{V}(t) = (0t + C, -9.8t + K)$

Cuando estás lidiando con una función vectorial puedes pensar en las constantes de un vector. En este caso, representa la velocidad original de la red. Puedes calcular $(C, K)$ con la magnitud y el ángulo de la velocidad inicial al encontrar los componentes $i$ y $j$ del vector.

$\Big \| v_0 \Big \| = 5, \theta = 60^\circ \ \cos \theta = \frac{i}{\Big \| v_0 \Big \|}, \sin \theta = \frac{j}{\Big \| v_0\Big \| } \ \cos(60) = \frac{i}{5} \ i=\frac{5}{2} \ \sin(60) = \frac{j}{5} \ j = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

Entonces, la velocidad inicial se puede describir por el vector $\left(\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ y la función vectorial que describe la velocidad de la red como una función de tiempo como $\vec{V}(t) = \left(\frac{5}{2}, -9.8t + \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ .

La velocidad es la índice en que cambia la distancia. Esto significa que puedes encontrar la función vectorial para la posición de la red al sacar la integral de la función vectorial por la velocidad.

$\vec{D}(t) = \int \vec{V} (t) dt \ \vec{D}(t) = \left(\frac{5}{2}t+C, \frac{-9.8}{2}t^2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}t+K \right)$

En este caso, el vector constante (C, K) será la posición inicial de la red. El gladiador suelta la red a una altura de 2 metros, por lo que la posición inicial para la red es $(0, 2)$ . Tu función vectorial para la distancia que ha viajado la red con respecto al tiempo será:

$\vec{D} (t) = \left(\frac{5}{2}t, \frac{-9.8}{2}t^2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2} t+2 \right ).$

Si has estudiado física, te darás cuenta cuánto se parece el trayecto vertical de esta función vectorial a la ecuación de la distancia: $d = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ . La diferencia es que la ecuación que aprendiste cuando recién comenzaste a estudiar física solo trata con el movimiento en una dimensión. Las funciones vectoriales te permiten aplicar los principios de mecanismos en dos o más dimensiones.

Ejemplo B

Una vez que tienes las funciones vectoriales que describen la aceleración del proyectil, la velocidad y la posición, puedes utilizarlos para encontrar más información sobre el vuelo del objeto. Por ejemplo, puedes encontrar la altura máxima que alcanzó la red del gladiador y en qué momento alcanzó esa altura.

Solución: Porque el movimiento de un proyecto se afecta por la gravedad, su velocidad vertical disminuirá cuando la aceleración de la gravedad afecte su vuelo. La velocidad vertical será cero en el máximo de arco justo antes de que el objeto comience a volver a la tierra con una velocidad negativa.

Entonces, para encontrar la altura máxima de la red del gladiador, necesitarás encontrar el tiempo en que la velocidad vertical es 0.

$\vec{V}(t) = \left(\frac{5}{2}, -9.8t + \frac{5 \sqrt{3}}{2} \right) \ -9.8t + \frac{5 \sqrt{3}}{2} = 0 \ -9.8t = -\frac{5 \sqrt{3}}{2} \ t = .44$

En el segundo 0,44 de su vuelo, l red alcanzará su altura máxima. Para descubrir la altura que alcanza la red, evalúa la función vectorial que expresa distancia cuando $t=.44$ .

$\vec{D} (.44) = \left(\frac{5}{2} (.44), \frac{-9.8}{2} (.44)^2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2} (.44) + 2 \right) \ \vec{D} (.44) = (1.1,2.96)$

La red alcanzará su máximo a una altura de 2,96 metros. Alcanzará este máximo a 1,1 metros de distancia del gladiador.

Ejemplo C

También puedes utilizar funciones vectoriales para determinar cuando y donde tocará el suelo un proyectil. El proyectil alcanza la tierra cuando el componente vertical de la función de la distancia es igual a cero. ¿Cuándo y dónde alcanza el suelo la red del gladiador?

Solución: Si te devuelves al problema de la red del gladiador, puedes ver que el componente vertical de la función de la distancia es

$0=\frac{-9.8}{2}t^2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2} t+2$

Utiliza la fórmula cuadrática para resolver y descubrirás que

$0 = \frac{-9.8}{2}t^2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2} t + 2 \ \frac{-\frac{5 \sqrt{3}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 -4 \left(\frac{-9.8}{2}\right)}2} {2 \left(\frac{-9.8}{2}\right)} = 1.2186$

Fíjate que en este caso no tiene sentido considerar la respuesta negativa de 0,3349 porque el tiempo debe ser positivo. Por lo que la red aterriza cuando han pasado 1,2186 segundos. Para encontrar cuán lejos vuela la red, evalúa la porción horizontal de la función de la distancia cuando $t=1.2186$ .

$\vec{D} (t) = \left(\frac{5}{2}t, \frac{-9.8}{2} t^2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2} t + 2 \right) \ \frac{5}{2}(.82) = 3.05$

La red alcanzará el suelo a 3,05 metros de distancia del gladiador.

Análisis del Problema de la Sección

Jill sabe que la fuerza de gravedad actuará en su pelota de golf a $-9.8 \ m/s^2$ , por lo que la función vectorial que representa la aceleración es (0, -9.8).

Para encontrar la función vectorial para la velocidad, ella necesitará escribir la velocidad inicial de la pelota en términos de $i$ y $j$ . Ella puede utilizar las definiciones de seno y coseno para dividir en partes los componentes.

La magnitud de su vector de velocidad inicial era de 50 m/s y el ángulo de lanzamiento fue en 45 grados, por lo que

$\Big \| v_0 \Big \| = 58, \theta=45^\circ \ \cos 45 = \frac{i}{58} \ i = 29 \sqrt{2} \ \sin 45 = \frac{j}{58} \ j = 29 \sqrt{2}$

La velocidad inicial de la pelota de golf puede describirse por el vector $\left(29 \sqrt{2}, 29 \sqrt{2} \right)$ .

La función vectorial que describe la velocidad de la pelota de golf es:

$\vec{V}(t) = \left(29 \sqrt{2}, 29 \sqrt{2} - 9.8t \right)$

Para encontrar la función vectorial $\vec{D} (t)$ que describe la posición de la pelota, Jill puede sacar la integral de la función de velocidad. Si asume que la posición inicial de su pelota de golf es (0, 0), ella descubrirá que $\vec{D}(t) = \left(29 \sqrt{2t}, 29 \sqrt{2t} - \frac{9.8}{2}t^2 \right)$ . Ella puede utilizar estas funciones vectoriales para encontrar la distancia que recorrerá su pelota.

La pelota de golf alcanzará el suelo cuando el componente vertical de su vector de posición sea igual a cero.

$0=29\sqrt{2} t - \frac{9.8}{2} t^2$

Jill puede utilizar la fórmula cuadrática para encontrar el tiempo en que la pelota alcanza el suelo.

$t = \frac{-29 \sqrt{2} \pm \sqrt{\left(29 \sqrt{2}\right)^2 -4 \left(-\frac{9.8}{2}\right)(0)}}{2 \left(-\frac{9.8}{2}\right)} \ t=0 \ t=8.37$

La pelota toca el suelo después de 8,37 segundos. Sustituye este tiempo en la ecuación de la distancia para encontrar la distancia horizontal en que viaja la pelota.

$\vec{D}{^\prime}(t) = \left ( 29 \sqrt{2}t, 29 \sqrt{2}t - \frac{9.8}{2}t^2 \right )\ 29 \sqrt{2} (8.37) = 343.27$

Su pelota viaja 343,27 metros desde el tee.

Vocabulario

Integral - También conocida como una “antiderivada”, la Integral de $f(x)$ es una función para la que $f(x)$ es la derivada.

Velocidad - La rapidez y la dirección en la que se mueve un objeto.

Aceleración - El índice en que cambia la rapidez y la dirección de un objeto.

Vector - Una cantidad que expresa tanto la magnitud como la dirección. Puedes definir una vector en términos de su magnitud y su ángulo o en términos de sus extremos finales.

Escalar - Una cantidad que expresa magnitud pero no dirección. Por ejemplo, el peso es un escalar. La rapidez es un escalar pero la velocidad es un vector.

Función vectorial - Una función que recibe a un escalar como una entrada y vuelve del extremo final de un vector como una salida.

Práctica Guiada

Un astronauta viaja al planeta púrpura donde la aceleración debido a la gravedad es $4 \ m/s^2$ . La atmósfera extraña y turbia del planeta causa que los proyectiles disminuyan en $.5 \ m/s$ cada segundo en que vuelan. Él lanza una pelota de futbol a $14 \ m/s$ en un ángulo de 30 grados.

1. Escribe las funciones vectoriales para describir la velocidad y posición de la pelota de futbol mientras vuela.

2. ¿En qué momento la pelota alcanza la punta de su arco? ¿En qué momento llega al máximo?

3. ¿Cuándo aterriza la pelota? ¿En qué momento?

Respuestas:

1. Primero, encuentra la función para la aceleración. Para encontrar la función de la velocidad, puedes integrar esta función.

$\vec{A}(t) = (-.5, -4) \ \vec{V}(t) = \int \vec{A}(t) dt + v_0$

Encuentra los componentes $i$ y $j$ del vector de velocidad original.

$\cos(30) = \frac{i}{14} \ i = 7 \sqrt{3} \ \sin(30) = \frac{j}{14} \ j=7 \ v_0 = \left(7 \sqrt{3}, 7 \right)$

Ahora puedes encontrar la velocidad de la función.

$\vec{V}(t) = \int \vec{A}(t) dt + v_0 \ \vec{V}(t) = \left(\int -.5 dt \int -4dt \right) + \left(7 \sqrt{3}, 7 \right) \ \vec{V}(t) = (-.5t, -4t) + \left(7 \sqrt{3}, 7 \right) \ \vec{V}(t) = \left(-.5t + 7 \sqrt{3}, -4t + 7 \right) \\$

Encuentra la integral de $\vec{V}(t)$ para encontrar la función $\vec{D}(t)$ . Según el problema original, puedes asumir que la posición inicial de la pelota de fútbol era (0, 0).

$\vec{D}(t) = \int \vec{V}(t) dt \ \vec{D}(t) = \left(\int -.5t + 7 \sqrt{3} dt, \int -4t + 7 dt \right) \ \vec{D}(t) = \left(-.25t^2 + 7 \sqrt{3}t, -2t^2 + 7t \right) \\$

2. La pelota de fútbol alcanzará la punta de su arco cuando la velocidad vertical es cero.

$0 = -4t + 7 \ \frac{7}{4} = t$

Junta este tiempo con el componente de altura de la ecuación de la distancia para encontrar la altura máxima.

$\left(-2 \left(\frac{7}{4}\right)^2 \right) + \frac{7}{4}\left(7\right) = height \ -\frac{49}{8} + \frac{49}{4} = height \ \frac{49}{8} = 6.13 \ m$

La pelota de fútbol alcanza su máximo a 6,13 metros del suelo. Para encontrar la distancia horizontal en que viaja la pelota para alcanzar su máximo, evalúa la porción horizontal de la función en $t=\frac{7}{4}$ .

$-.25 \left(\frac{7}{4}\right)^2 + 7 \sqrt{3} \left(\frac{7}{4}\right) = 20.45$

La pelota habrá viajado 20,45 metros cuando alcance el máximo de su arco.

3. La pelota de fútbol aterrizará cuando su posición vertical sea 0. Por lo tanto, para encontrar el tiempo en que aterrizará, descubre cuándo el componente vertical de la función vectorial será 0.

$-2t^2 + 7t = 0 \ t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(2)(0)}}{2(-2)} \ t = \frac{7}{2} \ or \ = 0$

La pelota estará en suelo cuando $t=0$ (que conociste del problema) y cuando $t=\frac{7}{2}$ . Encuentra la posición horizontal en $t=\frac{7}{2}$ al evaluar la posición horizontal de la ecuación de la distancia para $t=\frac{7}{2}$ .

$-.25 \left ( \frac{7}{2} \right )^2 + 7\sqrt{3} \left ( \frac{7}{2} \right ) = 39.37$

La pelota viajará 39,37 metros antes de tocar el suelo del planeta púrpura.

Práctica

Melody patea una pelota a $20 \ m/s$ en un ángulo de 42 grados. Melody está en la tierra cuando la aceleración debido a la gravedad es $9.8 \ m/s^2$ .

1. Encuentra la función vectorial que modela la aceleración de la pelota como una función de tiempo.

2. Encuentra la función vectorial que modela la velocidad de la pelota como una función de tiempo.

3. Encuentra la función vectorial que modela la posición de la pelota como una función de tiempo.

4. ¿En qué momento la pelota alcanza la punta de su arco? ¿En qué posición llega al máximo?

5. ¿Cuándo aterriza la pelota? ¿Cuál es la distancia que recorrerá?

William lanza un borrador a $7 \ m/s$ a su amigo que está al otro lado de la sala. El borrador deja su mano cuando está a 1,5 metros sobre el suelo a 60 grados de la horizontal. William está en la Tierra donde la aceleración debido a la gravedad es de $9.8 \ m/s^2$ .

6. Encuentra la función vectorial que modela la aceleración del borrador como una función de tiempo.

7. Encuentra la función vectorial que modela la velocidad del borrador como una función de tiempo.

8. Encuentra la función vectorial que modela la posición del borrador como una función de tiempo.

9. ¿En qué momento el borrador alcanza la punta de su arco? ¿En qué posición llega al máximo?

10. Asumiendo que el amigo de William no atrapa el borrador y este aterriza en el suelo, ¿cuándo aterrizará el borrador? ¿Qué distancia recorrerá?

William se ha mudado a Marte donde la aceleración debido a la gravedad es de solo $3.75 \ m/s^2$ . Una vez más, él lanza un borrador a $7 \ m/s$ a su amigo. El borrador deja su mano cuando está a 1,5 metros sobre el suelo en un ángulo de 60 grados de la horizontal.

11. Encuentra la función vectorial que modela la aceleración del borrador como una función de tiempo.

12. Encuentra la función vectorial que modela la velocidad del borrador como una función de tiempo.

13. Encuentra la función vectorial que modela la posición del borrador como una función de tiempo.

14. ¿En qué momento el borrador alcanzará la punta de su arco? ¿En qué posición llega al máximo?

15. Asumiendo que el amigo de William no atrapa el borrador y este aterriza en el suelo, ¿cuándo aterrizará el borrador? ¿Qué distancia recorrerá?

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