Movimiento en una Curva: Tangente y Vectores Normales

Objetivos

En esta sección, practicarás cómo encontrar la unidad tangente y los vectores unitarios normales en una función vectorial que representa el movimiento de un objeto en dos dimensiones.

Concepto

Moira diseña montañas rusas para parques temáticos. Está en la primera etapas del diseño de una nueva montaña y necesita entender cómo varias fuerzas actuarán en los rieles a través del trayecto. Ahora mismo, ella no necesita saber cuánta fuerza está involucrada, solo necesita saber la dirección. ¿Cómo puede saber los cambios que hará la dirección de la montaña cuándo $t=1$ ?

Mira Esto

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Orientación

Algunas veces necesitas separar la forma del trayecto de un objeto, pero no necesitas saber cuán rápido se mueve el objeto a largo del trayecto. En estos casos, un vector unitario tangente te permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico. El tangente unitario tiene la misma dirección como un vector tangente tradicional, pero tiene magnitud de 1.

Para encontrar el vector unitario tangente, encuentra el vector tangente y luego divide por la magnitud del vector. Esto te deja con un vector que tiene dirección, pero una magnitud de 1. Para una función vectorial $\vec{F} (t)$ , el vector unitario tangente $\vec{T}(t)$ se puede describir como:

$\vec{T} (t) = \frac{\vec{F} {^\prime}(t)}{ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|} .$

Ejemplo A

Encuentra la ecuación para el vector unitario tangente de la función $\vec{F} (t) = (t^2, 5 t)$ . Luego, evalúa $t=5$ .

Solución: Primero, encuentra la derivada de la función.

$\vec{F} (t) = (t^2, 5t) \ \vec{F} {^\prime}(t) = (2t, 5)$

Ahora, encuentra la magnitud de $\vec{F} {^\prime}(t)$ :

$\Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{(2t)^2 + 5^2} = \sqrt{4t^2 + 25}$

Separa $\vec{F} {^\prime} (t)$ en sus componentes horizontales y verticales y divide por la magnitud para encontrar el tangente unitario, $\vec{T} (t)$ .

$\frac{\vec{F} {^\prime} (t)}{\Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \|} = \frac{2 ti + 5 j}{\sqrt {4t^2 + 25}} \ = \frac{2t \sqrt{4t^2 + 25}}{4t^2 + 25} i + \frac{5 \sqrt {4t^2 + 25}}{4t^2 + 25} j$

Para cada $t$ , $\vec{T} (t)$ entregará el vector unitario tangente para ese punto en la curva. Cuando evalúas el vector unitario tangente en un tiempo específicos, $t$ , encontrarás la dirección en que se mueve el objeto en ese momento en particular, pero no encontrarás su rapidez.

Para evaluar $t=5$ , sustituye 5 por $t$ .

$\vec {T} (5) = \frac{2 (5) \sqrt{4(5)^2 + 25}}{4(5)^2 + 25} i + \frac{5 \sqrt{4(5)^2 + 25}}{4(5)^2 + 25} j \ \vec {T} (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} i + \frac{\sqrt{5}}{5} j \ \vec {T} (5) = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5} \right)$

Ejemplo B

Una vez que has encontrado el vector unitario tangente de una función vectorial, también puedes encontrar el vector unitario normal. El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando estás tratando de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.

Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.

Puedes encontrar el vector unitario normal $\vec{N} (t)$ al dividir la derivada del vector unitario tangente por la magnitud de la derivada del vector unitario tangente. Eso es,

$\vec {N} (t) = \frac{\vec{T} {^\prime} (t)}{\Big \| \vec{T} {^\prime} (t) \Big \|} .$

Encuentra el vector unitario normal para la función vectorial $\vec{F} (t) = (t, t^2)$ .

Solución: Primero, encuentra el vector unitario tangente para la función.

$\vec {T} (t) = \frac {\vec {F} {^\prime} (t)}{\Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \|} \ \vec {T} (t) = \frac {i + 2 tj}{\sqrt{1^2 + (2 t)^2}} = \frac {i + 2 tj}{\sqrt{4t^2 + 1}} \ \vec {T} (t) = \frac {1}{\sqrt{4t^2 + 1}} i + \frac {2t}{\sqrt{4t^2 + 1}} j$

Para encontrar el vector normal, encuentra las derivadas para los componentes horizontales y verticales de $\vec {T} (t)$ .

$\vec{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{4t^2+1}} i + \frac{2t}{\sqrt{4t^2+1}} j \ \vec{T} {^\prime} (t) = \left[ -\frac{1}{2} (4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} (8t) \right] i + \left[ 2 (4t^2+1)^{-\frac{1}{2}}+ 2t \left( -\frac{1}{2} (4t^2+1)^{-\frac{3}{2}}\right) (8t) \right] j \ \vec{T} {^\prime} (t) = \left[ -4t(4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right] i + \left[ 2(4t^2+1)^{-\frac{1}{2}}-8t^2 \left( (4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right) \right] j$

Encuentra la magnitud de $\vec{T}{^\prime} (t)$ , luego divide. Tu ecuación final será bastante desordenada, pero está bien dejarla en su forma poco simplificada.

$\Big \| \vec{T} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{\left[ -4t (4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 2(4t^2+1)^{-\frac{1}{2}}-8t^2 \left( (4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right) \right]^2} \ \vec{N} (t) = \frac{\left[ -4t(4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right] i + \left[ 2(4t^2+1)^{-\frac{1}{2}}-8t^2 \left( (4t^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} \right) \right] j}{\sqrt{\left[ -4t(4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 2(4t^2+1)^{-\frac{1}{2}}-8t^2 \left( (4t^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right) \right]^2}}$

Ejemplo C

Evalúa el vector unitario normal para ejemplos B cuando $t=5$ .

Solución: Esto será una ecuación bastante desordenada y está bien que utilices tu calculadora para resolverla. En general, el vector unitario normal se utiliza en aplicaciones de física y de ingeniería y, en ámbitos profesionales, utilizarás una calculadora o un programa similar para calcular su valor.

$\vec{N} (5) = \frac{\left[ -4(5) (4(5)^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right] i + \left[ 2(4(5)^2+1)^{-\frac{1}{2}} - 8(5)^2\left( (4(5)^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right) \right] j }{\sqrt{\left[ -4(5)(4(5)^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 2(4(5)^2+1)^{-\frac{1}{2}}-8(5)^2 \left((4(5)^2+1)^{-\frac{3}{2}} \right) \right]^2}} \ \vec{N} (5) \approx -.9950i+.0995j .$

Tu respuesta puede varias ligeramente dependiendo de cómo y dónde lo redondees. Sin embargo, puedes revisar si estás cerca utilizando la fórmula de la distancia para asegurarte que la longitud de tu vector unitario normal es 1, o dentro de un margen de error de 1.

Análisis del Problema de la Sección

Uno de las montañas de la nueva montaña rusa de Moira se puede modelar por la función vectorial $\vec {F} (t) = \left ( \frac{t}{4 \pi}, 23 \sin t \right )$ donde los ángulos se miden en radianes. A ella le gustaría saber cómo cambia la dirección de la montaña cuando $t=1$ . Primero, ella encuentra el vector unitario tangente para la curva.

$\vec{F} (t) = \left ( \frac{t}{4 \pi}, 23 \sin t \right ) \ \vec{F} {^\prime} (t) = \frac{1}{4 \pi} i + (23 \cos t) j \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{\frac{1}{16 \pi^2}+529 \cos^2 t} \ \vec{T} (t) = \frac{1}{4 \pi \sqrt{\frac{1}{16 \pi^2}+529 \cos^2 t}} i + \frac{(23 \cos t)}{\sqrt{\frac{1}{16 \pi^2}+529 \cos^2 t}}j$

Ella lo evalúa en $t=1$ :

$\vec{T} (t) = \frac{1}{4 \pi \sqrt{\frac{1}{16 \pi^2}+529 \cos^2 1}} i + \frac{(23 \cos 1)}{\sqrt{\frac{1}{16 \pi^2}+529 \cos^2 1}}j$

Y descubre que, en ese momento, el vector unitario tangente es aproximadamente $T (t) = (.00640, .99998)$ . Este vector entrega la dirección instantánea de movimiento en $t=1$ . Moira puede utilizar esta información para descubrir el momentum de los pasajeros y para asegurarse de que la montaña rusa puede utilizarse de manera segura.

Vocabulario

Vector Unitario Tangente - Un vector, tangente en la curva, que entrega la dirección de cambio para una función vectorial, pero no la magnitud de ese cambio. Puedes encontrarlo utilizando la ecuación: $\vec{T} (t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F} {^\prime}(t) \Big \|}$ .

Vector Unitario Normal - Un vector con una magnitud de uno que es perpendicular al vector unitario tangente y a la curva. Puedes encontrarlos utilizando la ecuación $\vec{N} (t) = \frac{\vec{T}{^\prime} (t)}{\Big \| \vec{T} {^\prime}(t) \Big \|}$ .

Función Vectorial - Una función que recibe un escalar como una entrada y vuelve al extremo final de un vector como una salida.

Práctica Guiada

Para los siguientes problemas, utiliza la función $\vec{F} (t) = (2t, t^3)$ .

1. Encuentra la ecuación para el vector unitario tangente de $\vec {F} (t)$ .

2. Encuentra la ecuación para el vector unitario normal de $\vec{F} (t)$ .

3. Encuentra el valor aproximado para el vector unitario tangente cuando $t=2$ .

4. Encuentra el valor aproximado para el vector unitario normal cuando $t=2$ .

Respuestas:

$\vec{F} {^\prime} (t) = 2i+3t^2 j \ \Big \| \vec{F}{^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{2^2+(3t^2)^2} = \sqrt{4+9t^4} \ \vec{T} (t) = \frac{2}{\sqrt{4+9t^4}} i + \frac{3t^2}{4+9t^4}j$

$\vec{T} {^\prime} (t) = \left[ -36t^3 (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right] i \ + \left[ 6t (4+9t^4)^{-\frac{1}{2}}(3t^2) \left( -\frac{1}{2}\right) (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}}(36t^3)\right] j \ \vec{T}{^\prime}(t) = \left[ -36t^3 (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right] i + \left[ 24t(4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right] j \ \Big \| \vec{T}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{\left[ -36t^3(4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 24t (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2} \ \vec{N} (t) = \frac{\vec{T}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{T}{^\prime} (t) \Big \|} \ \vec{N} (t) = \frac{\left[ -36t^3(4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right]i}{\sqrt{\left[ -36t^3 (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 24t (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2}} \ + \frac{\left[ 24t (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right] j}{\sqrt{\left[-36t^3(4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 24t (4+9t^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2}}$

$\vec{T} (2) = \frac{2}{\sqrt{4+9(2)^4}} i+ \frac{3(2)^2}{\sqrt{4+9(2)^4}}j \approx . 1644i + .9864j \ \vec{T} (2) \approx (.1644, .9864)$

$\vec{N} (2) = \frac{\left[ -36(2)^3 (4+9(2)^4)^{-\frac{3}{2}} \right] i}{\sqrt{\left [ -36(2)^3 (4+9(2)^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 24(2)(4+9(2)^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2}} \ + \frac{\left[ 24(2) (4+9(2)^4)^{-\frac{3}{2}} \right] j}{\sqrt{\left[-36(2)^3 (4+9(2)^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2 + \left[ 24(2) (4+9(2)^4)^{-\frac{3}{2}} \right]^2}} \ \vec{N} (2) \approx . - 9864i+.1644j \ \vec{N} (t) \approx (-.9864, .1644)$

Práctica

Desde #1 - #4, utiliza la función $\vec{F} (t) = (t-1, t^2)$ .

1. Encuentra la ecuación para el vector unitario tangente de $\vec{F} (t)$ .

2. Encuentra la ecuación para el vector unitario normal de $\vec{F} (t)$ .

3. Encuentra el valor aproximado para el vector unitario tangente cuando $t=4$ .

4. Encuentra el valor aproximado para el vector unitario normal cuando $t=4$ .

Desde #5 - #8, utiliza la función $\vec {G} (t) = (6 \sin \ t, 6 \cos \ t)$ .

5. Encuentra la ecuación para el vector unitario tangente de $\vec{G} (t)$ .

6. Encuentra la ecuación para el vector unitario normal de $\vec{G} (t)$ .

7. Encuentra el valor para el vector unitario tangente cuando $t=\pi$ .

8. Encuentra el valor para el vector unitario normal cuando $t=\pi$ .

Desde #9 - #12, utiliza la función $\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$ .

9. Encuentra la ecuación para el vector unitario tangente de $\vec{K} (t)$ .

10. Encuentra la ecuación para el vector unitario normal de $\vec{K} (t)$ .

11. Encuentra el valor aproximado para el vector unitario tangente cuando $t=2$ .

12. Encuentra el valor aproximado para el vector unitario normal cuando $t=2$ .

Desde #13 - #16, utiliza la función $\vec{M} (t) = (e^t, t)$ .

13. Encuentra la ecuación para el vector unitario tangente de $\vec{M} (t)$ .

14. Encuentra la ecuación para el vector unitario normal de $\vec{M} (t)$ .

15. Encuentra el valor para el vector unitario tangente cuando $t=1$ .

16. Encuentra el valor para el vector unitario normal cuando $t=1$ .

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