Movimiento a lo largo de la Curva: Longitud del Arco

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular la longitud del arco para las funciones vectoriales. Aprenderás sobre la relación entre la longitud del arco y la rapidez y utilizarás la longitud del arco de una función vectorial para encontrar el vector de posición de un objeto.

Concepto

Ari está manejando en las Montañas Apalaches en Pensilvania hacia Nueva York. Él se pregunta si la longitud real del camino concuerda con las distancias señaladas. ¿Cómo puede descubrir la distancia que está viajando en el camino que va hacia arriba y debajo de la montaña?

Mira Esto

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Orientación

Para calcular la longitud de una línea, puedes utilizar el Teorema de Pitágoras o la fórmula de la distancia. Cuando encuentra la longitud de una curva para una función vectorial, utilizas una fórmula similar. Esto es porque lo que realmente estás haciendo es encontrar la suma de piezas indefinidamente pequeñas de la curva, tan cortas que casi son líneas diagonales, y sumándolas juntas. La fórmula de la longitud de una curva de una función vectorial $\vec{F} (t) = (f(t), \ g(t))$ es:

$L = \int \limits_{a}^{b} \sqrt{f{^\prime}(t)^2 + g{^\prime}(t)^2} dt$

Esta ecuación entrega la longitud en términos de los cambios horizontales y verticales de la función a través del tiempo. Si has trabajado con funciones vectoriales antes, te darás cuenta que la expresión $\sqrt{f {^\prime}(t)^2 + g{^\prime} (t)^2}$ es equivalente a la magnitud del vector tangente a la curva. Esto entrega otra forma de escritura de la fórmula para la longitud de la curva de una función vectorial: $L = \int \limits_{a}^{b} \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| \ dt$ .

Dependiendo de la curva, estas integrales pueden volverse bastante complicadas. Algunas veces, serás capaz de manejar una identidad trigonométrica o una sustitución $u$ En otros momentos, tu única opción será calcularlos numéricamente, utilizando una calculadora científica o una herramienta de cálculo integral que encuentres en línea. En general, es una buena manera de intentar esto de manera escrita, pero si estás utilizándolas para aplicaciones de física o ingeniería, usualmente utilizarás una calculadora para aproximarte a una solución numérica.

Ejemplo A

Encuentra la longitud de la curva para la función vectorial $\vec{F} (t) = (5t, 2t^2)$ desde $t=0$ a $t=5$ .

Solución: Primero, encuentra $\vec{F}{^\prime}(t)$ y su magnitud:

$\vec{F}{^\prime}(t) = (5, 4t) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{25+16t^2}$

Establece la integral para encontrar la longitud:

$L = \int \limits_{0}^{5} \sqrt{25+16t^2} dt$

Con un poco de manipulación, puedes convertir esto en una integral de la forma $\int \limits \sqrt{a^2 + u^2} du$ .

$L = \int \limits_{0}^{5} \sqrt{(25+16t^2) \left( \frac{16}{16} \right) } dt \ L = \int \limits_{0}^{5} 4 \sqrt{\frac{25}{16} + t^2} dt \ L = 4 \left[ \frac{t}{2} \sqrt{\frac{25}{16}+t^2} + \frac{25}{32} \ln \Bigg| t + \sqrt{\frac{25}{16} + t^2} \Bigg| \right]_{0}^{5}$

Ahora puedes sustituir y resolver.

$L = 4 \left[ \frac{5}{2} \sqrt{\frac{25}{16} + 25} + \frac{25}{32} \ln \Bigg| 5 + \sqrt{\frac{25}{16} + 25} \Bigg| \right] - 4 \left[ 0 + \frac{25}{32} \ln \Bigg| \frac{5}{4} \Bigg| \right] = 58.085$

Ejemplo B

Encuentra la longitud de la curva para la función vectorial $\vec{F} (t) = (\ln t, t^2)$ desde $t=1$ a $t=5$ . Puedes utilizar una calculadora o un recurso en línea como WolframAlpha.

Solución: Primero, encuentra $\vec{F}{^\prime} (t)$ y su magnitud:

$\vec{F}{^\prime}(t) = \left( \frac{1}{t}, 2t \right) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{\left( \frac{1}{t} \right)^2 + (2t)^2} = \sqrt{\frac{1}{t^2} + 4t^2}$

Establece su integral definida para encontrar la longitud de la curva:

$L = \int \limits_{1}^{5} \sqrt{\frac{1}{t^2} + 4t^2} dt .$

Utiliza una calculadora o un programa de tu elección para resolver. De acuerdo a WolframAlpha.com, la longitud de esta curva es 24,1176 unidades.

Ejemplo C

Puedes utilizar la longitud de una curva para encontrar el vector de posición para un objeto después de que ha cruzado esa sección de una curva.

Para crear una fórmula para encontrar la posición en la curva $\vec{F} (t)$ de acuerdo a la longitud del arco, primero debes encontrar la función $s(t)$ , donde $s (t) = \int \limits_{0}^{t} \Big \| \vec{F}{^\prime}(u) \Big \| du$ . Luego, evalúas $s (t)$ y resuelves la ecuación resultante para $t$ . Finalmente, juntas esta ecuación otra vez con $\vec{F} (t)$ para volver a parametrizar la función vectorial original en términos de $s$ en vez de $t$ . Puedes ver cómo este proceso funciona al examinar una función vectorial relativamente simple, una que describe un trayecto circular.

Según la función $\vec{F} = (5 \sin t, 5 \cos t)$ , encuentra la ubicación de un objeto cuando ha viajado $5 \pi$ unidades.

Solución: Primero, encuentra la magnitud del vector tangente para la función.

$\vec{F}{^\prime} (t) = (5 \cos \ t, -5 \sin \ t) \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{ (5 \cos \ t)^2+(-5 \sin \ t)^2} \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{25 \cos^2 \ t + 25 \sin^2 \ t} \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{25 (\cos^2 \ t + \sin^2 \ t)} \ \Big \| \vec{F}{^\prime} (t) \Big \| = 5$

Ahora, escribe la función para la longitud del arco, $s (t)$ .

$s (t) = \int \limits_{0}^{t} 5 \ du$

Evalúa $s(t)$ :

$s (t) = \int \limits_{0}^{t} 5 \ du \ s = \left[ 5 \ u \right]_{0}^{t} = 5 t$

Resuelve $t$ :

$s = 5t \ t= \frac{s}{5}$

Ahora, vuelve a parametrizar la función original en términos de $s$ :

$\vec{F} (t) = (5 \sin t, 5 \cos t) \ t = \frac{s}{5} \ \vec{F} (t) = \left ( 5 \sin \frac{s}{5}, 5 \cos \frac{s}{5} \right )$

Si sabes la distancia que ha recorrido un objeto a lo largo de la curva $\vec{F} (t)$ , puedes encontrar su posición y cuánto tiempo ha pasado.

Para encontrar cuánto tiempo le toma un objeto viajar $5 \pi$ unidades y dónde se encuentra ese objeto en este momento, simplemente sustituye.

$t = \frac{s}{5} \ t = \frac{5 \pi} {5} \ t = \pi$

$\pi$ unidades de tiempo han pasado, y el objeto está en:

$\vec{F} (\pi) = (5 \sin \pi, 5 \cos \pi) = (0, -5)$

Análisis del Problema de la Sección

Ari puede modelar su viaje en la montaña con una ecuación vectorial $\vec{F} (t) = \left( t, \sin \left( \frac{t}{10} \right) \right)$ . Él utiliza la fórmula para la longitud de la curva para calcular la distancia en que viaja a lo largo de la curva desde 0 a $20 \pi$ .

$\vec{F} {^\prime} (t) = \left( 1, \frac{1}{10} \cos \frac{t}{10} \right) \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \|= \sqrt{1^2+ \left( \frac{1}{100} \cos^2 \frac{t}{10} \right)} \ L = \int \limits_{0}^{20 \pi} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{100} \cos^2 \frac{t}{10} \right)} dt$

Ari utiliza su calculadora y determina que ha viajado cerca de 62.9886 millas al llegar hasta la punta de la montaña. Para el mismo tiempo, su distancia en el mapa es de $20 \pi$ , cerca de 62.8318. Eso significa que su viaje es un poco más largo de lo que señala el mapa.

Vocabulario

Función Vectorial - Una función que recibe un escalar como una entrada y vuelve al extremo final de un vector como una salida.

Longitud del Arco de una Función Vectorial - Para encontrar la longitud de un arco de una función vectorial, utiliza la fórmula:

$L = \int \limits_{a}^{b} \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| dt .$

Reparametrización - Reescribir una función vectorial o paramétrica en términos de una nueva variable.

Práctica Guiada

Puedes utilizar una calculadora para los siguientes problemas.

1. ¿Qué distancia recorrerá un proyectil que se mueve a lo largo del trayecto $\vec{F} (t) = (6t, 30t - 5t^2)$ cuando $t=5$ ?

2. En el tiempo 0, un objeto comienza a moverse a lo largo de la curva $\vec{F} (t) = (3 \sin t, 3 \cos t)$ . ¿Cuánto tiempo habrá pasado una vez que el objeto ha viajado $\frac{3 \pi}{2}$ unidades?

3. En el tiempo 0, un objeto comienza a moverse a lo largo de la curva $\vec{F} (t) = (15 \cos t, 15 \sin t)$ . ¿Cuál es su posición cuando han viajado $\frac{15 \pi}{2}$ unidades?

Respuestas:

$\vec{F} {^\prime} (t) = (6,30 - 10 t) \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{(6)^2 + (30 - 10 t)^2} = \sqrt{36 + 900 - 600 t + 100t^2} \ = \sqrt{936 - 600t + 100t^2} \ L = \int \limits_{0}^{5} \sqrt{936 - 600t + 100t^2} dt = 74.3882 \ units$

$\vec{F} {^\prime} (t) = (3 \cos t, -3 \sin t) \ \Big \| \vec{F}{^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{(3 \cos t)^2 + (-3 \sin t)^2} \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{9 \cos^2 t+ 9 \sin^2 t} \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = 3$

$s (t) = \int \limits_{0}^{t} 3 \ du \ s (t) = 3t \ t = \frac{s}{3}, s = \frac{3 \pi}{2} \ t= \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\vec{F} {^\prime} (t) = (-15 \sin t, 15 \cos t) \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (t) \Big \| = \sqrt{225 \sin^2 t + 225 \cos t^2} = 15 \ s(t) = \int \limits_{0}^{t} 15 \ du \ s= 15 t \ t =\frac{s}{15} \ \vec{F} \left( \frac{s}{15} \right) = \left( 15 \cos \left( \frac{s}{15} \right), 15 \sin \left( \frac{s}{15} \right) \right) \ \vec{F} \left( \frac{\frac{15 \pi}{2}}{15} \right) = \left( 15 \cos \frac{\pi}{2}, 15 \sin \frac{\pi}{2} \right) \ \vec{F} \left ( \frac{\pi}{2} \right ) = (0, 15)$

Práctica