La Medición de la Curvatura a lo largo de la Curva

Objetivos

En esta Sección aprenderás cómo encontrar la curvatura en el plano en un punto de tiempo determinado y cómo comparar esa curvatura con otros planos.

Concepto

Nina planea una caminata familiar en un parque estatal cercano. Su abuela le pidió encontrar la caminata más fácil que llevará a la familia hasta la cima de la montaña. En el pasado, Nina se dio cuenta que los caminos más curvos tiende a ser los caminos más dificultosos. ¿Cómo puede comparar Nina la curvatura de ambos caminos en el mapa para poder elegir el menos curvo?

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Orientación

La curvatura es el término matemático que describe el cómo cambia la dirección de una curva de manera rápida y radical. El radio de la curvatura te permite comparar el cambio en una curva particular al cambio en un círculo de un cierto radio. Entonces, por ejemplo, si un lugar en una curva tiene un radio de curvatura igual a 5, se curvea al mismo tiempo que un círculo con un radio de 5 curvos.

El radio de curvatura se define como $\frac{1}{k(t)}$ , donde $k(t)$ es la curvatura de la curva. Puedes calcular la curvatura de una función vectorial $\vec{F}(t)$ utilizando la fórmula $k(t) = \frac{\Big \| \vec{T}{^\prime}(t) \Big \|}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|}$ , donde $\vec{T}(t)$ es el vector unitario normal de la curva.

Ejemplo A

Encuentra $k(t)$ para $\vec{F}(t) = (5 \sin t, 5 \cos t)$

Solución: Primero, encuentra $\vec{F}{^\prime}(t)$ y utilízalo para encontrar el vector unitario tangente para $\vec{F}(t)$ :

$\vec{F}{^\prime}(t) = (5 \cos t, -5 \sin t) \ \Big\|\vec{F}{^\prime}(t)\Big\|= \sqrt{(5 \cos t)^2 + (-5 \sin t)^2} = 5 \ \vec{T}(t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big\|\vec{F}{^\prime}(t)\Big\|} = \frac{(5 \cos t)i - (5 \sin t)j}{5} = (\cos t)i - (\sin t)j = (\cos t, - \sin t)$

Luego, encuentra $\vec{T}{^\prime}(t)$ :

$\vec{T}{^\prime}(t) = (-\sin t, -\cos t)$

Ahora, encuentra la magnitud de $\vec{T}{^\prime}(t)$ :

$\Big \| \vec{T}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (-\cos t)^2} = 1$

Divide la magnitud de $\vec{T}{^\prime}(t)$ por la magnitud de $\vec{F}{^\prime}(t)$ para encontrar el valor de $k(t)$ :

$k(t) = \frac{\Big\| \vec{T}{^\prime}(t)\Big\|}{\Big\| \vec{F}{^\prime}(t)\Big\|} = \frac{1}{5}$

Fíjate que la función original, $\vec{F}{^\prime}(t)$ describe un círculo con un radio de 5 y que su curvatura es $\frac{1}{5}$ .

La curvatura de un círculo con un radio de $r$ siempre es $k(t) = \frac{1}{r}$ . Los círculos con radios más pequeños se curvean más rápidamente, mientras que los círculos con radios más grandes se curvan más lentamente. Esto significa que los círculos más grandes tienen valores más pequeños para $k(t)$ .

Los círculos tienen la misma curvatura en cada punto de su curva. Sin embargo, la mayoría de las curvas tienen diferentes valores para $k$ en diferentes puntos a lo largo de la curva.

Ejemplo B

Encuentra $k(1)$ y $k(5)$ para la función vectorial $\vec{F}(t) = (5t, t^2)$ .

Solución: Primero, encuentra la ecuación general para $k(t)$ al encontrar $\vec{F}{^\prime}(t), \vec{T}(t), \vec{T}{^\prime}(t)$ , y las magnitudes de $\vec{F}{^\prime}(t)$ y $\vec{T}{^\prime}(t)$ .

$\vec{F}{^\prime}(t) = (5, 2t) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{5^2 + (2t)^2} = \sqrt{25 + 4t^2} \ \vec{T}(t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|} = \frac{5i + 2tj}{\sqrt{25 + 4t^2}} \ \vec{T}(t) = \frac{5i}{\sqrt{25 + 4t^2}} + \frac{2tj}{\sqrt{25 + 4t^2}} \ \vec{T}(t) = \left(\left(\frac{5}{\sqrt{25 + 4t^2}}\right), \left(\frac{2t}{\sqrt{25 + 4t^2}}\right)\right) \\$

Luego de que tienes $\vec{T}(t)$ , encuentra $\vec{T}{^\prime}(t)$ y su magnitud. Ya que después juntarás los valores, no necesitas gastar tanto tiempo simplificando.

$\vec{T}(t) = \left(5(25+4t^2)^{-\frac{1}{2}}, 2t(25+4t^2)^{-\frac{1}{2}}\right) \ \vec{T}{^\prime}(t) = \left((-20t)(25+4t^2)^{-\frac{3}{2}}, -8t^2(25+4t^2)^{-\frac{3}{2}} + 2(25+4t^2)^{-\frac{1}{2}}\right) \ \Big \| \vec{T}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{\left((-20t)(25+4t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-8t^2(25+4t^2)^{-\frac{3}{2}} + 2(25+4t^2)^{-\frac{1}{2}}\right)^2}$

Establece tu fórmula para $k(t)$ :

$k(t)=\frac{\Big \| \vec{T}{^\prime}(t)\Big \|}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t)\Big \|} \ = \frac{\sqrt{\left((-20t)(25+4t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-8t^2(25+4t^2)^{-\frac{3}{2}} + 2(25+4t^2)^{-\frac{1}{2}}\right)^2}}{\sqrt{25+4t^2}}$

Luego, evalúa en 1 y 5:

$k(t)=\frac{\Big \| \vec{T}{^\prime}(1)\Big \|}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(1)\Big \|} \ = \frac{\sqrt{\left((-20(1))(25+4(1)^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-8(1)^2(25+4(1)^2)^{-\frac{3}{2}} + 2(25+4(1)^2)^{-\frac{1}{2}}\right)^2}}{\sqrt{25+4(1)^2}} \ = \frac{10}{29 \sqrt{29}} \approx .0640 \ k(5)=\frac{\Big \| \vec{T}{^\prime}(5)\Big \|}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(5)\Big \|} \ = \frac{\sqrt{\left((-20(5))(25+4(5)^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-8(5)^2(25+4(5)^2)^{-\frac{3}{2}} + 2(25+4(5)^2)^{-\frac{1}{2}}\right)^2}}{\sqrt{25+4(5)^2}} \ = \frac{2}{125 \sqrt{5}} = .00716$

Una medida más grande de la curvatura significa que la curva cambia más rápidamente. La curva cambia más rápidamente en $t=1$ de lo que lo hace en $t=5$ .

Ejemplo C

Según las curvas $\vec{F}(t) = (t, \ln(t))$ y $\vec{G}(t) = (t, t^3)$ , ¿cuál es más curva en $t=1$ ?

Solución: Encuentra $k(1)$ para cada función vectorial y luego compáralas.

Primero, encuentra $\vec{T}(t)$ de $\vec{F}(t)$ :

$\vec{F}{^\prime}(t) = \left(1, \frac{1}{t}\right) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t)\Big \| = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{t}\right)^2} = \sqrt{1+ \frac{1}{t^2}} \ \vec{T}(t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big\| \vec{F}{^\prime}(t)\Big\|} = \left(\left(1+ \frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}}, t^{-1} \left(1+ \frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$

Luego encuentra $\vec{T}{^\prime}(t)$ y su magnitud para $\vec{F}(t)$ :

$\vec{T}{^\prime}(t) = \left(\left(1+ \frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(t^{-3}), \left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{3}{2}}t^{-4} -\left(1+ \frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}}t^{-2}\right) \ \Big \| \vec{T}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{\left(\left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(t^{-3})\right)^2 + \left(\left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{3}{2}}t^{-4} - \left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}} t^{-2}\right)^2}$

Encuentra $k(t)$ para $\vec{F}(t)$ y evalúa en $t=1$ :

$k(t)=\frac{\Big\|\vec{T}{^\prime}(t)\Big\|}{\Big\|\vec{F}{^\prime}(t)\Big\|}= \frac{\sqrt{\left(\left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(t^{-3})\right)^2 + \left(\left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{3}{2}}t^{-4} - \left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}} t^{-2}\right)^2}}{\sqrt{1+ \frac{1}{t^2}}} \ k(1)=\frac{\Big\|\vec{T}{^\prime}(1)\Big\|}{\Big\|\vec{F}{^\prime}(1)\Big\|}= \frac{\sqrt{\left(\left(1+\frac{1}{1^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(1^{-3})\right)^2 + \left(\left(1+\frac{1}{1^2}\right)^{-\frac{3}{2}}1^{-4} - \left(1+\frac{1}{1^2}\right)^{-\frac{1}{2}}1^{-2}\right)^2}}{\sqrt{1+ \frac{1}{1^2}}}$

La curvatura de $\vec{F}(t)$ cuando $t=1$ es $\frac{\sqrt{2}}{4} \approx .3536$ .

Ahora repite el proceso con $\vec{G}(t)$ .

$\vec{G}{^\prime}(t) = (1, 3t^2) \ \Big\|\vec{G}{^\prime}(t)\Big\| = \sqrt{(1)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{1+9t^4} \ \frac{\vec{G}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{G}{^\prime}(t) \Big \|} = \left(\left(1+9t^4\right)^{-\frac{1}{2}}, 3t^2(1+9t^4)^{-\frac{1}{2}}\right) \ \vec{T}{^\prime}(t) = \left((-18t^3)(1+9t^4)^{-\frac{3}{2}}, -54t^5 (1+9t^4)^{-\frac{3}{2}} + 6t(1+9t^4)^{-\frac{1}{2}}\right) \ \Big\|\vec{T}{^\prime}(t)\Big\| = \sqrt{\left((-18t^3)(1+9t^4)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-54t^5 (1+9t^4)^{-\frac{3}{2}} + 6t(1+9t^4)^{-\frac{1}{2}}\right)^2} \ k(t) = \frac{\Big\|\vec{T}{^\prime}(t)\Big\|}{\Big\| \vec{G}{^\prime}(t)\Big\|} \ = \frac{\sqrt{\left((-18t^3)(1+9t^4)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-54t^5 (1+9t^4)^{-\frac{3}{2}} + 6t(1+9t^4)^{-\frac{1}{2}}\right)^2}}{\sqrt{1+9t^4}} \ k(1) = \frac{\sqrt{\left((-18(1)^3)(1+9(1)^4)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-54(1)^5 (1+9(1)^4)^{-\frac{3}{2}} + 6(1)(1+9(1)^4)^{-\frac{1}{2}}\right)^2}}{\sqrt{1+9(1)^4}} \ k(1) = \frac{3 \sqrt{10}}{50} \approx .1897$

La curvatura, $k(1)$ , de $\vec{F}(t)$ es más larga que $k(1)$ de $\vec{G}(t)$ . Esto significa que cuando $t=1$ , $\vec{F}(t)$ es más curva que $\vec{G}(t)$ .

Análisis del Problema de la Sección

Nunca crea una función vectorial para modelar cómo su familia hará la caminata.

$\vec{F}(t) = (t, 4t^2) \ \vec{G}(t) = (2t, \sin t)$

Ella decide comparar $k(t)$ en $t=20$ para ver lo difícil que será cada caminata después de que la familia ha estado en los caminos por 20 minutos.

Primero, encuentra $k(t)$ para cada camino que ella ha modelado con $\vec{F}(t)$ .

$\vec{F}{^\prime}(t) = (1, 8t) \ \Big\|\vec{F}{^\prime}(t)\Big\| = \sqrt{1+64t^2} \ \vec{T}(t)= \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t)\Big \|} = \left((1+64t^2)^{-\frac{1}{2}}, (1+64t^2)^{-\frac{1}{2}}(8t)\right) \ \vec{T}{^\prime}(t) = \left(-64t(1+64t^2)^{-\frac{3}{2}}, 8(1+64t^2)^{-\frac{3}{2}}\right) \ \Big \|\vec{T}{^\prime}(t)\Big \| = \sqrt{\left(-64t(1+64t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(8(1+64t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2} \ k(t) = \frac{\Big \|\vec{T}{^\prime}(t)\Big \|}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t)\Big\|}= \frac{\sqrt{\left(-64t(1+64t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(8(1+64t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2}}{\sqrt{1+64t^4}} \ k(20) = \frac{\sqrt{\left(-64(20)(1+64(20)^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(8(1+64(20)^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2}}{\sqrt{1+64(20)^2}} \ k(20) = .000002$

El primero trayecto tiene una curvatura de 0,000002 en $t=20$ . Nina repite el proceso para el trayecto modelado por $\vec{G}(t)$ .

$\vec{G}{^\prime}(t) = (2, \cos t) \ \Big\|\vec{G}{^\prime}(t)\Big\| = \sqrt{4 + \cos^2 t} \ \vec{T}(t)= \frac{\vec{G}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{G}{^\prime}(t)\Big \|} = \left(2(4+\cos^2 t)^{-\frac{1}{2}}, \cos t(4+\cos^2 t)^{-\frac{1}{2}}\right) \ \vec{T}{^\prime}(t) = \left(\sin(2t)(4 + \cos^2 t)^{-\frac{3}{2}}, -4 \sin t(4 + \cos^2 t)^{-\frac{3}{2}}\right) \ \Bigg \|\vec{T}{^\prime}(t)\Bigg \| = \sqrt{\left(\left(\sin(2t)(4 + \cos^2 t)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(-4 \sin t(4 + \cos^2 t)^{-\frac{3}{2}}\right)^2\right)} \ k(t) = \frac{\Big \| \vec{T}{^\prime}(t)\Big \|}{\Big \| \vec{G}{^\prime}(t)\Big \|} \ k(20) = \frac{\Big \| \vec{T}{^\prime}(20)\Big \|}{\Big \| \vec{G}{^\prime}(20)\Big \|} = .0634$

$k(20)$ es más largo para $\vec{G}(t)$ que $\vec{F}(t)$ , por lo que $\vec{G}(t)$ es el trayecto más curvo. Nina decide tomar el primero camino para hacer la caminata con su abuela.

Vocabulario

Vector Unitario Tangente - Un vector, tangente a la curva, que da la dirección de cambio de una función vectorial, pero no la magnitud de ese cambio. Puedes encontrarlo utilizando la ecuación: $\vec{T}(t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|}$ .

Función Vectorial - Una función que recibe un escalar como una entrada y vuelve al extremo final de un vector como una salida.

Curvatura - Una medición para ver la rapidez en que cambia la dirección de una curva. Para un círculo, la curvatura es el inverso del radio. Para todas las otras curvas, la curvatura se puede encontrar utilizando la fórmula $k(t) = \frac{\Big\| \vec{T}{^\prime}(t)\Big\|}{\Big\| \vec{F}{^\prime}(t)\Big\|}$ . Entre más grande es la medida de curvatura de una curva, más curvo será.

Práctica Guiada

1. Entrega la curvatura de las siguientes 3 curvas.

a) $\vec{F}(t) = (5 \sin t, 5 \cos t)$

b) $\vec{G}(t) = (12 \cos t, 12 \sin t)$

c) $\vec{H}(t) = (100 \cos t, 100 \sin t)$

2. Encuentra la curvatura, $k(t)$ , para la siguiente función en $t=1$ : $\vec{F}(t) = (t^2, t^3)$ .

3. Escribe la ecuación para una función vectorial que es más curva en $t=2$ que $\vec{F}(t) = (t, t^2)$ .

Respuesta:

1. Todas las tres curvas son círculos, por lo que sus curvaturas son iguales a $\frac{1}{r}$ para todos los valores de $t$ .

a) $\frac{1}{5}$

b) $\frac{1}{12}$

c) $\frac{1}{100}$

$\vec{F}{^\prime}(t) = (2t, 3t^2) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{(2t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{4t^2 + 9t^4} \ \vec{T}(t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big \|\vec{F}{^\prime}(t)\Big \|} = \left(2t(4t^2+9t^4)^{-\frac{1}{2}}, 3t^2(4t^2+9t^4)^{-\frac{1}{2}}\right) \ \vec{T}{^\prime}(t) = \left(2(4t^2+9t^4)^{-\frac{1}{2}}(8t+36t^3) - t(4t^2+9t^4)^{-\frac{3}{2}}, 6t(4t^2+9t^4)^{-\frac{1}{2}} \right . \ \left . + -\frac{3t^2}{2} (4t^2+9t^4)^{-\frac{3}{2}}(8t+36t^3)\right) \ \Bigg\|\vec{T}{^\prime}(t)\Bigg\| =\sqrt{\left(2(4t^2 + 9t^4)^{-\frac{1}{2}} -t(4t^2 + 9t^4)^{-\frac{3}{2}}(8t+36t^3)\right)^2} \\ + \sqrt{\left(6t(4t^2 + 9t^4)^{-\frac{1}{2}} + -\frac{3t^2}{2}(4t^2 + 9t^4)^{-\frac{3}{2}}(8t+36t^3)\right)^2} \ k(t) = \frac{\|\vec{T}{^\prime}(t)\|}{\|\vec{F}{^\prime}(t)\|} \ k(1) = \frac{\|\vec{T}{^\prime}(1)\|}{\|\vec{F}{^\prime}(1)\|} = \frac{1.214}{3.606} = .3367$

3. Primero, encuentra $k(t)$ for $\vec{F}(t)$ cuando $t=2$ .

$\vec{F}(t) = (t, t^2) \ \vec{F}{^\prime}(t) = (1, 2t) \ \Big\|\vec{F}{^\prime}(t)\Big\| = \sqrt{1 + 4t^2} \ \vec{T}(t)= \left((1+4t^2)^{-\frac{1}{2}}, 2t(1+4t^2)^{-\frac{1}{2}}\right) \ \vec{T}{^\prime}(t) = \left(-4t(1+4t^2)^{-\frac{3}{2}}, 2(1+4t^2)^{-\frac{3}{2}}\right) \ \Big \|\vec{T}{^\prime}(t)\Big \| = \sqrt{\left(-4t(1+4t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(2(1+4t^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2} \ k(t) = \frac{\Big \| \vec{T}{^\prime}(t)\Big \|}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t)\Big \|} \ k(2) = \frac{\sqrt{\left(-4(2)(1+4(2)^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(2(1+4(2)^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^2}}{\sqrt{1+4(2)^2}} = .0285$

Fíjate que en $t=2$ , $k(t)$ es igual a 0,0285. Esto significa que cualquier ecuación con una curvatura más grande que 0,0285 será más curva que $\vec{F}(t)$ en $t=2$ . Entonces, por ejemplo, puedes escribir la ecuación para un círculo con una curvatura de 1 y será más curva que $\vec{F}(t)$ en $t=2$ .

Ya que para un círculo, $k(t)=\frac{1}{r}$ , un círculo con un radio de 1 tendrá un $k(t)$ de 1. Por lo que $\vec{G}(t)=(\sin t, \cos t)$ es una ecuación que es más curva en $t=2$ que lo que es $\vec{F}(t)$ Hay un número infinito de soluciones para este problema.

Práctica

Utiliza la siguiente función vectorial desde los ejercicios #1 - #15

$\vec{F}(t) = \left(t^2, \frac{1}{t}\right)$
$\vec{G}(t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$
$\vec{H}(t) = (t+1, t^2)$
$\vec{B}(t) = (2t^2, t-5)$
$\vec{M}(t) = (e^t, \sin t)$
$\vec{P}(t) = (4 \sin t, 4 \cos t)$
$\vec{S}(t) = (3t^2, 5t)$

1. Encuentra $k(1)$ para $\vec{F}(t)$ .

2. Encuentra $k(\pi)$ para $\vec{G}(t)$ .

3. Encuentra $k(5)$ para $\vec{H}(t)$ .

4. Encuentra $k(3)$ para $\vec{B}(t)$ .

5. Encuentra $k(\pi)$ para $\vec{M}(t)$ .

6. Encuentra $k(2)$ para $\vec{P}(t)$ .

7. Encuentra $k(0.5)$ para $\vec{S}(t)$ .

8. Encuentra $k(3)$ para $\vec{F}(t)$ .

9. Encuentra $k \left(\frac{\pi}{2}\right)$ para $\vec{G}(t)$ .

10. ¿Qué curva es más curva en $t=\pi$ , $\vec{G}(t)$ o $\vec{P}(t)$ ?

11. ¿Qué curva es más curva en $t=1$ , $\vec{B}(t)$ o $\vec{F}(t)$ ?

12. Encuentra el radio del círculo que es mejor para $\vec{S}(t)$ en $t=0.5$ .

13. Encuentra el radio del círculo que es mejor para $\vec{H}(t)$ en $t=5$ .

14. Encuentra el radio del círculo que es mejor para $\vec{P}(t)$ en $t=2$ .

15. Encuentra el radio del círculo que es mejor para $\vec{F}(t)$ en $t=1$ .

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