Objetivos

En esta sección aprenderás cómo analizar la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de la curva. Expresarás la aceleración como vectores normales y tangentes y aplicarás esta habilidad a los problemas que involucran movimiento.

Concepto

Hay una nueva montaña rusa que marcha hacia atrás en el parque de diversiones local. Phil quiere utilizarla, pero el sufre de dolores de espalda y quiere saber cómo afectarán las fuerzas a su columna. Ya que la fuerza es igual es la masa por la aceleración, a él le gustaría encontrar las fuerzas tangente y normal para el viaje hacia abajo que realiza la montaña rusa en la primera colina. ¿Cómo puede hacerlo?

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Orientación

La aceleración describe el índice de cambio en la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de la curva. Puedes representar este índice de cambio con un vector porque la aceleración tiene tanto la magnitud como la dirección. Si la rapidez de un objeto no cambia pero su dirección sí lo hace, aún tiene aceleración.

Para muchas aplicaciones necesitas más información sobre la aceleración que la información entregada en términos de vectores unitarios horizontales y verticales. Esto es porque algunas veces es más importante la dirección la magnitud de aceleración relativa a la curva, no la dirección y la rapidez de magnitud relativa a los ejes $x$ e $y$ del plano coordenado.

Ya que la aceleración es el índice de cambio de velocidad y ya que la velocidad es el índice de cambio de posición, la aceleración es la segunda derivada de posición. Por lo tanto, si $\vec{F} (t)$ es una curva que describe la posición de un objeto en el tiempo, $\vec{F}{^\prime} {^\prime}(t)$ es una curva que describe la aceleración de un objeto en el tiempo.

Cuando divides el vector de aceleración en sus componentes relativos a la curva, lo expresas como el tangente de aceleración a la curva y como la aceleración normal (perpendicular) a la curva. Si un objeto se mueve en un círculo, la aceleración normal es la aceleración que utilizas para calcular la fuerza centrípeta.

Cuando rompes el vector de aceleración en sus componentes tangente y normal, te das cuenta que $\vec{A} (t) = a_T \vec{T} (t) + a_N \vec{N} (t)$ donde $\vec{T} (t)$ es el vector unitario tangente y $\vec{N} (t)$ es el vector unitario normal en el tiempo $t$ .

Para encontrar $a_T$ y $a_N$ , puedes utilizar las funciones vectoriales que representar posición y velocidad.

Ejemplo A

Un auto viaja a lo largo de una curva. Su trayecto se modela por la función vectorial $\vec{F} (t) = (5t, 7t^2)$ . ¿Qué es $a_T$ cuando $t=1$ ?

Solución: Para un objeto que viaja a lo largo de una curva, $a_T = \frac{\vec{A} (t) \cdot \vec{V} (t)}{\Big \| \vec{V} (t) \Big \|}$ .

Fíjate que $a_T$ es un escalar porque el producto escalar de dos funciones vectoriales devuelve un escalar y la magnitud de una función vectorial es un escalar.

Ya que la velocidad es la derivada de $\vec{F} (t)$ y la aceleración es la segunda derivada de $\vec{F} (t)$ , puedes reescribir esta ecuación como $a_T = \frac{F{^\prime} (t) \cdot F{^\prime}{^\prime} (t)}{\Big \| F{^\prime}(t) \Big \|}$ . Utiliza la ecuación para encontrar el componente tangente de la aceleración de la función vectorial $\vec{F} (t)$ .

$F (t) = (5t, 7t^2) \ F{^\prime}(t) = (5, 14t) \ \Big \| F{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{25+196t^2} \ F{^\prime}{^\prime} (t) = (0, 14)$

Encuentra el producto escalar de $\vec{F}{^\prime}(t)$ y $\vec{F}{^\prime}{^\prime}(t)$ .

$F{^\prime}(t) \cdot F{^\prime}{^\prime}(t) = (0) (5) + (14t) (14) = 196t$

Encuentra $a_T$ y evalúa cuando $t=1$ .

$a_T = \frac{F{^\prime}(t) \cdot F{^\prime}{^\prime}(t)}{\Big \| F{^\prime}(t) \Big \|} \ a_T = \frac{196t}{\Big \| \sqrt{25+196t^2}\Big \|} = \frac{196}{\sqrt{221}} \approx 13.18$

En $t=1$ , $a_T$ es de alrededor de $13.18 \ m/s^2$ .

Ejemplo B

Ahora, encuentra $a_N$ para el auto del Ejemplo A. Puedes encontrar $a_N$ utilizando la ecuación: $a_N = \sqrt{\Big \| \vec{A} (t) \Big \|^2 - (a_T)^2}$ , que puedes reescribir como $a_N = \sqrt{\Big \| \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) \Big \|^2 - (a_T)^2}$ .

Solución:

$a_N = \sqrt{\Big \| \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) \Big \|^2 - (a_T)^2} \ \vec{F}{^\prime}{^\prime} (t) = (0, 14) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{0^2 + 14^2} = 14 \ a_{T}^{2} = \left(\frac{196}{\sqrt{221}}\right)^2 = \frac{38416}{221} \ a_N = \sqrt{196 - \frac{38416}{221}} \approx 4.709$

Una vez que tienes $a_T$ y $a_N$ , puedes reescribir $\vec{A} (t)$ en términos de $\vec{T} (t)$ y $\vec{N} (t)$ en vez de $i$ y $j$ en $t=1$ . Fíjate que $a_T$ y $a_N$ son solo valores escalares en $t=1$ . Si quieres encontrar la ecuación para la aceleración desde el punto de vista de $\vec{T} (t)$ y $\vec{N} (t)$ en algún otro punto de la curva, tendrás que calcular nuevos valores para $a_T$ y $a_N$ .

En $t=1$ , la ecuación para la aceleración relativa a esta curva es $(13.18) \vec{T} (1) + (4.709) \vec{N} (1)$ .

Ejemplo C

Puedes utilizar $a_N$ para calcular más fácilmente la curvatura de una curva en un momento en particular. Eso es porque puedes expresar $k(t)$ en términos de $a_N$ . Esta expresión, por lo general, es un poco más fácil de desenredar que la ecuación estándar para la curvatura y te darás cuenta que los cálculos son más simples.

$k(t) = \frac{a_N}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|^2}$

Encuentra la curvatura de la función vectorial del Ejemplo A cuando $t=1$ .

Solución:

$k(t) = \frac{a_N}{\Big \| \vec{F}{^\prime} (t) \Big \|^2} \ k(1) = \left( \frac{4.709}{ \left( \sqrt{25+196(1)^2 } \right)^2} \right) = \frac{4.709}{221} = .0213$

La curvatura de esta función cuando $t=1$ es 0,0213.

Análisis del Problema de la Sección

Phil crea una modelo para la primera colina de la montaña rusa. Él utiliza la función vectorial $\vec{F} (t) = (30 t, 5t^2)$ para modelar el movimiento del auto a lo largo de la curva. Para encontrar cuánta fuerza él tiene en su asiento cuánto empuja su espalda en la parte trasera del asiento, él necesitará romper la aceleración en sus componentes tangente y normal. Él utilizará esta información para calcular las fuerzas en su cuerpo cuando $t=5$ . Él pesa 75 kg.

Primero, Phil calcula la aceleración tangencial.

$a_T = \frac{\vec{F}{^\prime}(t) \cdot \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|} \ \vec{F} (t) = (30t, 5t^2) \ \vec{F}{^\prime}(t) = (30, 10t) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{900+100t^2} = \sqrt{100(9+t^2)} = 10 \sqrt{9+t^2} \ \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) = (0, 10) \ \vec{F}{^\prime}(t) \cdot \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) = (30) (0) + (10t) (10) = 100t \ a_T = \frac{ \vec {F}{^\prime}(t) \cdot \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|} = \frac{100t}{10 \sqrt{9+t^2}} = \frac{10t}{\sqrt{9+t^2}}$

La evalúa en $t=5$ .

$\frac{10t}{\sqrt{9+t^2}} = \frac{10(5)}{\sqrt{9+25}} = \frac{50}{\sqrt{34}} \ m / s^2$

Él lo multiplica por su peso en kilogramos para encontrar la fuerza en su espalda en Jules.

$\frac{50}{\sqrt{34}} \times 75 \approx 643 \ J$

Él utiliza la aceleración tangencial para encontrar la aceleración tangencial, luego multiplica eso por su peso para encontrar la fuerza normal. Esa es la fuerza que lo mantiene en su asiento mientras la montaña rusa baja la colina.

$a_N = \sqrt{\Big \| \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) \Big \|^2 - (a_T)^2} \ \Big \| \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) \Big \| = 10 \ a_T = 8.575 \ a_N = \sqrt{100-73.529} = 5.145 \ m/s^2 \ 5.145 \times 75 = 385.87 \ J$

Vocabulario

Función Vectorial - Una función que recibe un escalar como una entrada y vuelve al extremo final del vector como una salida.

Vector Unitario tangente - Un vector, $\vec{T}(t)$ , que entrega la dirección de cambio de una curva, pero no la magnitud de cambio. Puedes encontrarlo utilizando la fórmula $\vec{T} (t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|}$ .

Vector Unitario Normal - Un vector, $\vec{N} (t)$ , que es perpendicular al vector unitario tangente y que muestra la dirección del centro de la curva en el momento $t$ . Puedes encontrarlos utilizando la fórmula $\vec{N} (t) = \frac{\vec{T}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{T} {^\prime} (t) \Big \|}$ .

Aceleración - El índice de cambio de la velocidad. $\vec{F}{^\prime}{^\prime}(t)$ para una función vectorial $\vec{F} (t)$ que representa la posición en una curva.

Velocidad - El índice de cambio de posición. $\vec{F}{^\prime}(t)$ para una función vectorial $\vec{F} (t)$ que representa la posición en una curva.

Magnitud - Una cantidad escalar que representa la longitud de un vector pero no su dirección. $\Big \| \vec{F} (t) \Big \|$ representa la magnitud de la función vectorial $\vec{F} (t)$ .

Producto Escalar - Una operación que recibe dos vectores y devuelve un escalar. Si $\vec{F} (t) = (f_1, f_2)$ y $\vec{G} (t) = (g_1, g_2)$ luego $\vec{F} (t) \cdot \vec{G} (t) = f_1 g_1 + f_2 g_2$ .

Aceleración Tangencial - El índice de cambio de la velocidad tangente a la curva. Puedes encontrarla utilizando la formula $a_T = \frac{\vec{A} (t) \cdot \vec{V} (t) }{\Big \| \vec{V} (t) \Big \|}$ .

Aceleración Normal - El índice de cambio de la velocidad perpendicular a la curva. Puedes encontrarla utilizando la fórmula $a_N = \sqrt{\Big \| \vec{A} (t) \Big \|^2 - (a_T)^2}$ .

Curvatura - Cuánto se curvea una curva. La inversa de curvatura entrega el radio del círculo que es mejor para la curva en un momento determinado, $t$ . Puedes calcular la curvatura desde los componentes de aceleración utilizando la fórmula $k(t) = \frac{a_N}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|^2}$ .

Práctica Guiada

Paul pesa 50 kilogramos y se subió a una montaña rusa. La montaña baja una montaña que se puede modelar por la función vectorial $\vec{F} (t) = (20t, 5t^2)$ .

1. Encuentra $a_T$ para la curva cuando $t=2$ .

2. Encuentra $a_N$ para la curva cuando $t=2$ .

3. ¿Cuáles son las fuerzas normales y tangenciales que afectan el cuerpo de Paul en $t=2$ ?

4. ¿Cuál es la curvatura del trayecto de la montaña rusa en $t=2$ ? ¿Cuál es el radio del círculo que es mejor para esta curva?

Respuestas:

1. Primero encuentra $a_T$ :

$\vec{F}{^\prime}(t) = (20, 10 t) \ \Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{400+100t^2} = \sqrt{100 (4+t^2)} = 10 \sqrt{4+t^2} \ \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) = (0, 10) \ \vec{F}{^\prime}(t) \cdot \vec{F}{^\prime}{^\prime} (t) = (0) (20) + (10) (10t) = 100t \ a_T = \frac{\vec{F}{^\prime}(t) \cdot \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|} = \frac{100 t}{10 \sqrt{4+t^2}}$

Ahora encuentra $a_T$ en $t=2$ :

$a_T = \frac{10(2)}{\sqrt{4+4}} = \frac{20}{\sqrt{8}} \approx 7.071$

$a_N = \sqrt{\Big \| \vec{F}{^\prime}{^\prime}(t) \Big \|^2 - (a_T)^2} \ \Big \| \vec{F}{^\prime}{^\prime} (t) \Big \| = 10 \ a_N = \sqrt{100-(7.071)^2} \approx 7.071$

$F = ma \ F_T = m(a_T) = 50(7.071) = 353.55 \ J \ F_N = m(a_N) = 50(7.071) = 353.55 \ J$

$k(t) = \frac{a_N}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|^2} \ k(2) = \frac{7.071}{\left(10 \sqrt{4+2^2}\right)^2} = \frac{7.071}{800} = .0088 \ r = \frac{1}{k(2)} = \frac{1}{.0088} = 113.6$

2 segundos en la colina, el círculo es mejor para la colina que tiene un radio de 113,6 metros.

Práctica

Desde #1 - #3, utiliza la función $\vec{F} (t) = (t-1, t^2)$ .

1. Encuentra $a_T$ para la curva cuando $t=4$ .

2. Encuentra $a_N$ para la curva cuando $t=4$ .

3. ¿Cuál es la curvatura del trayecto en $t=4$ ? ¿Cuál es el radio del círculo que es mejor para esta curva?

Desde #4 - #6, utiliza la función $\vec{G} (t) = (6 \sin t, 6 \cos t)$ .

4. Ecuentra $a_T$ para esta curva cuando $t=2$ .

5. Encuentra $a_N$ para esta curva cuando $t=2$ .

6. ¿Cuál es la curvatura del trayecto en $t=2$ ? ¿Cuál es el radio del círculo que es mejor para esta curva?

Desde #7 - #9, utiliza la función $\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$ .

7. Ecuentra $a_T$ para esta curva cuando $t=1$ .

8. Encuentra $a_N$ para esta curva cuando $t=1$ .

9. ¿Cuál es la curvatura del trayecto en $t=1$ ? ¿Cuál es el radio del círculo que es mejor para esta curva?

Desde #10 - #12, utiliza la función $\vec{M} (t) = (e^t, t)$ .

10. Encuentra $a_T$ para esta curva cuando $t=1$ .

11. Encuentra $a_N$ para esta curva cuando $t=1$ .

12. ¿Cuál es la curvatura del trayecto en $t=1$ ? ¿Cuál es el radio del círculo que es mejor para esta curva?

Kristina pesa 54 kilogramos y se subió a una montaña rusa. En algún momento, la montaña rusa baja una colina que se puede modelar por la función vectorial $\vec{F} (t) = (5t, 15 t^2)$ .

13. Encuentra $a_T$ para esta curva cuando $t=3$ .

14. Encuentra $a_N$ para la curva cuando $t=3$ .

15. ¿Cuáles son las fuerzas normales y tangenciales que afectan el cuerpo de Kristina en $t=3$ ?

Componentes Vectores de la Aceleración