Resolución de Expresiones Numéricas

Aquí aprenderemos a usar el Orden de las Operaciones para identificar y crear expresiones numéricas que sean verdaderas.

Keisha y Kira trabajan juntas en el zoológico. Hoy les toca trabajar con los flamencos, pero tienen un problema.

"Este conteo de flamencos esta errado", le dijo Kira a Keisha. Keisha miró el cuaderno que sostenía Kira y se encogió de hombros.

"¿A qué te refieres?" preguntó Keisha.

"Bueno, tenemos 33 flamencos, pero el conteo del cuaderno no refleja eso. Esto es lo que tengo anotado", explicó Kira. Le mostró el cuaderno a Keisha.

$27 + 2 \times 5 - 3 + 8 + 7 = 49$

"El conteo dice 49, pero sé que solo hay 33 flamencos", explicó Kira.

Es claro que las chicas tienen un problema entre manos. En alguna parte de esta expresión falta un par de paréntesis. Un par de paréntesis pueden hacer la diferencia entre una solución correcta e incorrecta. En esta Sección, aprenderás como insertar paréntesis para hacer que una expresión sea correcta. Pon mucha atención para que puedas ayudar a Kira y Keisha con su problema.

Orientación

También podemos usar el Orden de las Operaciones para determinar si una expresión numérica es verdadera o no. Las expresiones numéricas que verás en esta Sección ya han sido resueltas.

Ahora tendrás que usar lo que has aprendido para determinar si estas expresiones son correctas o no. Recuerda que deberás usar el orden de las operaciones.

Repasemos nuevamente el Orden de las Operaciones.

Orden de las Operaciones

P - paréntesis

E - exponentes

MD - multiplicación o división de izquierda a derecha

AS - adición o sustracción de izquierda a derecha

Ahora, serás un "Detective Matemático."

Como detective matemático, es tu deber usar el Orden de las Operaciones para determinar si el trabajo de alguien esta correcto o no. Aquí hay una hoja de ejercicios realizados por Joaquín. Tu trabajo es revisar el trabajo de Joaquín y determinar si su procedimiento es correcto o no. Usa tu cuaderno para tomar apuntes.

Si la expresión ha sido resuelta correctamente, destácala y toma nota. Si es incorrecta, deberás resolver correctamente la expresión nuevamente. Aquí están los problemas de la hoja de ejercicios de Joaquín.

¿Verificaste el trabajo de Joaquín? Veamos como estuvieron tus respuestas. Toma tu cuaderno y verifica tu trabajo con las respuestas correctas. Empecemos con el problema número 1.

Empezamos sumando $4 + 1$ lo que nos da 5. Luego, multiplicamos $7 \times 5$ y $7 \times 2$ . ya que la multiplicación es lo siguiente en nuestro orden de operaciones. Finalmente, restamos $35 - 14 = 21.$ El trabajo de Joaquín está correcto.

Problema Número 2

Empezamos resolviendo el paréntesis. 3 por 2 es 6. Luego, consideremos los exponentes. 3 al cuadrado es 9 y 4 al cuadrado es 16. Finalmente, podemos completar la adición y sustracción en orden, de izquierda a derecha. Nuestra respuesta final es 22. El trabajo de Joaquín está correcto.

Problema Número 3

Empezamos con los paréntesis: 7 menos 1 es 6. No hay exponentes, por lo que podemos avanzar con el paso de la multiplicación. Multiplica $3 \times 2$ para obtener 6. Ahora podemos completar la adición y sustracción en orden, de izquierda a derecha. La respuesta correcta es 13. Ups, la respuesta de Joaquín es incorrecta. ¿Por qué Joaquín obtuvo 19 como respuesta?

Bueno, si lo analizas, Joaquín no siguió el orden de las operaciones. Tan solo hizo las operaciones de izquierda a derecha. Si no empiezas multiplicando $3 \times 2$ entonces obtienes 19 como respuesta en vez de 16.

Problema Número 4

Primero, completaremos el ejercicio del paréntesis, $8 \times 2 = 16$ y $5 \times 2 = 10$ . Luego, calculamos el exponente, 3 al cuadrado es 9. Ahora podemos completar la adición y sustracción en orden, de izquierda a derecha. La respuesta es 17. El trabajo de Joaquín está correcto.

Problema Número 5

Primero, debemos completar el ejercicio del paréntesis, $6 \times 3 = 18$ . Luego, completamos la multiplicación $2 \times 3 = 6$ . Ahora podemos completar la adición y sustracción en orden, de izquierda a derecha. Nuestra respuesta es 30. Ups, Joaquín se volvió a equivocar. ¿Cómo fue que obtuvo 66? Analicemos el problema. Al parecer, Joaquín restó $18 - 2$ antes de multiplicar, algo que no podemos hacer. Él debía empezar multiplicando $2 \times 3$ para luego poder restar. Debido a esto, el trabajo de Joaquín no fue preciso.

¿Cómo estuvieron tus resultados?

Recuerda que un Detective Matemático puede verificar cualquier respuesta al seguir el orden de las operaciones.

A veces, un símbolo de agrupación puede ayudarnos a hacer que una respuesta sea verdadera. Al colocar un símbolo de agrupación, como un paréntesis, en el lugar adecuado, podemos cambiar la respuesta.

Hagamos la prueba.

$5 + 3 \times 2 + 7 - 1 = 22$

Si resolviéramos este problema sin paréntesis, obtendríamos la siguiente respuesta.

$5 + 3 \times 2 + 7 - 1 = 17$

¿Cómo obtuvimos esta respuesta? Bueno, empezamos completando la multiplicación, $3 \times 2 = 6$ . Luego, resolvimos la adición y sustracción en orden, de izquierda a derecha. Eso nos da una respuesta de 17. Sin embargo, queremos una respuesta de 22.

¿Dónde podemos poner paréntesis para que nuestra respuesta sea 22?

Esto puede tomarte algo de práctica y quizá debas probar en más de un punto.

Ahora tratemos poniendo los paréntesis alrededor de $5 + 3$ .

$(5 + 3) \times 2 + 7 - 1 = 22$

¿Es esta una afirmación verdadera? Bueno, empezamos resolviendo la suma en el paréntesis, $5 + 3 = 8$ . Luego, completamos la multiplicación, $8 \times 2 = 16$ .

Así se ve ahora nuestro problema.

$16 + 7 - 1 = 22$

Luego, resolvemos la adición y sustracción en orden, de izquierda a derecha.

Nuestra respuesta es 22.

Aquí hay unos ejercicios para que resuelvas por tu cuenta. Inserta un par de paréntesis para hacer que cada afirmación sea verdadera.

Ejemplo A

$6 + 3 + 4 + 7 \times 2 = 34$

Solución: $6 + (3 + 4 + 7) \times 2 = 34$

Ejemplo B

$8 \times 7 + 3 \times 8 - 5 = 65$

Solución: $8 \times 7 + 3 \times (8 - 5)= 65$

Ejemplo C

$2 + 5 \times 2 + 18 - 4 = 28$

Solución: $(2 + 5) \times 2 + 18 - 4 = 28$

Ahora volvamos con Keisha y Kira. Te escribimos nuevamente el problema original.

"Este conteo de flamencos esta errado", le dijo Kira a Keisha. Keisha miró el cuaderno que sostenía Kira y se encogió de hombros.

"¿A qué te refieres?" preguntó Keisha.

"Bueno, tenemos 33 flamencos, pero el conteo del cuaderno no refleja eso. Esto es lo que tengo anotado", explicó Kira. Le mostró el cuaderno a Keisha.

$27 + 2 \times 5 - 3 + 8 + 7 = 49$

"El conteo dice 49, pero sé que solo hay 33 flamencos", explicó Kira.

Para hacer que la expresión calce con la suma de 33 flamencos, Kira y Keisha deben agregar un par de paréntesis. Si agrupamos 3 + 8, tendremos un total aproximado. Observa.

$27 + 2 \times 5 - (3 + 8) + 7 = 49$

Ahora, cuando usamos el orden de las operaciones, nuestra suma es 33.

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Expresión: Frase numérica con operaciones y sin signo igual.

Ecuación: Frase numérica que compara dos cantidades que son iguales. Tiene un signo igual y puede escribirse como una pregunta que requiere una solución.

Orden de las Operaciones: Orden en que se realizan las operaciones cuando hay más de una en una expresión o ecuación.

P - paréntesis

E - exponentes

MD - multiplicación/división de izquierda a derecha

AS - adición/sustracción de izquierda a derecha

Símbolos de agrupación: Paréntesis o corchetes. Las operaciones en paréntesis deben completarse en primer lugar de acuerdo con el orden de las operaciones.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que resuelvas por tu cuenta. Inserta un par de paréntesis para hacer que cada afirmación sea verdadera.

$4 + 2 \times 3 + 7 - 5 + 8^2 = 76$

Respuesta

Para calcular esto, debemos ver primero donde podemos poner un par de paréntesis. Ya que sabemos que la multiplicación y la división vienen antes que la adición y la sustracción, tiene sentido que agrupemos algunas partes de adición y/o sustracción para crear una expresión verdadera.

Probemos 7 - 5.

$4 + 2 \times 3 + (7 - 5) + 8^2 = 76$

Ahora podemos evaluar la expresión usando el orden de las operaciones.

$7 - 5 = 2$

$4 + 2 \times 3 + 2 + 8^2 = 76$

Luego, evaluamos el exponente y multiplicamos.

$8^2 = 64$

$2 \times 3 = 6$

$4 + 6 + 2 + 8^2 = 76$

$12 + 64 = 76$

Nuestra respuesta es correcta.

Repaso en Video

*Solo en Inglés

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Khan Academy Introduction to Order of Operations

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James Sousa Ejemplo of Order of Operations

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James Sousa Ejemplo of Order of Operations

Práctica

Instrucciones: Verifica cada respuesta usando el orden de las operaciones. Escribe si la respuesta es correcta o incorrecta.

1. $4 + 5 \times 2 + 8 - 7 = 15$

2. $4 + 3 \times 9 + 6 - 10 = 104$

3. $6 + 2^2 \times 4 + 3 \times 6 = 150$

4. $3 + 6 \times 3 + 9 \times 7 - 18 = 66$

5. $7 \times 2^3 + 4 - 9 \times 3 - 8 = 25$

6. $2 \times 3^3 + 7 \times 3 = 183$

7. $4 \times 3 + 4^2 - 9 + 8 = 25$

8. $3^2 \times 2^3 + 14 - 9 = 77$

9. $6 \times 3^3 - 24 + 19 \times 2 - 4 = 310$

10. $5 \times 2 + 5^2 - 10 \times 2 - 7 = 8$

Instrucciones: Inserta símbolos de agrupación para hacer que cada afirmación sea verdadera.

11. $4 + 5 - 2 + 3 - 2 = 8$

12. $2 + 3 \times 2 - 4 = 6$

13. $1 + 9 \times 4 \times 3 + 2 - 1 = 110$

14. $7 + 4 \times 3 - 5 \times 2 = 23$

15. $2^2 + 5 \times 8 - 3 + 4 = 33$

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