Distancias o Dimensiones a Escala

Aquí aprenderás a encontrar las distancias o dimensiones a escala dadas las distancias o dimensiones reales.

¿Alguna vez has intentado hacer un mapa de un lugar real? Para hacerlo correctamente, tendrás que usar una escala y las medidas reales.

Ahora que Alex sabe cómo quiere que se vea el huerto, quiere hacer un dibujo que sea preciso. ¿Qué significa esto? Significa que Alex quiere usar una escala para dibujar su diseño. Cuando usas una escala, eliges una unidad de medida para representar el lugar real. Por ejemplo, si quieres dibujar un barco de 100 pies de largo, no tiene sentido dibujarlo tal cual, es decir, de 100 pies de largo. Tienes que usar una unidad de medida como la pulgada. Alex decide usar una escala de 1" = 1 pie, pero está teniendo problemas. Tiene dos hojas de papel para dibujar el diseño en una de ellas. Una es de $8\frac{1}{2}'' \times 11''$ y la otra de $14\frac{1}{2}'' \times 11''$ . Comienza usando una escala de 1 pulgada y a medir el huerto en la hoja de $8\frac{1}{2}'' \times 11''$ En ese momento, Tania entra. Mira lo que hace Alex y dice, "Eso nunca va a caber ahí. Necesitas una escala más pequeña o una hoja de papel más grande." Alex está confundido. Empieza a evaluar su trabajo. Se pregunta si debería usar una escala de $\frac{1}{2}''$ .

Si usa una escala de 1", ¿Cuáles serán las medidas? ¿Tiene alguna hoja de papel que le sirva? Si usa una escala de $\frac{1}{2}''$ , ¿Cuáles serán las medidas? ¿Tiene alguna hoja de papel que le sirva?

Usa esta Sección para aprender sobre las dimensiones de las escalas, entonces serás capaz de responder estas preguntas al final de la Sección.

Orientación

Anteriormente trabajamos con dimensiones reales o distancias con una escala dada.

Ahora vamos a aprender cómo encontrar la escala dadas las dimensiones reales.

Para hacerlo, debemos trabajar de manera inversa. Para hacer un mapa, por ejemplo, necesitamos "encoger" las distancias reales a valores más pequeños que se puedan mostrar en una hoja. Nuevamente, usaremos la escala. En vez de encontrar las distancias reales, buscaremos la distancia del mapa.

Supón que estamos haciendo un mapa de las ciudades cercanas. Sabemos que Trawley City y Oakton se encuentran a 350 kilómetros de distancia. Usaremos una escala de 1 cm: 10 km. ¿Qué tan lejos debemos dibujar en el mapa los puntos que representan a Trawley City y Oakton?

Usaremos la escala para escribir los ratios de la proporción. Luego incluimos la información que conocemos. Esta vez sabemos la distancia real entre las dos ciudades, por lo que la incluimos y averiguamos la distancia en el mapa.

$\frac{1 \ cm}{10 \ km}=\frac{x \ cm}{350 \ km}$

Luego, multiplicamos cruzado para encontrar el número de centímetros que necesitaríamos para dibujar en el mapa.

$1(350) &= 10x\\\350 &= 10x\\\35 &= x$

Nuestra respuesta es 35 cm.

Usando nuestra escala para dibujar una distancia de 350 km en nuestro mapa, necesitamos poner Trawley City a 35 centímetros de distancia de Oakton.

Podemos encontrar la escala usando un modelo o un objeto real también.

Jesse quiere construir un modelo de un edificio. El edificio tiene 100 pies de alto. Si Jesse quiere usar una escala de 1" a 25 pies, ¿Qué tan alto será el modelo?

Comencemos mirando nuestra escala y escribiendo una proporción que muestre las medidas que sabemos.

$\frac{1''}{25 \ ft}=\frac{x}{100 \ ft}$

Para resolver esta proporción multiplicamos cruzado.

$1(100) &= 25(x)\\\100 &= 25x\\\4 &= x$

El modelo de Jesse será de 4 pulgadas de alto.

Nuestra respuesta es $4''$ .

Practiquemos. Usa la escala 1" = 100 millas.

Ejemplo A

La distancia entre la casa de Kara a la casa de veraneo de su familia es de 150 millas. ¿A cuántas millas equivale dicha distancia en el mapa?

Solución: 1.5 pulgadas

Ejemplo B

La distancia entre la casa de Kara y la casa de su abuela es de 2000 millas. ¿A cuántas millas equivale dicha distancia en el mapa?

Solución: 20 pulgadas

Ejemplo C

Si la distancia entre la casa de Mark y la casa de su abuela es la mitad de la distancia entre la casa de Kiara y la de su abuela, ¿A cuántas pulgadas equivale en el mapa?

Solución: 10 inches

Aquí tienes el problema nuevamente.

Ahora que Alex sabe cómo quiere que se vea el huerto, quiere hacer un dibujo que sea preciso.

¿Qué significa esto ?

Significa que Alex quiere usar una escala para dibujar su diseño. Cuando usas una escala, eliges una unidad de medida para representar el lugar real. Por ejemplo, si quieres dibujar un barco de 100 pies de largo, no tiene sentido dibujarlo tal cual, es decir, de 100 pies de largo. Tienes que usar una unidad de medida como la pulgada.

Alex decide usar una escala de 1" = 1 pie, pero está teniendo problemas.

Tiene dos hojas de papel para dibujar el diseño en una de ellas. Una es de $8\frac{1}{2}'' \times 11''$ y la otra de $14 \frac{1}{2}'' \times 11''$ . Comienza usando una escala de 1 pulgada y a medir la parcela del jardín en la hoja de $8\frac{1}{2}'' \times 11''$ .

En ese momento, Tania entra. Mira lo que hace Alex y dice, "Eso nunca va a caber ahí. Necesitas una escala más pequeña o una hoja de papel más grande." Alex está confundido.Empieza a evaluar su trabajo. Se pregunta si debería usar una escala de $\frac{1}{2}''$ .

Ten en cuenta que las medidas que calculó en la Sección pasada.

Si usa una escala de 1" , ¿Cuáles serán las medidas? ¿Tiene alguna hoja de papel que le sirva? Si usa una escala de $\frac{1}{2}''$ , ¿Cuáles serán las medidas? ¿Tiene alguna hoja de papel que le sirva?

Primero, comencemos subrayando toda la información importante del problema. Luego, veamos las dimensiones dadas en cada escala, en la escala de 1" y la escala de $\frac{1}{2}''$ . Partamos con la escala de 1".

Primero debemos conocer las dimensiones del cuadrado. Aquí esta nuestra proporción.

$\frac{1''}{1 \ ft} &= \frac{x \ ft}{9 \ ft}\\\9 &= x$

Para dibujar el cuadrado en una hoja con esta esta escala, los tres lados congruentes serán de 9 pulgadas . Luego, tenemos el lado corto. Es de un pie de largo, por lo que debería ser de 1" en el papel. Ahora podemos trabajar con el rectángulo. Si el rectángulo es de 12 pies $\times$ y cada pie equivale a 1", entonces las dimensiones del rectángulo son 12" $\times$ 8”. Pensarás que quedaría perfecto en el papel, pero no será así porque Alex decidió poner los dos jardines juntos Si un lado del cuadrado es de 9” el largo del rectángulo es de 12” esto equivale a 21”. 21 pulgadas no caben en una hoja de $8\frac{1}{2}'' \times 11''$ o de $14\frac{1}{2}'' \times 11''$ .

Veamos qué pasa si usamos una escala de $\frac{1}{2}'' = 1$ pies . Ya sabemos varias de las dimensiones. Por sentido común podemos dividir las medidas del primer ejemplo por dos ya que $\frac{1}{2}''$ es la mitad de 1". El cuadrado sería de 4,5" en cada uno de los lados congruentes El lado corto del cuadrado sería de $\frac{1}{2}''$ . El largo del rectángulo sería de 6". El ancho del rectángulo sería de 4". Con el cuadrado y el rectángulo juntos lado a lado, el largo del dibujo de Alex sería de 10,5". Este dibujo cabe en cualquiera de las dos hojas.

Usa tu cuaderno para dibujar el diseño del huerto de Alex. Usa una regla para dibujar la escala. La escala es de $\frac{1}{2}'' = 1$ pie.

Vocabulario

Escala: Proporción que compara una medida pequeña a una medida real. En una escala, una medida representa otra medida.

Ratio: Comparación de dos cosas

Proporción: Par de ratios iguales que multiplicamos cruzado para resolver una proporción

Práctica Guiada

Aquí tienes un ejemplo para que trabajes por ti mismo.

Joaquin construirá un modelo de un edificio de 480 pies de alto. Si Joaquin decide usar una escala de $\frac{1}{2}'' = 1$ pie, ¿Cuál sería la nueva altura del modelo en pulgadas?

¿Cuántos pies de altura tendría el modelo? ¿Funcionaría esta escala para el modelo?

Respuesta

Para saberlo, primero tenemos que ver la escala que está usando Joaquin. Si Joaquin escogió 1" = 1 pie, entonces la altura a escala del modelo sería 480 pies. Pero Joaquin usó un pie - media pulgada como su escala, por lo que su modelo será de 240 pulgadas de alto.

Esto significa que será de 20 pies de alto. ¡Es demasiado grande! Joaquin necesitará usar una escala más pequeña.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

James Sousa on Scale Factors

*Este video solo está disponible en inglés

Otros videos

http://teachertube.com/viewVideo.php?video_id=79418&title=PSSA_Grade_7_Math_19_Map_Scale – YTienes que registrarte para usar este sitio web. Es un video sobre la resolución de problemas de ratio y proporciones.

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Usa la escala dada para determinar las medidas a escala dadas las distancias reales.

Dado: Escala 2" = 150 millas

1. ¿Cuántas pulgadas a escala serían 300 millas?

2. ¿Cuántas pulgadas a escala serían 450 millas?

3. ¿Cuántas pulgadas a escala serían 75 millas?

4. ¿Cuántas pulgadas a escala serían 600 millas?

5. ¿Cuántas pulgadas a escala serían 900 millas?

Instrucciones: Usa la escala dada para determinar las medidas a escala de las siguientes dimensiones.

Dado: Escala 1" = 1 pie

6. ¿Cuál es la medida a escala para una habitación de 8' $\times$ 12’?

7. ¿Cuál es la medida a escala para una árbol de 1 yarda de alto?

8. ¿Cuál es la medida a escala para una torre de 36 pies de alto?

9. ¿Cuántos pies son?

10. ¿Cuál es la medida a escala para una habitación de $12' \times 16 \frac{1}{2}'$ ?

Instrucciones: Usa lo que has aprendido sobre las escalas y las medidas para responder cada una de las siguientes preguntas.

11. Joaquin está construyendo el modelo de una torre. Usará una escala de 1" = 1 pie. ¿Qué tan alta será esta torre en pulgadas si la torre real es de 480 pies de altura?

12. ¿Cuántos pies de altura tendría el modelo?

13. ¿Es esta una escala realista para este modelo? ¿Por qué o por qué no?

14. Si Joaquin decide usar una escala de $\frac{1}{4}''$ por cada pie, ¿Cuántos pies medirá su modelo?

15. ¿Qué escala debería usar Joaquin si quisiera que su modelo fuera de 5 pies de alto?

16. ¿Qué tan alto sería el modelo si Joaquin decidiera usar una escala de $\frac{1}{16}'' = 1$ pie?

Prev Next