Decimales Periódicos

En esta sección, aprenderás a escribir fracciones y números mixtos como decimales periódicos.

¿Te has enfrentado alguna vez a un problema de matemáticas que no pudiste resolver?

Pues bien, Josie no puede resolver un problema. Está a cargo de organizar al sexto y séptimo grado en seis equipos para un paseo. Podría parecer una tarea simple, excepto que hay que dividir a 49 estudiantes.

Josie escribió el siguiente problema.

$\frac{49}{6}$

Pensó que sería más fácil pensar en el problema como una fracción impropia. Pero es que aquí donde comenzó el problema. Dividió para convertir a la fracción impropia en un número mixto, sin embargo la respuesta resultó ser extraña.

Esta es la respuesta de Josie.

$8.1666666$

Los seis siguieron y siguieron.

Josie está confundida y no sabe qué significa esto para nada. ¿Sabes cómo podría hacerlo?

Esta sección se trata sobre los decimales periódicos. Al final de esta sección, sabrás cómo ayudar a Josie.

Orientación

Podemos convertir una fracción al dividir el numerador por el denominador en partes iguales para formar un decimal, llamamos a esto un decimal finito . La palabra "finito" significa con un fin. Todas las fracciones con las que hemos estado trabajando han sido decimales finitos.

$7\frac{1}{4}$

La palabra "finito" significa con un fin. Todas las fracciones con las que hemos estado trabajando han sido decimales finitos.

$& \overset{ \quad \ .25}{4 \overline{ ) {1.00 \;}}}\\\& \ \ \underline{-8}\\\& \quad \ \ 20\\\& \quad \underline{-20}\\\& \qquad \ 0$

Se trata de un decimal finito. Se llama así porque una vez que se le agrega la coma decimal y los marcadores de posición de cero, se pudo dividir el dividendo por el divisor en partes iguales.

¿Cómo se llama un decimal que NO es finito?

Un decimal que no termina y se repite el mimo número una y otra vez se llama decimal periódico. Se sabe que se tiene un decimal periódico si cuando se divide el numerador por el denominador, se termina con el mismo número.

Convierte $\frac{2}{3}$ en un decimal.

Primero, esta fracción no tienen un denominador potencia de diez, por lo que dividiremos el numerador por el denominador.

$& \overset{ \quad \ .666}{3 \overline{ ) {2.000 \;}}}\\\& \ \underline{-18}\\\& \quad \ \ 20\\\& \quad \underline{-18}\\\& \qquad \ 20 \\\& \quad \ \ \underline{-18}\\\& \qquad \quad 2$

¡Observa lo que sucede cuando dividimos! El mismo resto aparece una y otra vez, y nuestro cociente se convierte en una serie de números 6. No importa si seguimos añadiendo ceros muchas veces, nuestro decimal siempre se repetirá. Cuando tienen un decimal que es un decimal periódico, podemos agregarle una línea sobre el último digito del cociente. Se trata de una pista que nos indica que el decimal se repite.

Nuestra respuesta es $.66\bar{6}$ .

Divide estas fracciones y observa si obtienes decimales periódicos.

Ejemplo A

$\frac{1}{3}$

Solución: $.333333$ es un decimal periódico.

Ejemplo B

$\frac{1}{8}$

Solución: $.125$

Ejemplo C

$5\frac{1}{2}$

Solución: $5.5$

Ahora volvamos a Josie y a los equipos. Aquí tenemos otra vez el problema original.

Josie no puede resolver un problema. Está a cargo de organizar al sexto y séptimo grado en seis equipos para un paseo. Podría parecer una tarea simple, excepto que hay que dividir a 49 estudiantes.

Josie escribió el siguiente problema.

$\frac{49}{6}$

Esta es la respuesta de Josie.

$8.1666666$

Los seis siguieron y siguieron.

Josie está confundida y no sabe qué significa esto para nada. ¿Sabes cómo podría hacerlo?

La fracción impropia de Jossie convertida en un decimal llamado decimal periódico. Esto significa que los valores seguirán indefinidamente.

Josie no puede dividir 49 estudiantes en 6 equipos iguales. Un equipo tendrá un jugador extra.

Si divide 48 estudiantes en 6 equipos, hay 8 en cada equipo.

Ten en cuenta que este es el número entero en el decimal.

Puede agregar el estudiante adicional a alguno de los equipos y todo estará bien.

Vocabulario

Decimal Periódico: Decimal que se puede encontrar al dividir un numerador por un denominador y al agregar una coma decimal y marcadores de posición de ceros.

Decimal Periódico: Un decimal donde los dígitos en el cociente se repiten, se puede indicar poniendo una pequeña línea sobre el segundo dígito que se repite.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

¿ $4 \frac{4}{7}$ es un decimal periódico o un decimal finito ?

Respuesta

Para resolverlo, primero convirtámoslo en un decimal.

$4 \frac{4}{7} = \frac{32}{7} = 4.5714285$

Aunque este decimal es largo, se trata de un decimal finito y no de un decimal periódico.

Revisión en Video

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*Este video solo está disponible en inglés.

James Sousa Example of Fractions to a Terminating Decimal

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James Sousa Another Example of Fractions to a Terminating Decimal

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*Este video solo está disponible en inglés.

James Sousa Example of Fractions to a Repeating Decimal

Práctica

Instrucciones: determina si cada fracción o número mixto es un decimal.

1. $\frac{14}{3}$

2. $\frac{34}{9}$

3. $\frac{23}{3}$

4. $\frac{17}{4}$

5. $\frac{19}{6}$

6. $\frac{12}{5}$

7. $3\frac{1}{3}$

8. $8\frac{1}{2}$

9. $9\frac{2}{3}$

10. $11\frac{4}{5}$

11. $16\frac{1}{4}$

12. $\frac{44}{3}$

13. $\frac{66}{7}$

14. $\frac{18}{4}$

15. $\frac{74}{7}$

Decimales Periódicos

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

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Vocabulario

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Revisión en Video

Práctica

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