Proporciones con la Utilización de Producto Cruzado

En esta sección, aprenderás a identificar proporciones utilizando productos cruzados.

¿Alguna vez has participado en un equipo de natación? ¿Sabes cómo relacionar proporciones con situaciones cotidianas? Observa esto.

Tony también trabaja en el supermercado, pero en el colegio, él participa en el equipo de natación.

Tony nada 30 vueltas en 30 minutos. ¿Cuánto se demora en nadar 15 vueltas?

Para resolver este problema necesitas las proporciones y los productos cruzados. Sabrás cómo resolverlo al final de esta sección.

Orientación

Las proporciones se encuentran en todas partes. Las proporciones son comparaciones que hacemos entre diferentes cosas. Generalmente escucharás las palabras "en proporción", que significa que hay una relación entre las cosas.

¿Cuánto es el the relationship of a proportion? That is exactly what this Concept is going to work on.

¿Qué es una proporción?

Una proporción son razones equivalentes. Recuerda que una razón comparar dos cantidad. Bueno, una proporción comparar dos razones equivalentes.

Mientras que las razones se pueden escribir de tres formas diferentes, por lo general, verás que las proporciones se escriben como fracciones equivalentes. Observemos una proporción.

$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Aquí tenemos dos razones. Tenemos cuatro comparado con doce y uno comparado con tres. Estas dos razones forman una proporción. Simplificada, equivalen a lo mismo. Pueden simplificar cuatro doceavo y equivale a un tercio.

Algunas veces, una de las cosas más complicadas es resolver si dos razones forman una proporción. En el ejemplo anterior, podemos ver que el signo igual nos permite saber que las razones forman una proporción.

¿Cómo podemos diferenciar si dos razones forman una proporción?

Hay dos formas diferentes para resolver esto. Ya mencionamos la primera y es simplificar las dos razones y ver si son equivalentes.

$\frac{1}{4}$ y $\frac{5}{20}$

Un cuarto ya está en su forma simple, por lo que la dejamos así. Si simplificamos cinco doceavo, obtenemos un cuarto como respuesta. Un cuarto es equivalente a un cuarto, por lo que ambas razones forman una proporción.

$\frac{2}{8}$ y $\frac{3}{6}$

Si simplificamos estas dos fracciones, obtenemos dos respuestas diferentes. Dos octavos se simplifican en un cuarto. Tres sextos se simplifican en un medio. Ambas razones no son equivalentes. Por lo tanto, NO forman una proporción.

La segunda forma de resolver si dos razones forman una proporción es multiplicar cruzado o utilizar productos cruzados .

¿Qué es un producto cruzado?

UN producto cruzado es cuando multiplicas el numerador de una razón con el denominador de la otra. Esencialmente, multiplicas diagonalmente. Si el producto es el mismo, entonces las dos razones forman una proporción.

$\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$

Utilicemos productos cruzados.

$2 \times 6 &= 12\\\3 \times 4 &= 12\\\12 &= 12$ Las dos razones forman una proporción.

Podemos utilizar productos cruzados para resolver si las razones forman una proporción o no.

Intenta hacer alguno de ellos tú mismo. Utiliza productos cruzados para determinar si las razones forman una proporción. Escribe sí, si forman una proporción y no, si no lo hacen.

Ejemplo A

$\frac{2}{5}$ y $\frac{5}{9}$

Solución: No es una proporción.

Ejemplo B

$\frac{3}{6}$ y $\frac{5}{10}$

Solución: Si.

Ejemplo C

$\frac{4}{7}$ y $\frac{12}{28}$

Solución: No es una proporción.

Ahora volvamos a Tony y el equipo de natación. Veamos el problema original una vez más.

Tony también trabaja en el supermercado, pero en el colegio, él participa en el equipo de natación.

Tony nada 30 vueltas en 30 minutos. ¿Cuánto se demora en nadar 15 vueltas?

Nuestro primer paso es escribir las razones.

La información conocida es $\frac{10}{30}$

Esto es lo que estamos tratando de resolver $\frac{15}{x}$ .

Fíjate que ponemos la misma unidad en el numerador de ambas razones y la misma unidad en el denominador de ambas unidades.

$\frac{laps}{\text{min}\ utes} = \frac{laps}{\text{min}\ utes}$

Ahora podemos escribir una proporción.

$\frac{10}{30} = \frac{15}{x}$

Nuestra respuesta no es obvia en este problema. Es por esto que necesitamos utilizar productos cruzados. Multiplicamos 10 por $x$ y obtenemos $10x$ y luego multiplicamos 15 por 30 y obtenemos 450.

$10x = 450$

Podemos preguntarnos, ¿qué número, multiplicados por diez, da como resultado 450? O podemos simplificar los ceros y resolver.

Esta es nuestra respuestas si simplificamos los ceros $1x = 45$ 1 por 45 equivale a 45

O podemos pensar "10 por 45 es igual a 450"

Nuestra respuesta es 45. Tony nada 15 vueltas en 45 minutos.

Vocabulario

Proporción: Dos razones equivalentes.

Razón: Comparación de dos cantidades que se pueden escribir en forma de fracción, con dos puntos o con la palabra "a".

Productos cruzados: Multiplicación diagonal de cada razón de la proporción.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes tú mismo.

Estas dos razones ¿forman una proporción? ¿Por qué? O ¿Por qué no?

$\frac{6}{9} and \frac{3}{4.5}$

Respuesta

Para resolver esto, utilizamos productos cruzados.

6 x 4.5 = 27

9 x 3 = 27

Los productos cruzados son equivalentes.

Estas dos razones forman una proporción.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

James Sousa, Introduction to Proportions

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza el producto cruzado o la simplificación para identificar si cada par de razones forman una proporción. Si es así, escribe sí. Si no lo es, escribe no.

1. $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$

2. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$

3. $\frac{1}{4} = \frac{3}{15}$

4. $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$

5. $\frac{3}{4} = \frac{6}{10}$

6. $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$

7. $\frac{2}{7} = \frac{4}{21}$

8. $\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$

9. $\frac{7}{8} = \frac{14}{16}$

10. $\frac{25}{75} = \frac{1}{3}$

11. $\frac{11}{33} = \frac{1}{3}$

12. $\frac{15}{33} = \frac{2}{3}$

13. $\frac{18}{30} = \frac{36}{60}$

14. $\frac{1}{3} = \frac{6}{12}$

15. $\frac{85}{100} = \frac{43.5}{50}$

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