Proporciones para Encontrar Dimensiones

En esta sección, aprenderás a utilizar las proporciones para encontrar dimensiones reales o a escala cuando te han dado razones a escala.

¿Alguna vez has pensado cómo se crean las vitrinas en tiendas y supermercados?

Jessica está a cargo de crear un nuevo proyecto con las vitrinas del supermercado. Su gerente se dio cuenta que garabateaba en su cuaderno y quedó impresionado con su habilidad artística. Llamó a Jessica a su oficina y le entregó el diseño en una hoja de papel. "Queremos crear un panel especial para centrarnos en una producto importante cada semana. Este es el borrador del diseño. Ese productos estará a la venta y, con suerte, esta nueva vitrina ayudará a que la gente lo vea y lo compre", el gerente le explicó a Jessica. El diseño en la página es de 8'' $\times$ Es un rectángulo y la escala al final de página decía 1'' = 6''

Jessica saca un cartón y un cartonero. Sabe que necesita la escala para resolver las medidas exactas de la vitrina. El problema es que no puede recordar cómo hacer el cálculo. Si fuera 1'' a 1 pies", ella piensa. "Luego, el poster sería de 8 pies $\times$ 5 pies, pero eso no es todo. 6'' es solo½ de 1 pies, por lo que la escala es 1'' a½ pies". Jessica está confundida. ¿Cuáles son las dimensiones para la vitrina?

Esta sección trabaja con escalas y proporciones. Puedes utilizar una escala para resolver el cambio en medidas de una imagen al objeto real.

Prepárate y así podrás ayudar a Jessica al final de esta Sección.

Orientación

Anteriormente trabajamos en cómo encontrar proporciones en la vida real. Esta Sección se centra en las escalas y dibujos a escala. Este es un lugar importante donde utilizamos proporciones en la vida real.

¿Qué es un dibujo a escala?

Un dibujo a escala es un dibujo que se utiliza para representar un objeto que es demasiado grande para dibujarlo en sus dimensiones reales.

Si tienes un edificio muy alto, no podrías realizar el dibujo del edificio con la altura que tiene. Piensa en cuántas hojas de papel necesitarías para dibujar un edificio que mide 25 pies de altura. Este es un ejemplo donde un dibujo a escala sería útil. Podemos utilizar una escala para representar medidas, y luego dibujar el edificio en un tamaño con el que tenga mayor sentido.

¿Qué es una escala? Cuando pensamos en una escala, no estamos hablando sobre el objeto que utilizamos para medir cosas.

La escala de la que hablamos es una fracción que muestra la relación entre las medidas de un dibujo y las medidas de un objeto real.

$\frac{1\ inch}{4\ feet}$

Esta escala dice que utilizaríamos una pulgada para representar cada cuatro pies. El número de arriba es la escala que se utilizará para el dibujo. EL número de abajo representa la medida del edificio real. Digamos que queremos dibujar un edificio que es dieciséis pies de altura utilizando esta escala. Podríamos establecer una proporción para resolver el número de pulgadas que necesitaríamos para dibujar.

$\frac{1\ inch}{4\ feet} = \frac{x\ inches}{16\ feet}$

Ahora podemos utilizar lo que hemos aprendido en nuestra última Sección sobre la multiplicación cruzada para resolver proporciones. Esto nos ayudará a resolver la dimensión a escala del edificio.

$16 = 4x$

Nuestra respuesta es cuatro pulgadas. Las dos razones ahora forman una proporción. ¿Qué pasaría si tuviéramos más de una dimensión? Digamos que tenemos una habitación de 8' $\times$ 12' y queremos utilizar una escala de 1'' = 2 pies. ¿Cuántas pulgadas de longitud y ancho tendría este dibujo? Primero, miremos al ancho de la habitación. Tiene ocho pies de ancho. Podemos establecer una proporción utilizando la escala y el ancho real para resolver el ancho del dibujo.

$\frac{1\ in}{2\ ft} = \frac{x}{8\ ft}$

Luego, resolvemos la proporción con la multiplicación cruzada.

$2x & = 8 \\\x & = 4\ inches$

En el dibujo, el ancho sería de cuatro pulgadas. Ahora necesitamos mirar la longitud. La habitación mide 12 pies de largo. Podemos establecer una proporción utilizando la escala y la longitud real para resolver la longitud del dibujo.

$\frac{1\ in}{2\ ft} = \frac{x}{12\ ft}$

Luego, resolvemos la proporción.

$2x & = 12 \\\x & = 6$

En el dibujo, la longitud de la pieza será de seis pulgadas. Después, podemos realizar un dibujo a escala de esta habitación. Si una unidad del dibujo es equivalente a una pulgada, está es nuestra habitación.

También podemos utilizar las dimensiones a escala para resolver las dimensiones reales de algo. Utilizaremos proporciones para hacerlo.

El diseño de las flores muestra que el ancho del jardín en el dibujo es de seis pulgadas. Si la escala es de 1'' = 5 pies, ¿cuál es el ancho real del jardín de flores? Para resolver este problema, necesitamos establecer una proporción. Comencemos por escribir la escala en forma de razón.

$\frac{1$ Luego, podemos escribir las dimensiones reales que conocemos con una variable como nuestra incógnita y hacer de esta la segunda razón en esta proporción.

$\frac{1$

El dibujo de nuestro jardín de flores es de seis pulgadas. Podemos resolver la proporción para las dimensiones reales del jardín de flores con la multiplicación cruzada.

$1x & = 30 \\\x & = 30\ ft$

El jardín de flores real es de 30 pies de ancho.

Practica alguno de ellos tú mismo. Resuelve cada proporción para las medidas a escala o las medidas reales.

Ejemplo A

$\frac{1^{\prime\prime}}{3\ ft} = \frac{x}{21\ ft}$

Solución: 7 pulgadas.

Ejemplo B

$\frac{3\ in}{6\ ft} = \frac{9\ in}{x}$

Solución: 18 pies.

Ejemplo C

$\frac{2\ in}{10\ ft} = \frac{x}{120\ ft}$

Solución: 24 pulgadas.

Ahora, miremos otra vez el problema que estaba al principio de esta Sección.

Jessica está a cargo de crear un nuevo proyecto con las vitrinas del supermercado. Su gerente se dio cuenta que garabateaba en su cuaderno y quedó impresionado con su habilidad artística. Llamó a Jessica a su oficina y le entregó el diseño en una hoja de papel. "Queremos crear un panel especial para centrarnos en una producto importante cada semana. Este es el borrador del diseño. Este producto estará a la venta y, con suerte, esta nueva vitrina ayudará a que la gente lo vea y lo compre", el gerente le explicó a Jessica.

El diseño en la página es de 8'' $\times$ 5''. Es un rectángulo y la escala al final de página decía 1'' = 6'' .

Jessica saca un cartón y un cartonero. Sabe que necesita la escala para resolver las medidas exactas de la vitrina. El problema es que no puede recordar cómo hacer el cálculo.

Si fuera 1'' a 1 pies", ella piensa. "Luego, el poster sería de 8 pies $\times$ 5 pies, pero eso no es todo. 6'' es solo½ de 1 pies, por lo que la escala es 1'' a½ pies".

El factor escala es 1''. 6"

O $\frac{1}{6}$

El dibujo muestra que la longitud del letrero rectangular es de 8'' y el ancho es de 5". Si una pulgada es equivalente a un medio de un pie, entonces la longitud es de 4 pies y el ancho de 2,5 pies. Jessica esta impresionada de lo simple que resultó resolverlo una vez que supo cómo usar el factor escala. Su panel es de 4 pies $\times$ 2,5 pies. ¡Ella comienza a trabajar en el panel y el diseño inmediatamente!

Vocabulario

Proporción: Dos razones equivalentes.

Dibujo a escala: Un dibujo utilizar cuando un objeto de la vida real es demasiado grande para dibujarlo en sus dimensiones reales.

Escala: La relación del tamaño de un dibujo con el tamaño de un objeto real.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes tú mismo.

$\frac{7\ in}{70\ ft} = \frac{x}{140\ ft}$

Respuesta

Para encontrar el valor desaparecido, podemos mirar la relación entre ambos denominadores. El segundo denominador dobla al primer denominador. Por esto, tiene sentido que si doblamos el primer numerador nos dará el valor del segundo numerador.

Nuestra respuesta es 14 pulgadas.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy, Solving Proportions

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Encuentra las dimensiones reales utilizando las proporciones.

1. La escala del dibujo muestra que 1" = 5 pies. Si el dibujo muestra la altura del edificio como 5 pulgadas, ¿cuán alto es el edificio real?

2.Según esta escala, un dibujo de un edificio es de 7 pulgadas, ¿cuán alto es el edificio real?

3. Según esta escala, ¿cuán alto es un edificio que tiene un dibujo de 15 pulgadas?

4. La escala del dibujo muestra que 2" = 10 pies. Si el dibujo muestra la altura del edificio como 8 pulgadas, ¿cuán alto es el edificio real?

5. La escala del dibujo muestra que 1" = 3 pies. Si el dibujo muestra la altura del árbol como 9 pulgadas, ¿cuán alto es el árbol?

6. La escala del dibujo muestra que 2" = 7 pies. Si el dibujo muestra que la altura del árbol es de 6 pulgadas, ¿cuán alto es el árbol?

7. La escala del dibujo muestra que 1" = 3 pies. Si el dibujo muestra que la altura de la casa del árbol es de3", ¿cuán alto es la casa del árbol real?

Instrucciones: Encuentra las dimensiones a escala utilizando las proporciones.

8. La escala de un mapa muestra que 1" = 50 millas. Si el mapa muestra que hay 5" entre las dos ciudades, ¿cuál es la distancia real?

9. La escala de un mapa muestra que 2" = 100 km. Si el mapa muestra que hay 3" entre las dos ciudades, ¿cuál es la distancia real entre ambas?

10. La escala de un mapa muestra que 4" = 200 km. Si el mapa muestra que hay 5 pulgadas entre las dos ciudades, ¿cuál es la distancia real entre ambas?

11. La escala del diseño de un jardín muestra que 2" = 3 pies. ¿Cuán grande es el jardín si el terreno rectangular es de 4" $\times$ 6”?

12. La escala del diseño del diseño de una habitación muestra que 1" = 2 pies. ¿Cuán grande es la habitación real si el diseño muestra un cuadrado que mide 5 pulgadas de ancho?

13. TLa escala del diseño del diseño de una habitación muestra que 2" = 4 pies. ¿Cuán grande es la habitación real si el diseño muestra un cuadrado que mide 10 pulgadas de ancho?

14. Utilizando la misma escala, ¿cuán grande es la habitación real si el diseño muestra un cuadrado que mide 15 pulgadas de ancho?

15. Utilizando la misma escala, ¿cuál es la altura de un edificio si el dibujo es de 12 pulgadas de alto?

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