Plan de Resolución de Problemas: Proporciones

En esta sección, aprenderás a utilizar la estrategia para solucionar problemas. Utilizar una proporción.

¿Alguna vez has estudiado a las ranas?

A Tim le encanta leer sobre las ranas. Mientras su mamá compraba en el supermercado, Tim se fijó en una revista sobre ranas. No pudo evitar tomarla y se alegró de tener unos dólares en su bolsillo para comprarla. Cuando Tim subió al auto, estaba impresionado de leer que una rana puede saltar veinte veces la longitud de su cuerpo. Eso significa que si una rana miden tres pulgadas, puede saltar 20 veces esa longitud. ¡5 pies!

3 $\times$ 20 $=$ 60 pulgadas o 5 pies.

"Mamá, escucha esto", exclamó Tim, mientras compartía su descubrimiento.

"¡Oh, Tim, no sabía eso! Tú mides cuatro pues, entonces ¿cuánto podrías saltar si lo hicieras como una rana? Tim dejó de pensar. NO estaba seguro de saber cómo resolver eso, pero estaba seguro que las proporciones serían parte de esto.

¿Sabes cómo resolver esto? Utiliza la información de esta Sección para ayudar a Tim a saltar como una rana.

Orientación

Esta Sección se enfoca en la utilización de proporciones para resolver un problema. Usar una proporción para resolver un problema, deben existir ciertos criterios. Si estos criterios no están presentes, no puedes usar una proporción para resolver el problema.

¿Qué información necesita estar presente en un problema para resolverlo utilizando una proporción?

Para usar una proporción en un problema, el problema debe tener información que se compara. También debe tener la misma información en ambos grupos. Si piensas en eso, tendrá mucho sentido. Una proporción compara dos razones equivalentes: si la información en el problema es diferente, entonces se están comparando dos cosas diferentes y no son equivalentes.

Una chita puede correr 75 millas por hora. Si puedes correr tres veces tan rápido como la chita, ¿qué tan rápido podrías correr?

Este problema compara las mismas cantidades. Compara la velocidad de la chita por hora y la velocidad de la persona por hora. Aquí hay una proporción que muestra la comparación.

$\frac{cheetah's \ speed}{number \ of \ hours}= \frac{Person's \ speed}{number \ of \ hours}$

Cuando miras estas dos comparaciones, puedes ver que están comparando velocidad con velocidad. Podemos utilizar una proporción para resolver este problema.

Algunas veces tienes un problema donde no puedes usar una proporción.

Un auto viaja 55 millas en dos horas. Un bus viaja 85 kilómetros en dos horas. ¿Qué vehículo recorrió una distancia más grande?

En este problema nuestras unidades no son lo mismo. Estamos comparando horas con horas, pero también comparamos millas con kilómetros, por lo que las unidades son diferentes. No podríamos utilizar una proporción para resolver este problema sin convertir las unidades primero.

Apliquemos una proporción y utilízala para resolver el problema de la chita.

Una chita puede correr 75 millas por hora. Si puedes correr tres veces tan rápido como la chita, ¿qué tan rápido podrías correr?

Ya escribimos la proporción para mostrar lo que se compara en este problema. Esta es la proporción.

$\frac{cheetah's \ speed}{number \ of \ hours}= \frac{Person's \ speed}{number \ of \ hours}$

Nuestro siguiente paso es tomar los datos y ponerlos en la proporción.

$\frac{75}{1}=\frac{x}{3}$

Aquí escribimos que la chita corre 75 millas por hora. Por significa "dividido por" y "hora" se refiere solo a una, por lo que usamos uno como nuestro denominador y 75 como la velocidad en el numerador. La persona corre tres veces más rápido, por lo que iría tan lejos en 1 hora lo que un chita haría en 3. Colocamos el 3 en el denominador. Multiplicamos el denominador por 3, por lo que el numerador se vuelve 3(75) y utilizaremos una variable para la velocidad de la persona porque aún no sabemos cuál es.

Luego resolvemos la proporción utilizando los productos cruzados.

$x &= 75(3)\\\x &= 225 \ mph$

Si una persona corre tres veces tan rápido como una chita, correría 225 millas por hora. ¡Eso es muy rápido!

Ahora puedes intentar hacer algunos tú mismo. Resuelve cada problema utilizando proporciones.

Ejemplo A

Si pudieras correr dos veces más rápido que una chita, ¿qué tan rápido podrías correr?

Solución: 150 mph

Ejemplo B

Si pudieras correr la mitad de rápido que una chita, ¿qué tan rápido podrías correr?

Solución: 37,5 mph

Ejemplo C

Si pudieras correr cuatro veces más rápido que una chita, ¿qué tan rápido podrías correr?

Solución: 300 mph

¿Estás listo? Utiliza lo que has aprendido y deberías estar listo para ayudar a Tim a resolver el dilema de la rana. Veamos el problema original una vez más.

3 $\times$ 20 = 60 pulgadas o 5 pies.

"Mamá, escucha esto", exclamó Tim, mientras compartía su descubrimiento.

"¡Oh, Tim, no sabía eso! Tú mides cuatro pues, entonces ¿cuánto podrías saltar si lo hicieras como una rana?"

Tim dejó de pensar. No estaba seguro de saber cómo resolver eso, pero estaba seguro que las proporciones serían parte de esto.

Para comenzar, escribamos una proporción que compare la longitud de la rana y su salto con la altura de Tim y su salto.

$\frac{frog \ length}{frog \ jump}=\frac{Tim's \ height}{Tim's \ jump}$

Ahora que tenemos una proporción, podemos utilizar la información que sabemos.

$\frac{3''}{60''}=\frac{4ft}{x}$

Oh, este es nuestro primero problema. La rana se mide en pulgadas y la altura de Tim, en pies. Cambiemos 4 pies a pulgadas.

4 $\times$ 12 = 48”

Ahora podemos resolver la variable de cuánto puede saltar Tim. Lo hacemos resolviendo la proporción.

$\frac{3''}{60''}& =\frac{48''}{x}\\\3x &= 2880\\\x &= 960''$

Dividimos 2880 por tres y obtenemos 960 pulgadas en nuestra respuesta. Ahora podemos convertir esto en pies para mostrar cuánto puede saltar Tim.

$\overset{\ \ 80}{12\overline{)960}}$

Si Tim fuera una rana podría saltar 80 pies. Si disfrutaste hacer este problema, revisa "Si Saltaras como una Rana" de David M, Schwartz, un gran libro gráfico de proporciones.

Vocabulario

Estas son las palabras del vocabulario de esta Sección.

Proporción: Una comparación equivalente de dos razones.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes tú mismo.

Utiliza una proporción para resolver el siguiente problema.

Si una persona puede correr 3 millas en 20 minutos, ¿cuánto tiempo le tomaría a la misma persona correr 12 millas si lo hace a la misma tasa?

Respuesta

En este problema, estamos comparando millas y tiempo. Ese es nuestra razón. Establezcámosla.

$\frac{miles}{time} = \frac{miles}{time}$

Luego, llenamos los datos correspondientes.

$\frac{3}{20} = \frac{12}{x}$

Ahora, multiplicamos cruzado y resolvemos.

$3x = 240$

$x = 80$

La persona correría 12 millas en 80 minutos.

Revisión en Video

Estos son videos que para que revises.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy, Understanding Proportions

*Este video solo está disponible en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

James Sousa, Applications Using Proportions

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada problema utilizando proporciones.

1. En un diagrama para el nuevo jardín, cada pulgada es equivalente a 3 pies. Si ese es el caso, ¿cuántos pies tiene el jardín en realidad si las medidas del diagrama son 5 pulgadas?

2. Si dos pulgadas en un mapa son equivalentes a tres millas, ¿cuántas millas se representan en cuatro pulgadas?

3. Si ocho pulgadas en un mapa son equivalentes a diez millas, ¿cuántas millas son equivalentes a 16 pulgadas?

4. Casey realizó un diseño para la habitación. En la foto, ella utilizó una pulgada para representar cinco pies. Si la pieza de su habitación mide diez pies de largo, ¿cuántas pulgadas dibujará Casey en su diagrama para representar estas medidas?

5. Si dos pulgadas son equivalentes a doce pies, ¿cuántas pulgadas serían equivalentes a 36 pies?

6. Si cuatro pulgadas son equivalentes a dieciséis pies, ¿cuántos pies son equivalentes a dos pulgadas?

7. El carpintero escogió una escala de 6" por cada doce pies. Según estas medidas, ¿cuántos pies se representarían por 3"?

8. Si 9 pulgadas son equivalentes a 27 pies, ¿cuántos pies son equivalentes a tres pulgadas?

9. Si cuatro pulgadas son equivalentes a 8 pies, ¿cuántos pies son equivalentes a dos pulgadas?

10. Si seis pulgadas son equivalentes a diez pies, ¿cuántas pulgadas son equivalentes a cinco pies?

11. Si cuatro pulgadas son equivalentes a doce pies, ¿cuántas pulgadas son equivalentes a seis pies?

12. Por cada 20 pies de valla, John dibujó 10 pulgadas en su plano. Si la valla real mide solo 5 pies de largo, ¿cuántas pulgadas dibujará John en su plan?

13. Si ocho pulgadas son equivalentes a doce pies, ¿cuántas pulgadas son equivalentes a seis pies?

14. ¿Cuántas pulgadas son equivalentes s 20 pies si 4 pulgadas son equivalentes a 10 pies?

15. ¿Cuántas pulgadas son equivalentes s 8 pies si seis pulgadas son equivalentes a 16 pies?

16. Nueve pies son equivalentes a doce pies, entonces ¿cuántas pulgadas son equivalentes s 4 pies?

17. Si una persona puede correr dos millas en doce minutos, ¿cuánto tiempo le tomaría correr 4 millas si lo hace a la misma tasa?

18. Una persona corre 1 milla en 16 minutos. Según esta información, ¿cuánto tiempo le tomaría correr 3 millas?

19. Si una persona corre dos millas en veinte minutos, ¿a qué tasa corre una milla?