Medición de Ángulos en Triángulos Dados

En esta sección, aprenderás a encontrar mediciones desconocidas de ángulos en triángulos dados.

¿Has escuchado alguna vez sobre el Triángulo de las Bermudas?

Isaac y Marc continúan con su trabajo sobre el skatepark. Ambos se sienten fascinados por el Triángulo de las Bermudas y han decidido nombrar una de las partes de su diseño con este nombre.

El Triángulo de las Bermudas se encuentra en un área de agua justo alrededor de Las Bermudas. Han habido muchos misterios alrededor de esta área del océano. Además, muchos barcos se han perdido en ese lugar.

Ya que les encanta la idea de construir un riel desafiante, han decidido nombrarlo el Triángulo de las Bermudas. El triángulo se conectará con una rampa a cada lado del triángulo, de forma que los estudiantes desciendan la rampa hacia los rieles. ¡En ese lugar, tendrán éxito o se perderán en el mar!

Marc dibujó la siguiente imagen del triángulo.

El triángulo tiene tres ángulos y los chicos quieren reproducir estos ángulos en su estructura. El primer ángulo $B$ es igual a $62^\circ$ , el segundo ángulo $C$ es igual a $63^\circ$ .

Marc no puede recordar la medida del ángulo $A$ . Cree que hay una forma de encontrarlo, pero no recuerda cómo. ¿Lo sabes?

Pon atención a esta Sección para que ayudes a Marc a descubrirlo. ¡Hay una forma de hacerlo sin mirar la respuesta!

Orientación

Hay algunos aspectos de resolución de problemas al trabajar con triángulos. Algunos de estos consisten en encontrar ángulos desconocidos y otros tienen que ver con el dibujo de triángulos específicos. Las medidas de los ángulos son importantes en ambos aspectos.

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a $180^\circ$ .

¿Qué sucede si conoces dos, pero no las tres medidas de un triángulo? ¿Cómo puedes encontrar la medida del ángulo faltante?

¿Cómo luce esto?

Ahora, podemos decir que este es un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos mide 90 grados. Para encontrar la medida del ángulo que falta, hemos usado una variable para representar la cantidad desconocida. Esta es nuestra ecuación.

$55 + 90 + x & = 180 \\\145 + x & = 180 \\\180 - 145 & = x \\\x & = 35^\circ .$

Nuestra respuesta es $35^\circ$ .

¿Cómo podemos dibujar un triángulo específico?

Podemos dibujar un tipo específico de triángulo mediante el uso de una regla y un transportador. Recuerda que en una Sección anterior vimos que un transportador se utiliza para medir ángulos. Podemos usar el transportador para encontrar la medida de un ángulo y luego dibujar el resto del triángulo con la regla.

Dibuja un triángulo obtuso.

Recuerda que un triángulo obtuso tiene un ángulo mayor a 90 grados.

Para dibujar un triángulo obtuso, comienza por dibujar el ángulo obtuso. Usa tu transportador para medir un ángulo que sea mayor a 90 grados.

Aquí se muestra un transportador en donde se ha dibujado un ángulo de 105 grados. Podemos llamar esto un ángulo obtuso, porque es mayor a 90 grados, pero menor a 180 grados. Luego, podemos dibujar el resto del triángulo utilizando nuestra regla.

Este es nuestro triángulo obtuso.

Ahora, podemos dibujar un triángulo agudo. Un triángulo agudo tiene tres ángulos menores a 90 grados. Necesitaremos tener cuidado a medida que dibujamos y medimos este triángulo. Comencemos con un ángulo.

El primer ángulo que he dibujado aquí mide. $30^\circ$ . Puedo dibujar los otros dos ángulos asegurándome de que midan menos de 90 grados.

Este es un triángulo agudo.

Puedes dibujar cualquier tipo de triángulo que desees al usar un transportador y una regla.

Practica encontrando el ángulo desconocido en los siguientes triángulos.

Ejemplo A

Solución: 70 grados.

Ejemplo B

Solución: 71 grados.

Ejemplo C

Un triángulo con los siguientes ángulos.

$90 + 45 + x = 180^\circ$

Solución: 45 grados.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Marc dibujó la siguiente imagen del triángulo.

El triángulo tiene tres ángulos y los chicos quieren reproducir estos ángulos en su estructura. El primer ángulo $B$ es igual a $62^\circ$ , el segundo ángulo $C$ es igual a $63^\circ$ .

Marc no puede recordar la medida del ángulo $A$ . Cree que hay una forma de encontrarlo, pero no recuerda cómo.

La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a $180^\circ$ .

Marc sabe la medida de dos de los ángulos del triángulo. Por lo tanto, puede escribir una ecuación para encontrar la medida del tercer ángulo.

$63 + 62 + x = 180$

La variable $x$ se usa para representar la medida del ángulo $A$ . Marc está trabajando para encontrar la medida del ángulo $A$ .

$125 + x & = 180 \\\180 - 125 & = 55$

La medida del ángulo $A$ es $55^\circ$

Vocabulario

Triángulo Agudo: Es un triángulo en el que los tres ángulos son menores a 90 grados.

Triángulo Rectángulo: Un ángulo es igual a 90 grados y los otros dos son ángulos agudos.

Triángulo Obtuso: Un ángulo es mayor a 90 grados y los otros dos son ángulos agudos.

Triángulo Equilátero: Sus tres ángulos son iguales.

Triángulo Escaleno: Es un triángulo en el que las longitudes de sus tres lados son diferentes.

Triángulo Isósceles: Dos longitudes de sus lados son iguales y una es diferente.

Triángulo Equilátero: Sus tres longitudes de lado son iguales.

Transportador: Es una herramienta utilizada para medir ángulos.

Ángulos internos: Son los ángulos que se encuentran dentro de una figura.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Observa las siguientes sumas de ángulos. Encuentra la medida del ángulo que falta.

$25 + 45 + x = 180^\circ$

Respuesta

Para encontrar la medida del ángulo que falta, primero tenemos que sumar las medidas de los dos ángulos dados.

$25 + 45 = 70$

Ahora, podemos restar esa medida a 180.

$180 - 70 = 130$

La medida del ángulo faltante es 130 grados.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*Video disponible solo en inglés

James Sousa: Animation: The Sum of the Interior Angles of a Triangle - Este video te proporcionará información importante para tener éxito en este capítulo.

Práctica

Instrucciones: Pensamiento Crítico - Cada pregunta combina información sobre los ángulos y las longitudes de los lados. Responde cuidadosamente cada pregunta.

1. Verdadero o Falso. Si un triángulo es equiangular, también puede ser equilátero.

2. Verdadero o Falso. Un triángulo escaleno no puede ser un triángulo equilátero.

3. Verdadero o Falso. La palabra "equiangular" se aplica a las longitudes de los lados.

4. Verdadero o Falso. Un triángulo isósceles puede ser un triángulo obtuso o agudo.

5. Un ___________________ es una herramienta utilizada para medir ángulos.

6. Un ángulo __________ es igual a 90 grados.

7. Un ángulo __________ es igual a 180 grados.

8. Un ángulo ________ es menor a 90 grados.

9. Un ángulo _________ es mayor a 90 grados, pero menor a 180 grados.

10. El prefijo "tri" significa ______________.

11. ¿Cuántos ángulos hay en un triángulo?

Instrucciones: Observa cada triángulo y determina la medida del ángulo que falta.

12. $20 + 70 + x = 180^\circ$

13. $60 + 60 + x = 180^\circ$

14. $90 + 15 + x = 180^\circ$

15. $110 + 45 + x = 180^\circ$

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