Relación de los Lados de un Polígono con los Ángulos y Diagonales

En esta sección, aprenderás a relacionar lados de polígonos con medidas de ángulos y diagonales.

Travis está dibujando un diseño para el skatepark. Ha etiquetado todos los ángulos en su figura.

Si la suma de los ángulos es $900^\circ$ .

¿Qué figura está dibujando Travis? ¿Sabes cómo resolver esto?

Esta Sección te enseñará cómo relacionar los lados de los polígonos con las medidas de los ángulos. Para el final, sabrás cómo ayudar a Travis a responder esto.

Orientación

Podemos dividir polígonos en triángulos mediante el uso de diagonales. Esto es muy útil cuando tratamos de encontrar la suma de los ángulos internos de un polígono diferente a un triángulo o cuadrilátero.

Observa el segundo punto de información en este recuadro. La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es $360^\circ$ . ¿Por qué esto es importante? Puedes dividir un cuadrilátero en dos triángulos mediante el uso de diagonales. Cada triángulo mide $180^\circ$ , así que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es $360^\circ$ .

Aquí hay una diagonal en el cuadrilátero. Solo podemos dibujar una, porque de otra forma las rectas se intersectarían.

Una diagonal es un segmento de recta en un polígono que junta dos vértices no consecutivos.

Un vértice consecutivo es uno que está junto a otro, así que un vértice no consecutivo es uno que no se encuentra junto al otro.

¿Cómo utilizamos esto con otros polígonos?

Podemos dividir otros polígonos usando diagonales y encontrando la suma de los ángulos interiores.

Aquí hay un hexágono que ha sido dividido en triángulos por las diagonales. Aquí puedes ver que se forman cuatro triángulos. Si la suma de los ángulos internos de cada triángulo es igual a $180^\circ$ , y tenemos cuatro triángulos, entonces la suma de los ángulos interiores de un hexágono es:

$4(180) = 720^\circ$

Podemos seguir este mismo procedimiento con cualquier otro polígono.

¿Qué pasa si no tenemos la imagen del polígono? ¿Existe otra forma de encontrar el número de triángulos sin dibujar todas las diagonales? A continuación, te mostraremos cómo usar una fórmula con el número de lados en un polígono puede ayudarte a encontrar la suma de los ángulos internos.

Para entender de mejor manera cómo funciona esto, observemos una tabla que muestra el número de triángulos relacionados con el número de lados en un polígono.

¿Observas algún patrón?

El mayor patrón que debes notar es que el número de triángulos es 2 menos el número de lados. ¿Por qué esto es importante? Bueno, si sabes que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 grados y si sabes que hay tres triángulos en un polígono, entonces puedes multiplicar el número de triángulos por 180 y eso te dará la suma de los ángulos internos.

Aquí está la fórmula.

$x =$ Número de lados

$(x - 2)180 =$ Suma de los ángulos internos

Puedes tomar el número de lados y usarlo como $x$ .

Luego, resuelve la suma de los ángulos internos.

Intentémoslo.

¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un decágono?

Un decágono tiene diez lados. Esta es nuestra medida $x$ . Ahora, utilicemos la fórmula.

$(x - 2)180 & = (10 - 2)180 \\\8(180) & = 1440^\circ$

Nuestra respuesta es que hay $1440^\circ$ en un decágono.

Intenta resolver algunos ejercicios por tu cuenta.

Ejemplo A

La suma de los ángulos internos de un pentágono.

Solución: $540^\circ$

Ejemplo B

La suma de los ángulos internos de un triángulo.

Solución: $180^\circ$

Ejemplo C

La suma de los ángulos internos de un octágono.

Solución: $1080^\circ$

A continuación, presentamos nuevamente el problema original.

Travis está dibujando un diseño para el skatepark. Ha etiquetado todos los ángulos en su figura.

Si la suma de los ángulos es $900^\circ$ .

¿Qué figura está dibujando Travis? ¿Sabes cómo resolver esto?

Podemos resolver esto al usar la fórmula para medir ángulos y lados de un polígono.

$(x - 2)180 = 900^\circ$

Ahora, podemos resolver esto como si fuera una ecuación. Comienza por dividir ambos lados en 180 grados.

$x - 2 = 900 \div 180$

$x - 2 = 5$

Luego, suma 2 a ambos lados de la ecuación.

$x - 2 + 2 = 5 + 2$

$x = 7$

La figura de Travis es un heptágono con siete lados.

Vocabulario

Polígono: Es una figura cerrada simple formada por tres o más segmentos de recta.

Pentágono: Es un polígono de cinco lados.

Hexágono: Es un polígono de seis lados.

Heptágono: Es un polígono de siete lados.

Octágono: Es un polígono de ocho lados.

Nonágono: Es un polígono de nueve lados.

Decágono: Es un polígono de diez lados.

Polígono Regular: Es un polígono con todos los lados congruentes.

Polígono Irregular: Es un polígono en el que las longitudes de los lados no son congruentes.

Congruente: Significa "exactamente lo mismo" o "igual".

Diagonal: Es un segmento de recta en un polígono que conecta vértices no consecutivos.

No consecutivos: Que no están juntos uno al otro.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un nonágono regular?

Respuesta

Para resolver esto, podemos usar la fórmula presentada en esta Sección.

$(x - 2)180$

En esta fórmula, el valor $x$ es el número de lados del polígono.

En este caso, un nonágono tiene 9 lados.

$(9 - 2)180$

$(7)(180)$

La respuesta es $1260^\circ$ .

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*Video disponible solo en inglés

Khan Academy Sum of Interior Angles of a Polygon

Práctica

Instrucciones: Observa cada imagen y nombra el tipo de polígono.

Instrucciones: Nombra el número de diagonales en cada polígono.

Instrucciones: Utiliza la fórmula para encontrar la suma de los ángulos internos de cada polígono.

10. Hexágono

11. Pentágono

12. Decágono

13. Pentágono

14. Octágono

15. Cuadrado

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