Medidas Desconocidas de Figuras Similares

En esta sección, aprenderás a encontrar medidas desconocidas de figuras similares.

¿Alguna vez te has quedado pegado en un problema de matemáticas?

Jessica vio este problema en su tarea. Sabe que necesitará usar proporciones de alguna forma para encontrar la longitud del lado que falta, pero no está segura de cómo hacerlo.

¿Lo sabes?

Esta sección te enseñará cómo abordar problemas como este.

Orientación

Anteriormente, trabajamos en cómo localizar los lados correspondientes de triángulos similares, ahora, podemos escribir radios para comparar las longitudes de los lados.

Primero, identifica los lados correspondientes de estos dos triángulos similares.

$\frac{LM}{OP} = \frac{LN}{OQ} = \frac{MN}{PQ}$

Ahora, nos han dado las longitudes de los lados para cada par de lados correspondientes. Estos han sido escritos en una proporción o un grupo de tres radios iguales. Recuerda que existe una relación entre los lados correspondientes, porque son partes de triángulos similares. Las longitudes de los lados de los triángulos similares forman una proporción .

Sustituyamos las medidas dadas en nuestra fórmula.

$\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2}$

Existe un patrón con los radios de los lados correspondientes. Puedes ver que las medidas de cada lado del primer triángulo divididas por dos son igual a la medida del lado correspondiente del segundo triángulo.

Podemos usar patrones como este para resolver problemas de longitudes de lados desconocidos de triángulos similares.

Aquí tenemos dos triángulos similares. Uno es más grande que el otro, pero son similares. Tienen la misma forma, pero un tamaño diferente. Por lo tanto, los lados correspondientes son similares.

Si observas las longitudes de los lados, deberías ver que hay una variable. Esa es la longitud del lado que falta. Podemos encontrar la longitud del lado que falta mediante el uso de proporciones. Sabemos que las longitudes de los lados correspondientes forman una proporción. Escribamos radios que forman una proporción y encontremos el patrón para resolver la longitud del lado que falta.

$\frac{AB}{DE} & = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} \\\\frac{5}{10} & = \frac{15}{x} = \frac{10}{20}$

Viendo esto puedes notar el patrón. Las longitudes de los lados del segundo triángulo doblan la longitud del lado correspondiente del primer triángulo.

Usando este patrón, puedes ver que la longitud de $DF$ en el segundo triángulo será el doble de la longitud de $AC$ . La longitud de $AC$ es 15.

15 $\times$ 2 $=$ 30

La longitud de $DF$ es 30.

Practica resolviendo estas proporciones.

Ejemplo A

$\frac{6}{12} = \frac{x}{24} = \frac{3}{6}$

Solución: $x = 12$

Ejemplo B

$\frac{12}{x} = \frac{16}{4} = \frac{20}{5}$

Solución: $x = 3$

Ejemplo C

$\frac{8}{2} = \frac{16}{4} = \frac{x}{1}$

Solución: $x = 4$

A continuación, presentamos nuevamente el problema original.

Jessica vio este problema en su tarea. Sabe que necesitará usar proporciones de alguna forma para encontrar la longitud del lado que falta, pero no está segura de cómo hacerlo.

¿Lo sabes?

Ahora, lo primero que podemos hacer es establecer una proporción para resolver el lado que falta. recuerda que una proporción son dos radios iguales. Podemos establecer y comparar los lados correspondientes.

Esta es nuestra proporción.

$\frac{KJ}{5} = \frac{6}{4}$

Nuestra proporción se escribe de forma que los lados correspondientes forman los dos radios de la proporción. Podemos decir que $KJ$ es nuestra variable en esta proporción.

¿Recuerdas cómo resolver proporciones?

Podemos ver una clara relación entre cinco y cuatro, así que necesitamos usar productos cruzados.

$KJ \times 4 &= 4KJ\\\5 \times 6 &= 30\\\4KJ &= 30$

Ahora, podemos resolver $KJ$ al dividir ambos lados de la ecuación por 4.

$30 \div 4 &= 7.5\\\KJ &= 7.5$

La longitud de lado de $KJ$ es 7.5.

Vocabulario

Congruente: Significa "que tiene el mismo tamaño, forma y medida".

Similares: Significa que tiene la misma forma, pero no el mismo tamaño. Las formas similares son proporcionales entre sí.

Correspondientes: Los lados correspondientes o que coinciden entre dos triángulos son lados que calzan.

Radio: Es una forma de comparar dos cantidades.

Proporción: Es un par de radios iguales.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

$\frac{8}{10} = \frac{4}{5} = \frac{2}{x}$

Respuesta

Para observar las relaciones entre cada longitud de lado, podemos comenzar por notar un patrón de radios iguales.

El primer radio se dividió en la mitad para igualar al segundo radio.

El numerados del segundo radio se dividió en la mitad para igualar al numerador del tercer radio.

El denominador del tercer radio es desconocido.

Podemos dividir el denominador del segundo radio en la mitad para igualar al denominador que falta.

$5 \div 2 = 2.5$

$x = 2.5$

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

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*Video disponible solo en inglés

Khan Academy Congruent and Similar Triangles

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*Video disponible solo en inglés

James Sousa, Congruent and Similar Triangles

Práctica

Instrucciones : Utiliza estas figuras para responder las siguientes preguntas.

1. ¿Son congruentes o similares estos dos triángulos?

2. ¿Cómo lo sabes?

3. ¿Qué lado es congruente al $AB$ ?

4. ¿Qué lado es congruente al $AC$ ?

5. ¿Qué lado es congruente al $RS$ ?

6. Observa la siguiente proporción y resuelve la longitud $x$ del lado que falta.

$\frac{7}{3.5} & = \frac{x}{3.5} = \frac{6}{y} \\\x & = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

7. ¿Cuál es la longitud de lado para $y$ ?

8. ¿Cómo lo descubriste?

Instrucciones : Encuentra el valor desconocido en cada par de radios.

9. $\frac{6}{12} = \frac{x}{24}$

10. $\frac{8}{12} = \frac{x}{3}$

11. $\frac{9}{10} = \frac{18}{y}$

12. $\frac{4}{5} = \frac{x}{2.5}$

13. $\frac{16}{20} = \frac{4}{y}$

14. $\frac{19}{21} = \frac{x}{42}$

15. $\frac{9}{54} = \frac{6}{y}$

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