Medición Indirecta

En esta sección, aprenderás a usar figuras similares para medir indirectamente.

¿Has intentado encontrar alguna vez la altura de algo muy alto? Observemos este problema.

Los estudiantes que estaban trabajando en el diseño del skatepark fueron a visitar otra pista para ayudarles a obtener ideas. En el centro de ese skatepark, había una estatua muy alta de un skater.

"Mira eso", comentó Travis.

"Sí, es genial", aceptó Tania.

"¿Cuán alta crees que es?", preguntó Travis.

"No lo sé", respondió Tania.

"Puedes descubrirlo fácilmente con matemáticas", dijo su consejero del colegio, el Sr. Henry, quien escuchó la conversación.

"¿Cómo puedo hacer eso?”, preguntó Travis.

"¿Cuánto mides?"

"Cinco pies", dijo Travis.

"Bien, y parece que tu sombra es la mitad de larga que tu estatura. ¿Puedes resolver esto ahora?"

"Ahora, tengo una idea", dijo sonriendo.

¿Tienes alguna idea de lo que Travis está pensando? Si pones atención a esta Sección, sabrás cómo encontrar la altura de la estatua.

Orientación

Podemos usar las propiedades de las figuras similares para medir elementos que son difíciles de medir directamente. Este tipo de medición recibe el nombre de medición indirecta .

El papá de Jamie mide seis pies de alto. Parado en el exterior, su sombra mide 8 pies de largo. Un árbol está junto a él. El árbol tiene una sombra de dieciséis pies de largo. Dadas estas dimensiones, ¿cuál es la altura del árbol?

¡Esta es una buena pregunta! Piensa en un árbol: proyecta una sombra y la línea desde el final de la sombra hasta la parte superior del árbol crea un triángulo. Suena confuso, pero aquí hay un diagrama para ayudarte.

Aquí hay una palmera. Puedes ver de la imagen que el árbol en sí es un lado del triángulo, que la longitud de la sombra es otro lado del triángulo y que la diagonal desde la parte superior del árbol hasta el extremo de la sombra forma la hipotenusa (el lado más largo) del triángulo.

¿Cómo funcionaría esto con la sombra de una persona?

Aquí también hay un triángulo. No dejes que te engañe, solo porque está en un ángulo. Aún es un triángulo.

Muy bien, ahora volvamos nuevamente al problema.

Para resolver esto, tenemos que crear dos radios. Uno comparará las alturas del hombre y el árbol, la otra, comparará las longitudes de las sombras. Juntos, formarán una proporción, porque los triángulos similares son proporcionales y ya hemos visto cómo se crean triángulos con personas o cosas y sus sombras.

$\frac{Height\ of\ Man}{Height\ of\ Tree} = \frac{Shadow\ length\ of\ man}{Shadow\ length\ of\ tree}$

Ahora, podemos rellenar con la información dada.

$\frac{6'}{x} = \frac{8'}{16'}$

Estamos buscando la altura del árbol, así que ahí es donde va nuestra variable. Ahora, podemos resolver nuestra proporción.

Nuestra respuesta es 12 pies. El árbol mide 12 pies de alto.

Puedes usar triángulos similares y proporciones para medir elementos difíciles. ¡La medición indirecta hace posible lo que parece imposible!

Ahora, es tiempo de que resuelvas algunos ejercicios.

Ejemplo A

¿Son similares estos triángulos? ¿Por qué?

Solución: Estos triángulos son similares porque sus ángulos tienen las mismas medidas. ¿Cuál corresponde a cuál? El ángulo $B$ mide $100^{\circ}$ . Su ángulo correspondiente también medirá $100^{\circ}$ : eso hace que el ángulo $Q$ sea su ángulo correspondiente. Los ángulos $A$ y $P$ son correspondientes, y los ángulos $C$ y $R$ son correspondientes.

Ejemplo B

Verdadero o Falso. necesitas una proporción para medir efectivamente figuras similares de manera indirecta.

Solución: Verdadero

Ejemplo C

Verdadero o Falso. Puedes usar productos cruzados o radios iguales para medir indirectamente.

Solución: Verdadero

A continuación, presentamos nuevamente el problema original.

Los estudiantes que estaban trabajando en el diseño del skatepark fueron a visitar otra pista para ayudarles a obtener ideas. En el centro de ese skatepark, había una estatua muy alta de un skater.

"Mira eso", comentó Travis.

"Sí, es genial", aceptó Tania.

"¿Cuán alta crees que es?", preguntó Travis.

"No lo sé", respondió Tania.

"Puedes descubrirlo fácilmente con matemáticas", dijo su consejero del colegio, el Sr. Henry, quien escuchó la conversación.

"¿Cómo puedo hacer eso?”, preguntó Travis.

"¿Cuánto mides?"

"Cinco pies", dijo Travis.

"Bien, y parece que tu sombra es la mitad de larga que tu estatura. ¿Puedes resolver esto ahora?"

"Ahora, tengo una idea", dijo sonriendo.

Pensemos en cómo podrían Travis y Tania encontrar la altura de la estatua. Sabemos que Travis mide 5 pies de altura y su sombra mide la mitad de largo que su altura. Ahora, podemos escribir un radio para comparar la longitud de la altura de Travis hasta su sombra.

$\frac{Travis' \ height}{Shadow' s \ length} = \frac{5 \ feet}{2.5 \ feet}$

Luego, encontramos la altura de la estatua. Travis y Tania se dieron cuenta rápidamente que necesitaban encontrar la longitud de la sombra de la estatua para encontrar su altura. Una vez que conozcan la longitud de la sombra, pueden usar el razonamiento proporcional y la medición indirecta para encontrar la altura de la estatua.

Aproximando 1 pie que tiene una longitud un poco mayor que la zapatilla de Travis, miden $32 \frac{1}{2}$ pies. No es una medida exacta, pero creen que se acerca mucho.

Ahora, escriben la siguiente proporción.

$\frac{5 \ ft}{2.5 \ ft} = \frac{x}{32.5 \ ft}$

Sacando un cuaderno, Tania multiplica cruzado para resolver la proporción.

$5(32.5) &= 2.5x\\\162.5 &= 2.5x\\\x &= 65$

La escultura mide aproximadamente 65 pies de alto.

Vocabulario

Congruente: Significa "que tiene el mismo tamaño, forma y medida".

Similares: Significa que tiene la misma forma, pero no el mismo tamaño. Las formas similares son proporcionales entre sí.

Correspondientes: Los lados correspondientes o que coinciden entre dos triángulos son lados que calzan.

Radio: Es una forma de comparar dos cantidades.

Proporción: Es un par de radios iguales.

Medición Indirecta: Utiliza las características de triángulos similares para medir cosas o distancias difíciles.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Cuál es la longitud del lado que falta?

Respuesta

Observa estos dos rectángulos. Primero, observa y nota si podemos encontrar la relación entre las dos figuras. Para hacerlo, comparamos las longitudes de los lados de cada parte de las dos figuras.

Necesitamos encontrar la medida del lado $GH$ en el segundo rectángulo.

Puedes ver que las medidas en el segundo rectángulo miden la mitad de lo que miden en el primero. Además, sabes que los lados opuestos de un rectángulo son congruentes. Por lo tanto, la longitud del lado que falta es 4.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*Video disponible solo en inglés

Khan Academy: Scale and Indirect Measurement

Práctica

Instrucciones: Usa la medición indirecta y las proporciones para determinar si las figuras son similares.

Instrucciones: Usa lo que has aprendido sobre los triángulos similares y la medición indirecta para resolver cada uno de los siguientes problemas.

5. Si una persona que mide 5 pies de alto proyecta una sombra de 8 pies de largo, ¿cuánto mide un edificio que proyecta una sombra de 24 pies de largo?

6. Si un tronco de árbol que mide 2 pies de alto proyecta una sombra de 1 pie de largo, ¿cuán larga es la sombra de un árbol que mide 10 pies de largo a la misma hora del día?

7. Si un poste que mide 6 pies de alto proyecta una sombra de 8 pies de largo, ¿cuánto mide una torre cercana que proyecta una sombra de 16 pies de largo?

8. Si una torre salvavidas que mide 6 pies de alto proyecta una sombra de 8 pies de largo, ¿cuánto mide una persona que proyecta una sombra de 4 pies de largo?

9. Dibuja el triángulo en la siguiente imagen.

10. El lado $m$ en el triángulo $LMN$ corresponde al lado $c$ en el triángulo $BCD$ más pequeño. El lado $m$ mide 12 cm de largo y el factor de escala es 4. ¿Cuál es la medida del lado $c$ ?

11. El lado $q$ en el triángulo $PQR$ corresponde al lado $y$ en el triángulo $XYZ$ más pequeño. El lado $y$ mide 8 pulgadas de largo y el factor de escala es 7. ¿Cuál es la medida del lado $q$ ?

Instrucciones: Resuelve cada proporción para encontrar la longitud de lado que falta.

12. $\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$

13. $\frac{3}{6} = \frac{1}{x}$

14. $\frac{5}{8} = \frac{1}{x}$

15. $\frac{7}{10} = \frac{x}{30}$

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