Área de un Triángulo

En esta sección, aprenderás a encontrar el área de triángulos dadas una base y una altura.

¿Has intentado alguna vez encontrar el área de un triángulo?

Ahora que Jillian ha resuelto lo de los paralelogramos, se centrará en los triángulos. Hay triángulos rectángulos en el bloque de colcha en el que está trabajando con su abuela. Jillian necesita encontrar el área de cada triángulo, de forma que pueda calcular el tamaño del triángulo y la cantidad de tela que necesitará para hacerlos todos.

Este es el bloque de colcha una vez más.

Hay 16 triángulos rectángulos en el bloque de colcha. La buena noticia para Jillian es que todos tienen las mismas dimensiones. Estas son las dimensiones del triángulo:

Cada lado del triángulo mide 3 pulg. Dadas estas medidas, ¿cuál es el área de uno de los triángulos? ¿Cuál es el área de 16 triángulos?

Jillian está confundida. Recién descubrió cómo encontrar el área de un paralelogramo y ahora necesita el de un triángulo. Jillian sabe que el triángulo y el cuadrado se relacionan, pero no está segura cómo.

Usa la información en esta Sección para aprender a encontrar el área de un triángulo.

Orientación

Piensa nuevamente en el problema que leíste recién. Cuando Jillian observó los triángulos, pudo notar que estaban relacionados con los cuadrados. De hecho, los triángulos están relacionados con los paralelogramos y un cuadrado es un tipo de paralelogramo.

¿Cómo se relaciona un triángulo con un paralelogramo?

Analicemos un paralelogramo y veamos si podemos encontrar la conexión.

Aquí hay un paralelogramo. Si lo observas cuidadosamente, notarás que podemos dividir el paralelogramo en dos triángulos.

Un rectángulo es un tipo de paralelogramo. Podemos dividir un rectángulo en dos triángulos.

Nota que un rectángulo se divide en dos triángulos rectángulos. .

Un cuadrado es un tipo de rectángulo. También podemos dividir un cuadrado en dos triángulos.

También obtenemos dos triángulos rectángulos.

Si un paralelogramo se puede dividir en dos triángulos, entonces ¿qué podemos decir del área de un triángulo?

Basándonos en esta información, podríamos decir que el área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo. Veamos cómo funciona esto.

¿Cuál es el área de este paralelogramo?

Encontramos el área del paralelogramo al multiplicar la base por la altura.

$A & = bh\\\A & = 2(5)\\\A & = 10 \ sq. \ inches.$

Un paralelogramo se puede dividir en dos triángulos.

Podemos dividir el área del paralelogramo en la mitad y eso nos dará el área de uno de los triángulos.

10 $\div$ 2 $=$ 5 pulgadas cuadradas.

Basándonos en esta información, podemos escribir la siguiente fórmula para encontrar el área de un triángulo.

$A = \frac{1}{2}bh$

Si piensas en esto, verás que tiene sentido. Un triángulo es la mitad de un paralelogramo, así que la fórmula para el paralelogramo multiplicada por un medio es la fórmula para encontrar el área de un triángulo. Dicho de otra forma, el área del paralelogramo se divide en la mitad para encontrar el área de un triángulo.

Ahora, pongamos en práctica esta información. Toma el área de los siguientes paralelogramos y encuentra el área de uno de los triángulos que se encuentra dentro del paralelogramo.

Ejemplo A

El área de un rectángulo es 12 pulg. cuadradas.

Solución: 6 pulg. cuadradas.

Ejemplo B

El área de un paralelogramo es 24 pies cuadrados.

Solución: 12 pies cuadrados.

Ejemplo C

El área de un paralelogramo es 18 pies cuadrados.

Solución: 9 pies cuadrados.

A continuación, presentamos nuevamente el problema original. Usa lo que has aprendido sobre encontrar el área de un triángulo para ayudar a Jillian con su bloque de colcha.

Este es el bloque de colcha una vez más.

Hay 16 triángulos rectángulos en el bloque de colcha. la buena noticia para Jillian es que todos tienen las mismas dimensiones. Estas son las dimensiones del triángulo:

Cada lado del triángulo mide 3 pulg. Dadas estas medidas, ¿cuál es el área de uno de los triángulos? ¿Cuál es el área de 16 triángulos?

Primero, Jillian necesita encontrar el área de uno de los triángulos. Para hacerlo, puede usar la fórmula para encontrar el área de un triángulo.

$A & = \frac{1}{2}bh\\\A & = \frac{1}{2}(3)(3)\\\A & = 4.5 \ square \ inches$

¡Vaya! Jillian está un poco nerviosa de que cada triángulo tenga un área de 4,5 pulg. Eso podría ser difícil de manejar. Sin embargo, Jillian tiene otra idea. Si cada triángulo tiene un área de 4,5 pulg, entonces cada cuadrado tiene un área de 9 pulg.

Piensa sobre esto. Un cuadrado de 9 pulgadas será más fácil de cortar en la mitad y obtener triángulos iguales.

Si Jillian necesita 16 triángulos, entonces puede cortar 8 cuadrados de 9 pulgadas y luego tendrá suficiente, porque cada cuadrado se puede cortar en dos triángulos.

¿Cuánto material necesitará?

Si cada cuadrado mide 3 $\times$ 3 o tiene un área de 9” y Jillian necesita ocho cuadrados, entonces el área del material es de 9 $\times$ 8.

Jillian necesitará 72 pulg. cuadradas de material para los triángulos.

Vocabulario

Triángulo: Es un polígono de tres lados.

Paralelogramo: Es una figura con lados opuestos congruentes y paralelos.

Rectángulo: Es una figura con lados opuestos congruentes y paralelos, y cuatro ángulos rectos.

Cuadrado: Es un paralelogramo con cuatro lados congruentes, lados paralelos y cuatro ángulos rectos congruentes.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

A veces, tendrás una figura que usa triángulos y otra figura, como un paralelogramo. Podemos encontrar el área de las partes individuales, sumarlas y encontrar el área total de la figura completa. A continuación, hay algunos problemas para usar estas habilidades.

Esta es una serie de triángulos que se alinean en el bandejón central de una calle. Los triángulos se superponen.

Digamos que el primer triángulo tiene una base de 6 pies y una altura de 5 pies. ¿Cuál es el área del triángulo?

Respuesta

$A & = \frac{1}{2}bh\\\A & = \frac{1}{2}(6)(5)\\\A & = \frac{1}{2}(30)\\\A & = 15 \ square \ feet$

Digamos que hay 8 triángulos en este bandejón central. Podemos tomar el área de uno de los triángulos y multiplicarla por 8.

15(8) = 120 pies cuadrados.

Esta es el área del bandejón central. Fuimos capaces de usar el área de cada triángulo para encontrar el área total del bandejón.

Aquí tenemos un rectángulo y un triángulo juntos. Si queremos encontrar el área total de la figura, necesitamos encontrar el área del rectángulo y el área del triángulo, y luego encontrar la suma total.

Área del rectángulo

$A & = lw\\\A & = 3(5)\\\A & = 15 \ sq. \ meters$

Área del triángulo

$A & = \frac{1}{2}bh\\\A & = \frac{1}{2}(3)(1.5)\\\A & = 2.25 \ sq. \ meters$

Ahora, sumamos las dos áreas.

Área del rectángulo + área del triángulo = área total de la figura.

15 metros cuadrados + 2,25 metros cuadrados = 17,25 metros cuadrados.

El área total es 17,25 metros cuadrados.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*Video disponible solo en inglés

James Sousa, Example of the Area of a Triangle

Práctica

Instrucciones: Encuentra el área de cada triángulo.

Base = 10 pulg., Altura = 4 pulg.

Base = 16 m, Altura = 10 m.

Base = 8 pulg., Altura = 6,5 pulg.

Base = 10 cm, Altura = 7 cm.

Base = 5 pies, Altura = 8,5 pies.

Instrucciones: Encuentra el área de cada triángulo dadas la base y altura.

6. Base = 4 pulg.

Altura = 5 pulg.

7. Base = 6 pulg.

Altura = 4 pulg.

8. Base = 8 pies.

Altura = 7 pies.

9. Base = 10 m.

Altura = 8 m.

10. Base = 10 m.

Altura = 5 m.

11. Base = 12 pies.

Altura = 14 pies.

12. Base = 11 pies.

Altura = 6 pies.

13. Base = 14 pulg.

Altura = 8 pulg.

14. Base = 22 pies.

Altura = 19 pies.

15. Base = 30 cm.

Altura = 28 cm.

16. Base = 18 pulg.

Altura = 16 pulg.

17. Base = 13 m.

Altura = 10 m.

18. Base = 18 m.

Altura = 5,5 m.

19. Base = 12,5 pies.

Altura = 2,5 pies.

20. Base = 13,75 pulg.

Altura = 1,5 pulg.

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