Área de Superficie de los Prismas

En esta sección, aprenderás a identificar el área de superficie de los prismas al usar redes y fórmulas.

¿Recuerdas a Jillian y su joyero? Observemos este problema.

Ahora, Jillian sabe que su joyero es un prisma, pero necesita saber cuánto material necesitará para la caja completa.

Jillian necesita encontrar el área de superficie de la caja, así será capaz de encontrar cuánto material necesitará. Jillian no puede recordar cómo encontrar el área de superficie, pero sabe que necesitará un dibujo. Este es su dibujo.

Sabe que las medidas son 7” de largo $\times$ 6 de ancho por 4” de alto. Jillian no está segura de qué medida va en qué lugar.

Aquí es donde apareces tú. En esta Sección, aprenderás a usar una red y una fórmula para encontrar el área de superficie de los prismas.

Orientación

Cuando aprendiste sobre figuras planas, como rectángulos y cuadrados, aprendiste cómo calcular el área de la figura.

Este rectángulo tiene una longitud de 8'' y un ancho de 3''. Puedes encontrar el área de un rectángulo al multiplicar la longitud por el ancho.

8 $\times$ 3 $=$ 24 pulgadas cuadradas.

El área del rectángulo es 24'' cuadradas o $in^2$ .

¿Cuál es el área de superficie?

El área de superficie es el área total de cada una de las caras de un objeto tridimensional.

Observemos un cubo y veamos cómo funciona esto.

Digamos que quisiéramos encontrar el área de superficie del cubo.

¿Qué sería eso exactamente?

El área de superficie del cubo sería el área total de todas las superficies de color verde.

Encontrar el área de superficie de una figura es muy útil cuando se pinta o cubre un sólido tridimensional. Tienes que conocer el área total del sólido completo para saber cuánta pintura, tela o cubierta necesitarás.

¿Cómo puedes calcular el área de superficie de una figura?

Encontramos el área de superficie al calcular el área de cada una de las caras del sólido y, luego, sumar todas las áreas para encontrar el área de superficie total.

¡Esta es una buena pregunta! Si observas nuevamente el cubo anterior, es difícil ver todos los lados.

Sin embargo, podemos usar una red para ver todos los lados de un sólido tridimensional.

Una red es un dibujo que muestra una imagen "aplanada" del sólido. Con una red, podemos ver cada parte del sólido. Si hicieras una red con papel y la doblaras, serías capaz de crear una figura sólida.

Esta es la red de un cubo.

Aprendiste en la última sección que un cubo tiene seis caras. Bueno, puedes ver aquí que esta red también tiene seis caras. Si doblaras esta figura usando los segmentos de recta, verías que se crearía un cubo.

¿Cómo usamos una red para calcular el área de superficie?

Para calcular el área de superficie, encontramos el área de cada una de las seis caras del cubo y sumamos todas las áreas.

Es un poco simple con un cubo, porque cada lado del cuadrado tiene el mismo tamaño. Es más difícil trabajar con un prisma rectangular. Sin embargo, intentaremos hacerlo con un cubo primero para captar la idea.

La longitud de uno de los lados de la cara del cuadrado es 3''. Podemos usar la fórmula para encontrar el área de un cuadrado para determinar el área de una cara.

$A & = s^2\\\A & = 3^2\\\A & = 9 \ sq. \ in.$

Este es el área de una cara cuadrada. Hay seis caras cuadradas. Si tomamos el área y la multiplicamos por seis o sumamos el área seis veces, tendremos el área de superficie del cubo.

$9(6) & = 54 \ sq. \ in.\\\9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 & = 54 \ in^2$

El área de superficie del cubo es $54 \ in^2$ .

Ahora, observemos la red de un prisma rectangular.

Digamos que esta caja tiene una longitud de 6”, un ancho de 4” y un alto de 2”.

Necesitamos encontrar el área de cada rectángulo.

Hay dos caras largas.

Hay dos caras cortas.

Hay una parte inferior y una parte superior que coinciden.

Primero, encontremos el área de la parte inferior. Tiene una longitud de 6'' y un ancho de 4''. Debido a que la forma de la parte inferior es un rectángulo, podemos usar la fórmula para encontrar el área de un rectángulo.

$A & = lw\\\A & = (6)(4)\\\A & = 24 \ sq. \ in.$

Debido a que la parte inferior y la parte superior coinciden, podemos multiplicar esta área por dos: 24 x 2 = 48 cuadradas.

Luego, encontramos el área de las dos caras largas. Cada cara larga tiene forma rectangular. La longitud es 6'' y el ancho es 2''.

$A & = lw\\\A & = (6)(2)\\\A & = 12 \ sq. \ in.$

Debido a que hay dos caras largas en el prisma, podemos tomar esta medida y multiplicarla por dos.

$A = 24 \ sq. \ in$

Luego, encontramos el área de las dos caras cortas. Cada cara es un rectángulo pequeño. La longitud es 4'' y el ancho es 2''.

$A & = lw\\\A & = (4)(2)\\\A & = 8 \ sq. \ in.$

Debido a que hay dos caras cortas en el prisma, podemos tomar esta medida y multiplicarla por dos.

$A & = 2(8)\\\A & = 16 \ sq. \ in$

Para encontrar el área de superficie del prisma completo, sumamos las áreas de todas las caras.

$SA = 16 + 24 + 48 = 88 \ sq. \ inches$

Esta es nuestra respuesta.

¿Qué sucedería con un prisma triangular?

Un prisma triangular es un prisma con dos bases paralelas congruentes que son triángulos. Las caras del prisma son rectángulos, pero las bases son triángulos. Esta es una imagen de un prisma triangular.

Así es como debería lucir la red de un prisma triangular.

Necesitamos encontrar el área de la parte inferior, el lado derecho, el lado izquierdo y las dos bases que son triángulos.

La parte inferior es un rectángulo. Tiene una longitud de 7 cm y un ancho de 3 cm.

$A & = lw\\\A & = 7(3)\\\A & = 21 \ sq. \ cm.$

El lado izquierdo es un rectángulo. Tiene una longitud de 7 cm y un ancho de 4 cm.

$A & = lw\\\A & = 7(4)\\\A & = 28 \ sq. \ cm.$

El lado derecho es un rectángulo. Tiene una longitud de 7 cm y un ancho de 5 cm.

$A & = lw\\\A & = 7(5)\\\A & = 35 \ sq. \ cm.$

Las bases son dos triángulos. Tienen una base de 3 cm y una altura de 4 cm.

$A & = \frac{1}{2}bh\\\A & = \frac{1}{2}(3)(4)\\\A & = \frac{1}{2}(12)\\\A & = 6 \ sq. \ cm$

Hay dos triángulos, así que podemos multiplicar esta base por dos.

$A & = 2(6)\\\A & = 12 \ sq. \ cm.$

Ahora, sumamos todas las áreas.

$SA & = 12 + 35 + 28 + 21\\\SA & = 96 \ sq. \ cm.$

Podemos encontrar el área de superficie de un prisma rectangular al usar una fórmula. Observemos un diagrama y, luego, una fórmula para encontrar el área de superficie del prisma rectangular.

Para encontrar el área de superficie de este prisma rectangular, tenemos que encontrar la suma de todas las áreas. Esta es la fórmula que podemos usar para hacer esto.

$SA = 2(lw + lh + wh)$

Podemos reemplazar los valores dados en la fórmula. La longitud del prisma es 9''. El ancho es 3'' y la altura es 5''.

$SA & = 2(9(3) + 9(5)+ (3)5)\\\SA & = 2(27 + 45 + 15)\\\SA & = 2(87)\\\SA & = 174 \ sq. \ in.$

Podemos hacer esto mismo con un prisma triangular. Observemos un diagrama y, luego, una fórmula para encontrar el área de superficie de un prisma triangular.

$SA & = Area \ of \ three \ rectangles + Area \ of \ two \ triangles\\\SA & = 2(8 + 9 + 7) + 2\left (\frac{1}{2}(8)7\right )\\\SA & = 2(24) + 2(28)\\\SA & = 48 + 56\\\SA & = 104 \ sq. \ in.$

Ahora, practica encontrando el área de superficie de un prisma. Encuentra el área de superficie de cada prisma.

Ejemplo A

Solución: 235 pulgadas cuadradas.

Ejemplo B

Solución: 72 m. cuadrados.

Ejemplo C

Solución: 41 cm cuadrados.

Ahora, Jillian sabe que su joyero es un prisma, pero necesita saber cuánto material necesitará para la caja completa.

Jillian necesita encontrar el área de superficie de la caja. Si puede encontrar el área de superficie, será capaz de encontrar cuánto material necesitará. Jillian no puede recordar cómo encontrar el área de superficie, pero sabe que necesitará un dibujo. Este es su dibujo.

Sabe que las medidas son 7” de largo $\times$ 6” de ancho por 4” de alto. Jillian no está segura de qué medida va en qué lugar.

Jillian quiere marcar las dimensiones exactas de la caja. Para hacerlo, tiene que pensar en esta como en una caja para armar. Si lo hace, notará que la longitud es la parte larga de la caja, el ancho es la siguiente pieza más larga y la altura es la pieza más pequeña de los lados. Cuando esto se junta, Jillian verá claramente todas las partes de la caja.

Para encontrar el área de superficie de la caja de forma que Jillian sepa cuánto material comprar, puede usar la fórmula para encontrar el área de superficie de un prisma rectangular.

$SA & = 2(lw + lh + wh)\\\SA & = 2(7(6) + 7(4) + (4)6)\\\SA & = 2(42 + 28 + 24)\\\SA & = 188 \ square \ inches$

Jillian necesitará comprar 188'' cuadradas de material.

Debido a que este material está en pulgadas cuadradas, Jillian comprará un cuadrado que tiene un área de al menos 188'' cuadradas. Para descubrir cuán grande tiene que ser el cuadrado que compre, Jillian trata de pensar en un número que multiplicado por sí mismo sea igual al menos a 188'' cuadradas. Comienza con 12.

$12'' \times 12'' & = 144 \ sq. \ in && Nope-too \ small\\\13'' \times 13'' & = 169 \ sq. \ in && Nope-still \ too \ small\\\14'' \times 14'' & = 196 \ sq. \ in$

¡Perfecto! Jillian tendrá suficiente material y sobrará un poco en caso de cometer algún error.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Respuesta

Para resolver este problema, podemos usar la fórmula para el área de superficie.

Vocabulario

Estas son las palabras de vocabulario en esta Sección.

Área de Superficie: Es el área total de todas las superficies de un sólido.

Figura Sólida: Es una figura tridimensional con altura, ancho y profundidad.

Prisma: Es una figura sólida que tiene dos bases paralelas congruentes.

Prisma Triangular: Es un prisma en el que las caras son triángulos.

Prisma rectangular: Es un prisma en el que las caras son rectángulos.

Cara: Es cualquier superficie plana en una figura sólida.

Borde: Es cuando dos caras se encuentran en un segmento de recta. El segmento de recta es el borde.

Vértice: Es cuando tres o más caras se encuentran en un único punto.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*Video disponible solo en inglé

James Sousa: Ex: Find the Surface Area of an Open Top Box

Práctica

Instrucciones: Usa la fórmula para encontrar el área de superficie de cada prisma rectangular.

1. Un prisma rectangular con una longitud de 10'', un ancho de 8'' y una altura de 5''.

2. Un prisma rectangular con una longitud de 8'', un ancho de 8'' y una altura de 7''.

3. Un prisma rectangular con una longitud de 12 m, un ancho de 4 m y una altura de 6 m.

4. Un prisma rectangular con una longitud de 10'', un ancho de 6'' y una altura de 7''.

5. Un prisma rectangular con una longitud de 12 m, un ancho de 8 m y una altura de 5 m.

6. Un prisma rectangular con una longitud de 9 pies, un ancho de 7 pies y una altura de 6 pies.

7. Un prisma rectangular con una longitud de 10 m, un ancho de 8 m y una altura de 2 m.

8. Un prisma rectangular con una longitud de 6 pies, un ancho de 5 pies y una altura de 3 pies.

Instrucciones: Utiliza la siguiente figura para responder cada pregunta.

9. ¿Qué unidades son las medidas de esta figura?

10. ¿Cuál es la longitud de la base?

11. ¿Cuál es el ancho de la base?

12. ¿Cuál es la medida del lado triangular?

13. ¿Cuál es la altura de la inclinación?

14. ¿Cuál es la fórmula para encontrar el área de superficie de un prisma triangular?

15. ¿Cuál es el área de superficie de esta figura?

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