Área de Superficie de los Cilindros

En esta sección, aprenderás a identificar el área de superficie de los cilindros al usar redes.

¿Sabes lo que es "modge podge"? ¿Has hecho alguna vez un collage barnizado?

Jillian usará modge podge para decorar la parte exterior de un frasco cilíndrico. Quiere transformarlo en un sujetador de lápices decorativo como regalo para su abuela. Modge podege es una sustancia parecida al pegamento que ayuda a adherir a un objeto papel u otras piezas decorativas de papel.

El frasco de Jillian mide 6'' de diámetro y 8'' de alto.

¿Cuánta área de superficie necesitará cubrir?

Para resolver esto, necesitarás saber cómo calcular el área de superficie de un cilindro. Esta Sección, te enseñará lo que necesitas saber para lograr esta tarea.

Orientación

Has aprendido cómo calcular el área de superficie y el volumen de diferentes prismas. Es esta sección, aprenderás a calcular el área de superficie y el volumen de los cilindros. Comencemos por calcular el área de superficie de un cilindro.

Este es un cilindro. Nota que tiene dos bases circulares paralelas y congruentes. La cara del cilindro es un rectángulo grande. De hecho, si "desenvolvieras" un cilindro, esto es lo que verías.

Así es como luce la red de un cilindro.

Al igual que cuando trabajabas con prismas, podemos usar la red de un cilindro para calcular su área de superficie.

¿Cómo podemos calcular el área de superficie de un cilindro con una red?

Para calcular el área de superficie de un cilindro usando una red, necesitamos encontrar el área de los dos círculos y también el área del rectángulo.

Recordemos cómo encontrar el área de un círculo . Para encontrar el área de un círculo, usamos la siguiente fórmula.

$A = \pi r^2$

Hay dos bases circulares en el cilindro, así que multiplicamos por dos el área del círculo y obtenemos el total de las dos áreas.

$A = 2\pi r^2$

El radio de los círculos en la red anterior mide 3 ''. Podemos reemplazar este valor dado en la fórmula y encontrar el área de los dos círculos.

$A & = 2\pi r^2\\\A & = 2(3.14)(3^2)\\\A & = 2(3.14)(9)\\\A & = 2(28.26)\\\A & = 56.52 \ in^2$

Luego, necesitamos encontrar el área de la superficie curva. Si observas la red, la superficie curva del cilindro tiene forma rectangular.

La longitud del rectángulo es la misma que la circunferencia del círculo. ¿Qué? Observemos la red. Debido a que la longitud del rectángulo se envuelve alrededor del borde del círculo, tiene la misma longitud que la circunferencia del círculo. Para encontrar el área de la superficie curva, tenemos que multiplicar la circunferencia por la altura.

$A & = 2\pi rh\\\A & = 2(3.14)(3)(5)\\\A & = 2(3.14)(15)\\\A & = 2(47.1)\\\A & = 94.2 \ in^2$

Ahora, podemos sumar las áreas.

$SA & = 56.52 + 94.2 = 150.72 \ in^2$

El área de superficie del cilindro es $150.72 \ in^2$ .

La fórmula para encontrar el área de superficie combina la fórmula del área de los circulos inferior y superior con la fórmula del área del rectángulo "envuelto" alrededor del lado. Recuerda que el rectángulo tiene una longitud igual a la circunferencia del borde circular, y en ancho es igual a la altura del cilindro. Aquí está:

Resolvimos este problema al reemplazar los valores dados en la fórmula . 4 cm es el radio de las bases circulares. 8 cm es la altura del cilindro.

$SA & = 2\pi r^2 + 2\pi rh\\\SA & = 2(3.14)(4^2) + 2(3.14)(4)(8)\\\SA & = 2(3.14)(16) + 2(3.14)(32)\\\SA & = 2(50.24) + 2(100.48)\\\SA & = 100.48 + 200.96\\\SA & = 301.44 \ cm^2$

El área de superficie del cilindro es $301.44 \ cm^2$ . Nota que esto funcionará bien si tienes una red o una imagen de un cilindro. Siempre y cuando uses la fórmula y los valores dados, podrás encontrar el área de superficie del cilindro.

Ahora, es tiempo de que resuelvas algunos ejercicios. Encuentra el área de superficie de cada cilindro.

Ejemplo A

Solución: $175.84$ pulgadas cuadradas.

Ejemplo B

Solución: $471$ m. cuadrados.

Ejemplo C

Solución: $703.36$ pulgadas cuadradas.

A continuación, presentamos nuevamente el problema original.

El frasco de Jillian mide 6'' de diámetro y 8'' de alto.

¿Cuánta área de superficie necesitará cubrir?

Para resolver este problema del área de superficie, podemos usar la fórmula para encontrar el área de superficie de un cilindro. Luego, reemplazamos los valores dados y resolvemos.

$SA & = 2\pi r^2 + 2\pi rh\\\SA & = 2(3.14)(3^2) + 2(3.14)(3)(8)\\\SA & = 2(3.14)(9) + 2(3.14)(24)\\\SA & = 2(28.29) + 2(75.36)\\\SA & =56.58 + 150.72\\\SA & = 207.3 \ in^2$

Esta es el área de superficie del cilindro de Jillian.

Vocabulario

Estas son las palabras de vocabulario en esta Sección.

Área de Superficie: Es la cubierta o superficie externa completa de una figura tridimensional. Se calcula con el total de las áreas de cada una de las caras y bases de un sólido.

Cilindro: Es una figura tridimensional con dos bases circulares paralelas y congruentes, y una superficie plana curva que conecta las bases.

Radio: Es la mitad de la medida de la distancia a través del centro de un círculo.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Cuál es el área de superficie de un cilindro con radio de 6'' y altura de 12''.

Respuesta

Para completar este problema, podemos usar la fórmula presentada en esta Sección y luego reemplazar los valores dados.

$SA & = 2\pi r^2 + 2\pi rh\\\SA & = 2(3.14)(6^2) + 2(3.14)(6)(12)\\\SA & = 2(3.14)(36) + 2(3.14)(72)\\\SA & = 226.08 + 452.16\\\SA & = 678.24 \ in^2$

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

Este es un video de repaso.

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*Video disponible solo en inglés

Khan Academy, Cylinder Volume and Surface Area

Práctica

Instrucciones : Calcula el área de superficie de cada uno de los siguientes cilindros usando redes.

Instrucciones : Calcula el área de superficie de los siguientes cilindros dadas las siguientes dimensiones.

6. r = 4'', h = 8''

7. r = 5'', h = 15''

8. r = 8 m, h = 16 m

9. r = 11 m, h = 20 m

10. r = 3.5 m, h = 8 m

11. d = 4 pies, h = 6 pies

12. d = 10 pies, h = 15 pies

13. d = 20 cm, h = 25 cm

14. d = 18'', h = 24''

15. d = 20 pies, h = 45 pies

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