Volumen de Cilindros

En esta sección, aprenderás a usar fórmulas para encontrar el volumen de los cilindros.

¿Has comparado alguna vez frascos y preguntado cuál puede contener más? Observemos este problema.

A la abuela de Jillian le encanta cocinar. Un día, entre sus proyectos de tejidos, llevó a Jillian a la tienda de abarrotes y regresó a casa con una gran bolsa de una variedad de frijoles. Los frijoles horneados que hace la abuela son los favoritos de Jillian, y ella está contenta de que su abuela los cocine para la cena.

Jillian toma dos frascos diferentes de la alacena. Uno es largo y delgado, y el otro es ancho.

"¿Qué frasco debería usar?", preguntó Jillian a su abuela.

"Usa el que tenga mayor capacidad", respondió su abuela.

Jillian observó los dos frascos. Así es cómo lucían.

Jillian ha medido cada frasco para tratar de encontrar cuál tiene mayor capacidad. No está segura de lo que tiene que hacer ahora.

Esta es tú tarea. Jillian necesitará encontrar el volumen de cada cilindro. Esta Sección te enseñará todo sobre calcular el volumen. Calcula el volumen de cada cilindro y, luego, sabrás cuál tiene mayor capacidad para guardar frijoles.

Orientación

El volumen es la cantidad de espacio dentro de una figura sólida. Debido a que los cilindros casi siempre contienen líquidos, puedes imaginar que el volumen de los cilindros tiene que ver a menudo con algún tipo de líquido. En este caso de cilindros, puedes pensar en el volumen como en la capacidad.

Este es un cilindro que es usado probablemente en un laboratorio de ciencias. Aquí, el volumen será comparado con la capacidad de líquido.

Esta es una imagen de una piscina. Cuando piensas en el volumen, en este caso, es la capacidad de la piscina. El volumen sería la cantidad de agua en la piscina.

Esta lata de pintura es un cilindro. Si quisiéramos encontrar el volumen de este cilindro, tendríamos que encontrar la cantidad de espacio que hay dentro de la lata de pintura. Este sería el volumen del cilindro.

Podemos pensar en el volumen de un cilindro como pensaríamos en el volumen de un prisma. Podemos usar unidades cúbicas para llenar un cilindro.

Puedes ver que hemos comenzado a llenar este cilindro con cubos para calcular el volumen. El problema es que los cubos no caben perfectamente dentro del cilindro. Para calcular el volumen de un cilindro de manera precisa, necesitamos usar una fórmula.

¿Qué formula podemos usar para calcular el volumen de un cilindro?

Para calcular el volumen de un cilindro, tenemos que calcular el área de la base circular. Eso nos dará una medida para el número de unidades cúbicas que pueden caber a través de la parte inferior del cilindro. La altura del cilindro nos mostrará el alto hasta el cual puede ser llenado.

Esta es la fórmula para encontrar el volumen de un cilindro.

$V = \pi r^2h$

Apliquemos la fórmula.

El radio de la base circular es de 2''. La altura del cilindro es 7''. Si tomamos ambas de estas medidas y las reemplazamos en la fórmula, podemos encontrar el volumen del cilindro.

$V & = \pi r^2h\\\V & = (3.14)(2^2)(7)\\\V & = (3.14)(4)(7)\\\V & = (3.14)(28)\\\V & = 87.92 \ in^3$

El volumen del cilindro es $87.92 \ in^3$ .

Usa la fórmula para encontrar el volumen de los siguientes cilindros.

Ejemplo A

Solución: $25.12 in^3$

Ejemplo B

$d = 10 \ ft, \ h = 12 \ ft$

Solución: $942 ft^3$

Ejemplo C

$r = 6 \ in, \ h = 10 \ in$

Solución: $1130.4 in^3$

A continuación, presentamos nuevamente el problema original. Usa lo que has aprendido sobre el volumen de los cilindros para ayudar a Jillian con su problema.

Jillian toma dos frascos diferentes de la alacena. Uno es largo y delgado, y el otro es ancho.

"¿Qué frasco debería usar?", preguntó Jillian a su abuela.

"Usa el que tenga mayor capacidad", respondió su abuela.

Jillian observó los dos frascos. Así es cómo lucían.

Jillian ha medido cada frasco para tratar de encontrar cuál tiene mayor capacidad. No está segura de lo que tiene que hacer ahora.

Primero, regresemos y leamos nuevamente el problema.

Jillian necesita encontrar el volumen de cada cilindro. Puede usar la fórmula que se encuentra a continuación para hacer esto. Jillian sospecha que el frasco ancho tendrá más capacidad. ¿Qué crees tú?

$V = \pi r^2h$

Comencemos con el frasco largo y delgado. El diámetro del frasco es de 8 pulg. Necesitamos el radio del frasco, así que podemos dividir el diámetro en la mitad. El radio de este frasco es 4''.

$V & = (3.14)4^2(16)\\\V & = (3.14)(16)(16)\\\V & = 803.84 \ in^ 3$

¡Vaya! Este frasco de seguro puede contener mucho. Ahora, trabajemos en el frasco ancho. El diámetro de este frasco es de 12'', así que el radio es 6''.

$V & = (3.14)6^2(6)\\\V & = (3.14)(36)(6)\\\V & = 678.24 \ in^3$

Jillian está sorprendida. El frasco largo y delgado puede contener mayor volumen que el frasco ancho. Jillian toma los frijoles y los pone en el frasco.

¡A veces, el volumen puede ser engañoso! ¡Lo que parece que puede contener más, a veces no lo hace!

Vocabulario

Estas son las palabras de vocabulario en esta Sección.

Volumen: Es la cantidad de espacio dentro de una figura tridimensional.

Área de Superficie: Es la cubierta o superficie externa completa de una figura tridimensional. Se calcula con el total de las áreas de cada una de las caras y bases de un sólido.

Cilindro: Es una figura tridimensional con dos bases circulares paralelas y congruentes, y una superficie plana curva que conecta las bases.

Radio: Es la mitad de la medida de la distancia a través del centro de un círculo.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Un tanque de agua tiene un radio de 50 pies y una altura de 400 pies. ¿Cuántos pies cúbicos de agua puede almacenar el tanque cuando está lleno?

Respuesta

Primero, determinemos lo que el problema nos pide encontrar. Tenemos que encontrar el volumen del tanque, que es la cantidad de agua que puede almacenar. ¿Qué información nos han dado? Sabemos el radio y la altura del tanque, así que podemos poner esta información en la fórmula y resolver $V$ , el volumen.

$V & = \pi r^2h\\\V & = \pi (50)^2 (400)\\\V & = \pi (2,500) (400)\\\V & = 1,000,000 \pi\\\V & = 3,140,000 \ in.^3$

¡El tanque de agua podrá almacenar 3 millones de pies cúbicos de agua!

Revisión en Video

Este es un video de repaso.

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

*Video disponible solo en inglés

Khan Academy: Cylinder Volume and Surface Area

Práctica

Instrucciones: Encuentra el volumen de cada uno de los siguientes cilindros.

1. $r = 5 \ in, \ h = 8 \ in$

2. $r = 4 \ in, \ h = 7 \ in$

3. $r = 3 \ ft, \ h = 5 \ ft$

4. $r = 3 \ ft, \ h = 8 \ ft$

5. $r = 4 \ cm, \ h = 9 \ cm$

10.

11.

12.

13.

14.

15.

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