Multiplicación de Enteros

Aquí aprenderás a encontrar el producto de los enteros.

¿Recuerdas el proyecto de los amigos por correspondencia?

La amiga por correspondencia de Tyler, Amalia, es miembro de los Jafakids en Auckland, Nueva Zelanda. Tyler ama andar en bicicleta, particularmente, en Nueva York en el verano. Por sus cartas con Amelia, descubrió que ella es un miembro de un grupo de ciclistas que se reúne todos los días en Auckland.

Amelia le dijo todo sobre el grupo en su última carta. Le dijo que Jafakids es un club que comenzó para promover la vida saludable. Debes tener 11 ańos para entrar al grupo y cada día desde las 5:30 a las 7:30 p. m. los nińos se reúnen a andar en bicicleta. Algunos de los miembros pasan por caminos muy peligrosos. Algunos se los nińos decidieron hacer una competencia. Este es el primer ańo de Amelia, por lo que todavía está aprendiendo a pasar por la mayoría de los terrenos más difíciles.

"Yo ando mucho en bicicleta y me encanta", le escribió Amelia a Tyler. "La semana pasada estábamos en este gran parque llamado Wood Hill Bike Park. Mide más de 100 kilómetros y hay caminos difíciles de andar. Fuimos a la cima de una colina enorme. Nuestro instructor nos dijo que por cada kilómetro en altitud que recorramos, bajaríamos en temperatura. Terminamos recorriendo 5 kilómetros verticales.

Tyler paró de leer la carta. Estaba un poco confuso. Si el grupo viajo 5 kilómetros verticales y había $70^\circ$ cuando comenzaron, ¿Cuál era la temperatura cuando terminaron?

Para averiguar esto, debemos saber cómo multiplicar enteros. Presta atención en esta sección y comprenderás cómo responder la pregunta de Tyler.

Orientación

Esta sección se enfoca en encontrar los productos de enteros.

¿Qué es un producto?

Un producto es la respuesta a un problema de multiplicación. Cuando hablamos de productos hablamos de multiplicar enteros. Recuerda que un entero es el conjunto de números enteros y sus opuestos.

Veamos cómo encontrar el producto de enteros positivos. ¿Qué significa multiplicar?

Recuerda que la multiplicación es una suma repetitiva. Cuando un valor se debe multiplicar repetidas veces, podemos decir que la multiplicación es un camino corto para esta suma repetitiva.

3(4) = ____

Esto significa 3 veces 4. Un conjunto de paréntesis es una manera de mostrar una multiplicación. Esto significa que cuatro se suma tres veces.

4 + 4 + 4 = 12

La respuesta es 12.

Podemos encontrar el producto de cualquier par de enteros positivos tal como multiplicamos dos números enteros positivos.

¿Qué significa multiplicar un positive por un negativo?

Cuando multiplicamos un entero positivo por uno negativo, significa que el número negativo se suma muchas veces. Una vez más, tenemos una suma repetitiva.

6(-5) = ____

Aquí cinco negativo se suma seis veces.

-5 + -5 + -5 + -5 + -5 + -5 = -30

La respuesta es treinta negativo.

Podemos escribir una regla para multiplicar un positivo y un negativo basándonos en este problema.

¿Importa el orden en que escribamos los números?

No. No importa, debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación. Puedes ver más información sobre esta propiedad en el Vocabulario al final de la sección.

También podemos encontrar el producto de dos enteros negativos.

Digamos que queremos multiplicar los siguientes enteros negativos.

(-5)(-2) = ____

Sabemos que 5 por 2 es igual a 10, pero no sabemos qué signo utilizar. ¿Es es signo negativo o el positivo?

Bueno, ¿qué pasa si multiplicamos -5 y 0?

-5(0) = 0

La respuesta es cero.

¿Qué pasa si multiplicamos -5 por 1?

-5(1) = -5

La respuesta es cinco negativo. Ya sabemos que un negativo por un positivo es un negativo.

¿Qué pasa si multiplicamos -5 por 2?

-5(2) = -10

Nota que cada vez que multiplicamos por un nuevo número en orden 0, 1, 2, tenemos una diferencia de 5 en nuestra respuesta.

Aquí están nuestros tres productos. Estos son los resultados cuando multiplicamos por 0, 1 y 2.

0, -5, -10

Podemos decir que si multiplicamos por -1 y-2, nuestra respuesta será de cinco en cinco pero en el lado negativo. Si multiplicamos por los signos opuestos, los valores deberán moverse al lado positivo.

$-5(0) &= 0\\\-5(-1) &= 5\\\-5(-2) &= 10$

Esta es la regla que se aplica a la multiplicación de dos enteros negativos.

Ahora que aprendiste a multiplicar enteros, puedes ponerlos en práctica calcules expresiones numéricas y algebraicas.

Necesitarás las reglas para multiplicar enteros para calcular las expresiones.

Positivo $\times$ positivo = positivo

Negativo $\times$ positivo = negativo

Negativo $\times$ negativo = positivo

Comencemos calculando expresiones numéricas.

Una expresión numérica es una expresión que tiene muchos números y a veces varias operaciones. Para calcular una expresión numérica que tiene enteros, deberás recordar todas las reglas de los enteros y aplicarlas.

(-3)(-5) + (-2)(7)

En este problema, tenemos dos operaciones: multiplicación y suma.

Comencemos con la multiplicación. Recuerda que cuando tienes dos paréntesis juntos, significa que los debes multiplicar. Multipliquemos cada parte de la expresión.

$(-3)(-5) &= 15\\\(-2)(7) &= -14$

Ahora podemos sumar estos productos.

15 + -14 = 1

Nuestra respuesta final es 1.

Las expresiones numéricas pueden tener muchas formas. La clave es que, a menudo, hay más de dos números y, al menos, dos operaciones.

-2(-5 + -3 + 6)

Aquí debemos encontrar la suma de los números dentro del paréntesis y luego multiplicar la suma por dos negativo.

$-5 + -3 + 6 = -8 + 6 &= -2\\\-2(-2) &= 4$

La respuesta es 4.

Ahora que sabes cómo encontrar los productos. Comencemos a calcular la expresión numérica.

(-3)(-5) + (-2)(7)

También podemos calcular expresiones algebraicas. ¿Qué es una expresión algebraica?

Comencemos con la multiplicación.

$(-3)(-5) &= 15\\\(-2)(7) &= -14$

ahora podemos sumar

15 + -14 = 1

Nuestra respuesta es 1

También podemos calcular expresiones algebraicas. ¿Qué es una expresión algebraica?

Una expresión algebraica utiliza una combinación de números, operaciones y variable. Cuando calculas una expresión algebraica, a menudo le das un valor a la variable. Sustituyes este valor en la expresión y luego calculas la expresión.

$-4(10x) \ when \ x = 3$

Para evaluar esta expresión, debemos sustituir la variable $x$ por el valor que se le da. Recuerda que un número al lado de una variable significa multiplicación.

$&-4(10 \times 3)\\\&-4(30)$

Luego, multiplicamos cuatro negativo por 30.

-4(30) = -120

La respuesta es -120.

Intenta realizar algunos por ti mismo. Encuentra cada producto.

Ejemplo A

-9(-8) = ____

Solución: 72

Ejemplo B

(4)(-12) = ____

Solución: -48

Ejemplo C

(5)(13) = ____

Solución: 65

Regresemos al problema que está al comienzo de la sección.

Acá tenemos el problema original una vez más

"Yo ando mucho en bicicleta y me encanta", le escribió Amelia a Tyler. "La semana pasada estábamos en este gran parque llamado Wood Hill Bike Park. Mide más de 100 kilómetros y hay caminos difíciles de andar. Fuimos a la cima de una colina enorme. Nuestro instructor nos dijo que por cada kilómetro en altitud que recorramos, bajaríamos $2^\circ$ en temperatura. Terminamos recorriendo 5 kilómetros verticales.

Tyler paró de leer la carta. Estaba un poco confuso. Si el grupo viajo 5 kilómetros verticales y había $70^\circ$ cuando comenzaron, ¿Cuál era la temperatura cuando terminaron?

Primero, pensemos en los enteros que tenemos.

Por cada kilómetro, hay una baja de $2^\circ$ en la temperatura. Por lo que podemos decir que $1 \ km(-2) = -2^\circ$ .

El grupo viaja 5 kilómetros, por lo que podemos tomar los 5 kilómetros y multiplicar la distancia por el número de grados que baja por kilómetros.

$5(-2) = -10^\circ$

Había $70^\circ$ cuando comenzaron.

$70 + -10 = 60^\circ$

Había $60^\circ$ cuando el grupo paro su deceso.

YPuedes aprender más sobre Jafakids en la página www.aucklandmtb.co.nz/jafakids.

Vocabulario

Aquí están las palabras claves que se encuentran en esta sección.

Producto: Resultado de un problema de multiplicación

Enteros: El conjunto de números enteros y sus opuestos.

Propiedad conmutativa de la multiplicación: Una propiedad que dice que no importa en qué orden multiplique los términos. El producto será el mismo. $ab = ba$

Práctica Guiada

A continuación, un ejercicio para que lo realices por ti mismo.

(9)(-6)(5) = _____

Respuesta

Para encontrar el producto, debemos multiplicar en orden de izquierda a derecha.

(9)(-6) = -54

(-54)(5) = -270

Nuestra respuesta es -270.

Revisión en video

Aquí un resumen en video.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

James Sousa, Multiplying Integers - The Basics

*Este video solo está disponible en inglés.

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James Sousa, Ejemplo of Multiplying Integers

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James Sousa, Multiplying Three or More Integers

*Este video solo está disponible en inglés.

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James Sousa, Ejemplo of Multiplying Three or More Integers

*Este video solo está disponible en inglés.

Practica

Instrucciones: Multiplica cada par de enteros para encontrar el producto.

1. (-7)(-8)

2. -3(4)

3. 5(8)

4. (-3)(-9)

5. 6(12)

6. -9(-9)

7. 8(-4)

8. -7(-2)

9. -7(-3)

10. 15(-2)

11. -15(2)

12. -2(-15)

13. 12(-5)

14. (-11)(-7)

15. (-4)(-5)

16. (-8)(-11)

17. (2)(-3)

18. -5(7)

19. -13(-2)

20. 14(2)

Instrucciones: Calcula cada expresión.

21. (-9)(2)(-1)

22. (-3)(2)(-4)

23. (-5)(9)(-1)

24. (8)(-9)(-2)

25. (2)(-3)(-5)

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