Transformaciones Rígidas

Aquí aprenderás a identificar y graficar transformaciones.

¿Alguna vez has construido una casa club? Estudia este problema.

Cody y su padre trabajan en construir una casa club en el patio. Cody está emocionado sobre el proyecto y no puede esperar para comenzar a construirla casa. Le escribió a su amigo por correspondencia, Trevor, en Nueva Zelanda y le dijo sobre el proyecto. Trevor le pidió a Cody que le enviará correos electrónicos con fotografías y Cody acepto. De hecho, Cody le dijo que las enviaría de inmediato.

El único problema es que todavía no hay comenzado a construirla. El papá de Cody insistió que debía dibujar un plano complete de la casa club. Cody lo hizo y pensó que ya podían comenzar, pero su papá le dijo que debía dibujar un plano del patio e indicar dónde estaría la casa club. Esto frustró a Cody, pero decidió hacerlo con la esperanza de comenzar a construir la casa el fin de semana. Luego, tomaría fotografías y se las enviaría a Trevor.

Cody decidió utilizar un plano de coordenadas para mapear el patio. Dibujo el siguiente plano y se lo mostró a su padre.

Cody creo una escala en donde cada unidad del plano representa 5 pies. Las dimensiones de su casa club son $14.1 \ ft \times 14.1 \ ft$ . El punto en el plano que está en (4, -3) representa la puerta trasera de la casa de Cody. Si familia tiene un gran patio trasero, por lo que la casa club es de un tamańo perfecto.

Cody le dio su dibujo a su papá y el mostró su plano para la casa club.

"Esto se ve muy bien, excepto que la casa club debe moverse 10 pies a la derecha. Tu mama quiere plantar su jardín justo donde ahora está la casa club. Creo que la movemos 10 pies va a quedar perfecta", explicó el padre.

Cody vuelve a trabajar. ¿Cómo puede mover la casa club si la mueve 10 pies a la dereha? Esta sección cubre información sobre transformaciones. Usando una transformación, Cody puede dibujar nuevamente la casa club. Regresaremos a este problema al final de esta sección, para ayudarle a Cody.

Orientación

Las figuras se pueden transformar de tres maneras distintas en un plano de coordenadas. Recuerda que le plano de coordenadas está representado por la red de coordenadas. Así que cuando transformas figuras en un plano de coordenadas, las estás moviendo en una red de coordenadas.

¿Qué es una transformación?

Una transformación es el movimiento de una figura en la red de coordenadas.

Las figuras se pueden transformar de tres maneras: una traslación, una reflexión o una rotación. .

Translaciones

Una traslación es el deslizamiento de una figura. Cuando una figura se queda en la misma posición y simplemente se desliza en el plano de coordenadas de un lado a otro, la llamamos traslación.

Aquí hay una traslación.

Puedes ver que la figura no cambia; simplemente se desliza de un punto a otro.

Reflexiones

Una reflexión es el reflejo de una figura. Pensamos en las reflexiones cuando pensamos e espejos. Una mitad es como la otra mitad, pero son reflejas. Cuando una figura se refleja en el plano de coordenadas, la damos vuelta. Las figuras se pueden dar vuelta en el eje $x$ o en el eje $y$ Aquí hay una reflexión.

Rotaciones

Una rotación es un giro. Cuando giramos una figura en un aplano d coordenadas, estás rotando la figura. Mira este ejemplo.

Nota que el triángulo roto en cada cuadrante. Cada cambio es una rotación de la figura.

También podemos graficar transformaciones utilizando vértices. Una vez que hallas graficado las figuras, puedes identificar si es una reflexión, una rotación o una traslación. Comencemos.

Grafica la figura $ABC, A(-1, 5) \ B(-1, 1) \ C(-3, 3)$

Luego, grafica la figura $DEF, D(1, 5) \ E(1, 1) \ F(3, 3)$

Primero, grafica la figura $ABC$ , luego grafica $DEF$ y compara las dos figuras. Aquí está la gráfica de las dos figuras.

Si ves está dos figuras, puedes ver que representan una reflexión.

Podemos describir una traslación al mirar cómo las coordenadas de $x$ e $y$ cambiaron de una figura a otra figura.

Aquí tenemos dos figuras. Tenemos un triángulo $ABC$ y tenemos un triángulo $A'B'C'$ . El triángulo $ABC$ es la figura con la que comenzamos. Trasladamos o desplazamos la figura y creamos $A'B'C'$ .

Podemos describir esta traslación como el cambio en el valor $x$ y como el cambio en el valor $y$ .

Haces esto al escribir el cambio en la coordenada de cada vértice. Este se convierte en un par ordenado de enteros que expresa una traslación

Al mirar las dos figuras, puedes ver que cada vértice se movió +3 en el eje 'x' y-2 en el eje 'y'.

El par ordenado que expresa ale cambio es (3, -2).

Puedes describir otras transformaciones basándote en el cambio de $x$ e $y$ .

En los últimos problemas, identificamos transformaciones equivalentes o iguales al graficar y ver los cambios en las coordenadas de $x$ e $y$ También podemos identificar transformaciones equivalentes si graficar. Podemos ver los cambios en las coordenadas y determinar si las dos figuras son equivalentes o no.

¿Cómo podemos hacer esto?

Esta es una buena pregunta. Veamos las coordenadas de ambas figuras y determinemos si las dos figuras son equivalentes o no al examinar los cambios en las coordenadas

La figura $XYZ$ tiene los siguientes vértices.

$& X(4, 5)\\\& Y(2, 7)\\\& Z (3, 6)$

La figura $ABC$ tiene los siguientes vértices.

$& A(1, 7)\\\& B (-1, 9)\\\& C (0, 8)$

¿Son equivalentes estas dos figuras?

Para descubrir esto, debemos observar los cambios de la coordenada $x$ de un vértice al otro y los cambios de la coordenada $y$ de un vértice al otro. Si los cambios son los mismos en los tres vértices, entonces las dos figuras son equivalentes.

$X(4, 5)$ a $A(1, 7)$ desde $x$ a $x$ hay un cambio de -3, desde $y$ a $y$ hay un cambio de +2. Podemos escribirlo como el par ordenado (-3, 2).

Si de $Y$ a $B$ y $Z$ a $C$ también hay cambios de (-3, 2), entonces las dos figuras son equivalentes; si ese no es el caso, las figuras no son equivalentes.

$Y(2, 7)$ a $B (-1, 9)$ desde $x$ a $x$ hay un cambio de -3, desde $y$ a $y$ hay un cambio de +2. Este vértice también tuvo cambios de (-3, 2).

$Z(3, 6)$ a $C (0, 8)$ desde $x$ a $x$ , 3 a 0 hay un cambio de -3, desde $y$ a $y$ , 6 a 8 hay un cambio de of +2. Este vértice también tuvo cambios de (-3, 2).

Es cambio en cada vértice es el mismo de la primera figura a la segunda figura. Por eso, las dos figuras son equivalentes.

Identifica cada ejemplo como una rotación, una traslación o una reflexión.

Ejemplo A

Solución: Rotación

Ejemplo B

Solución: Traslación

Ejemplo C

Solución: Reflexión

Regresemos al problema que está al comienzo de la sección.

Cody decidió utilizar un plano de coordenadas para mapear el patio. Dibujo el siguiente plano y se lo mostró a su padre.

Cody le dio su dibujo a su papá y el mostró su plano para la casa club.

Primero, pensemos en la transformación que necesita Cody para mover la casa club. Si hay que mover la casa club 10 pies a la derecha, Cody necesita desplazar la casa club. Esto es una traslación.

Para completar la traslación, Cody debe mover cada vértice de la casa club dos unidades a la derecha. Necesita que sean dos unidades, ya que cada unidad representa 5 pies y su padre le dijo que debía moverla 10 pies. Aquí está el nuevo diseńo de la locación de la casa club.

Las flechas muestran donde Cody movió cada vértice.

Cody le muestra a su papá el dibujo. Su padre está satisfecho son la perfecta traslación de Cody. Juntos, comienzan a trabajar en la construcción de la casa.

Vocabulario

Aquí están las palabras claves que se encuentran en esta sección.

Transformación: El movimiento de una figura en el plano de coordenadas, la forma en que se mueve la figura se denomina transformación.

Traslación: Un deslizamiento, ocurre cuando una figura se desliza de un lado a otro en el plano de coordenadas.

Reflexión: Un cambio en la figura. Las figuras se reflejan en el eje $x$ o en el eje $y$

Rotación: Un giro. Una figura puede girar en varias ocasiones en el plano de coordenadas.

Práctica Guiada

A continuación, un ejercicio para que lo realices por ti mismo.

¿Qué tipo de transformación se ve en la figura de abajo?

Respuesta

Es una reflexión.

Aquí puedes ver la reflexión o el giro de la figura en el eje $x$ .

Practica

Instrucciones: Identifica cada imagen como traslación, rotación o reflexión.

Instrucciones: Para los ejercicios del 6 al 12, dibuja tus propias figuras y muestra tres diferentes translaciones, rotaciones y reflexiones.

Instrucciones: Completa las siguientes reflexiones de acuerdo a las instrucciones.

13. Refleja esta imagen en el eje $y$ .

14. Rota la siguiente imagen.

En los ejercicios del 15 al 20, anda a la casa de tesoros y encuentra ejemplo de tres tipos de transformaciones en el contexto de la vida cotidiana.

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