Tablas de Entrada y Salida

Aquí aprenderás a escribir expresiones para una tabla de entrada y salida.

La clase de sexto grado de la sra. Hawk estaba tan motivada por la idea de tomar un bus comercial para su paseo que pusieron el 100% de sus esfuerzos en el lavado de autos que hicieron el sábado. Los estudiantes juntaron los materiales y lavaron autos casi todo el día. El lavado comenzó a las 9 am y continuó hasta las 2 pm.

Los estudiantes calcularon que necesitaban ganar $244.92. Para hacer los cálculos más simples, redondearon a $245. A $5 el lavado, necesitaban lavar 49 autos para reunir el dinero del bus.

El lavado de autos estuvo muy lleno. Al comienzo no había autos, pero entre las 9 am y las 10 am la clase lavó 5 autos. De las 10 a las 11, la clase lavó 10 autos; de las 11 a las 12, la clase lavó 15 autos y de las 12 - 1 la clase lavó 20 autos.

Toby llevó la cuenta de toda la información en su cuaderno. Creó una tabla para mostrar cómo el número de autos lavados cambió durante el día.

$&0 \qquad 0\\\&1 \qquad 5\\\&2 \qquad 10\\\&3 \qquad 15\\\&4 \qquad 20$

Toby ve un patrón en los datos, ¿Puedes verlo? En esta Sección aprenderás a escribir reglas para los patrones. Presta atención y al final de la Sección podrás escribir una regla y una expresión que concuerde con esta tabla.

Orientación

Los patrones se encuentran en todos lados. Están presentes en la naturaleza, en las máquinas e incluso en las temperaturas. Detectar un patrón es una de las cosas que los matemáticos y los científicos hacen día a día. Buscan patrones en la forma en la que se hacen, se crean o se cuentan las cosas para luego sacar conclusiones en base a dichos patrones.

Un patrón funciona de acuerdo a una regla. En esta Sección vamos a ver distintos patrones y cómo descifrar y escribir reglas para los patrones.

¿Qué es un patrón?

Un patrón es algo que se repite de una manera específica. Un patrón funciona de acuerdo a una regla. La regla nos dice cómo se repite el patrón.

Podemos ver patrones en la naturaleza-- por ejemplo, el número de pétalos en una flor o el número de ramas de un árbol son patrones especiales.

2, 4, 6, 8, 10…..

Una vez que tienes un patrón, podemos establecer una regla sobre este. Este patrón cuenta de dos en dos. Podríamos decir que podemos sumar dos a cada término anterior para obtener el próximo término del patrón.

¿Cómo podemos escribir esto de forma que cualquiera pueda entender la regla?

En este ejemplo podemos usar una variable para representar los términos en la lista. Usemos $x$ .

$x=$ término en el patrón

Por término nos referimos a los números 2, 4, 6 y así sucesivamente.

Luego, podemos agregar más a la variable. Ya que sumamos dos a cada término para obtener el término siguiente, podemos decir que la regla es $x$ más dos.

Regla: $x+2$

Ahora revisemos la regla para asegurarnos de que funciona para cada término de la lista.

2, 4, 6, 8, 10…

Si sustituyo $x$ por 2 entonces 2 + 2 = 4; la regla funciona.

Si sustituyo $x$ por 4 entonces 4 + 2 = 6; la regla funciona.

¿Hay una forma más fácil de averiguarlo?

Sí. Podemos usar una tabla. Se denomina tabla de entrada y salida.

Entrada	Salida
2	4
4	6
6	8
8	10

Veamos si nuestra regla $x+2$ funciona con esta tabla.

Se ha puesto un término en la tabla; es nuestra entrada. Luego sale un término; es la salida. La regla nos dice lo que le ocurrió al término de entrada para convertirse en el término de salida.

¿La regla $x+2$ funciona para cada término de la tabla?

Si, funciona. Se puede sumar dos a cada término en la columna de entrada para igualar la columna de salida.

Puedes escribir reglas examinando los patrones de las tablas de entrada y salida.

Entrada	Salida
0	0
1	3
2	6
3	9

¿Qué le pasó al término de entrada para convertirse en el término de salida?

Ahora podemos ver cómo averiguar una regla. Es como armar un rompecabezas. Tienes que pensar en lo que le pasó a un término para convertirse en otro término.

El término en la columna de entrada fue multiplicado por 3 para obtener el resultado de la columna de salida. Esta es la regla de la tabla.

Podemos escribir la regla como una expresión.

Si la columna de entrada es $x$ , entonces $3x$ es la regla de la tabla.

Regla $= 3x$

A veces las reglas son un poco más complejas. A veces puede haber dos operaciones en una regla.

Entrada	Salida
3	7
4	9
5	11
7	15

¿Cuál es la regla de la tabla? ¿Qué le pasó al término de entrada para convertirse en el término de salida?

Este ejemplo es más complejo, pero si buscas los patrones verás que la entrada fue multiplicada por dos y luego se le sumó uno. Podemos escribir la regla como una expresión.

Si consideras la entrada como variable, podemos escribir una regla para la tabla que se vea así.

Regla $= 2x+1$

Denominamos la relación de entrada y salida de los términos como función.

Aprenderás sobre las funciones en la próxima Sección.

Ahora es tiempo de practicar. Escribe una expresión para cada tabla de entrada y salida.

Ejemplo A

Entrada	Salida
10	6
9	5
8	4
7	3

Solución: $x - 4$

Ejemplo B

Entrada	Salida
2	4
4	8
6	12
7	14

Solución: $2x$

Ejemplo C

Entrada	Salida
0	5
1	6
2	7
4	9

Solución: $x + 5$

Ahora volvamos al problema del lavado de autos.

Aquí tienes el problema original nuevamente. Usa lo que has aprendido para escribir una regla para el patrón de los autos lavados.

Los estudiantes calcularon que necesitaban ganar $244.92. Para hacer los cálculos más simples, redondearon a $245. A $5 el lavado, necesitaban lavar 49 autos para reunir el dinero del bus.

El lavado de autos estuvo muy lleno. Al comienzo no habían autos, pero entre las 9 am y las 10 am la clase lavó 5 autos. De las 10 a las 11, la clase lavó 10 autos; de las 11 a las 12, la clase lavó 15 autos y de las 12 - 1 la clase lavó 20 autos.

Toby llevó la cuenta de toda la información en su cuaderno. Creó una tabla para mostrar cómo el número de autos lavados cambió durante el día.

$&0 \qquad 0\\\&1 \qquad 5\\\&2 \qquad 10\\\&3 \qquad 15\\\&4 \qquad 20$

Toby ve un patrón en los datos, ¿Puedes verlo?

Cada número de la columna izquierda muestra el tiempo que pasó.

Al comienzo no había autos.

Luego, durante la primera hora, los estudiantes lavaron 5 autos.

Durante la segunda hora, lavaron 10 autos.

Durante la tercera hora, lavaron 15 autos.

Durante la cuarta hora, lavaron 20 autos.

Si quisiéramos escribir una regla para el patrón, ¿Qué pasó con el término de entrada para que se convirtiera en el término de salida?

El término de entrada fue multiplicado por 5.

La regla para el número de autos lavados por hora es $5x$ .

Dada esta regla, ¿Cuántos autos podemos predecir que serán lavados durante la quinta hora?

Escribe tu predicción y corrobora con un compañero.

Si cada auto pagó $5, ¿Cuánto dinero ganaron los estudiantes en cinco horas?

75 $\times$ 5 $=$ $375.00

¡Los estudiantes están muy emocionados! ¡Podrán ir al parque de diversiones en el bus comercial!

Vocabulario

Aquí está el vocabulario de esta Sección.

Patrón: Grupo de fotos, números u otros símbolos que se repiten de alguna forma de acuerdo a una regla.

Función: Variable que depende de otra y que solo da un resultado para cada valor de entrada en una función.

Tabla de entrada y salida: Tabla que muestra cómo cambia un valor de acuerdo a una regla.

Práctica Guiada

Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.

Escribe una regla para la tabla.

Entrada	Salida
2	6
3	8
4	10
5	12

Respuesta

Al ver la tabla nos podemos preguntar, "¿Qué le paso a x para dar y?"

Si observas con atención verás que el valor en la columna de entrada fue multiplicado por dos y luego se sumó 2 a ese valor.

Esta es nuestra respuesta. Podemos escribirla como expresión.

$2x + 2$

Esta es nuestra respuesta.

Repaso en Video

Aquí tienes algunos videos para repasar.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

James Sousa, Introduction to Functions, Part 2

*Este video solo está disponible en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

James Sousa, Ejemplo of Writing a Cost Function and Completing a Table of Values

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Escribe una expresión para cada tabla de entrada y salida. Usa una variable para el valor en la columna de entrada de la tabla.

Luego añade los dos valores en la tabla como si se estuviera siguiendo el patrón. Hay tres partes para cada respuesta.

Entrada	Salida
1	4
2	5
3	6
4	7

Entrada	Salida
2	4
3	6
4	8
5	10

Entrada	Salida
1	3
2	6
4	12
5	15

Entrada	Salida
9	7
7	5
5	3
3	1

Entrada	Salida
8	12
9	13
11	15
20	24

Entrada	Salida
3	21
4	28
6	42
8	56

Entrada	Salida
2	5
3	7
4	9
5	11

Entrada	Salida
4	7
5	9
6	11
8	15

Entrada	Salida
5	14
6	17
7	20
8	23

10.

Entrada	Salida
4	16
5	20
6	24
8	32

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