Permutaciones

Aquí aprenderás sobre las permutaciones posibles.

¿Alguna vez has intentado organizar gente para un evento? Bueno, hay un show de talentos en el parque de diversiones. Mira.

Kyle y Taylor están a cargo de crear el orden para el show de talentos. Hay 6 chicos, 10 chicas y 6 adultos que participarán en el show.

El orden en que salen los estudiantes hace la diferencia. Los chicos saldrán todos juntos. Luego saldrán las chicas; por último, saldrán los adultos.

Kyle y Taylor comienzan con los chicos ya que son seis los participantes y el orden hace la diferencia, ¿Cuántas variantes posibles del orden de la actuación se pueden hacer?

La resolución de este problema tiene que ver con algo llamado "permutación". Esta Sección trata sobre las permutaciones y como encontrarlas.

Orientación

Una permutación es una combinación en donde el orden hace la diferencia. En la sección anterior no nos preocupamos del orden. Solo nos preocupamos de emparejar cosas.

¿Qué pasa si consideramos el orden?

Si consideramos el orden, entonces SK y KS serían dos cosas distintas.

Tendríamos que haber contado TODAS las combinaciones posibles y tendrían que ser incluidas en nuestra permutación debido al orden.

Veamos las permutaciones del último problema.

$&\text{SK} && \text{KS} && \text{DS} && \text{JS}\\\&\text{SD} && \text{KD} && \text{DK} && \text{JK}\\\ &\text{SJ} && \text{KJ} && \text{DJ} && \text{JD}$

Tenemos 12 combinaciones posibles para esta permutación.

¿Hay alguna forma más fácil de averiguarlo, además de escribir todas las posibilidades?

Si, la hay. De hecho, hay una forma de hacerlo usando una notación específica.

Primero, teníamos cuatro chicos en parejas. Cuatro con dos a la vez, esta es nuestra permutación.

$P(4,2)$

Esto nos dice que tenemos cuatro opciones, tomadas dos a la vez.

Averiguamos la permutación contando regresivamente dos números a partir del cuatro y los multiplicamos.

$4 \cdot 3$

Nota que multiplicamos los últimos dos dígitos de la cuenta hasta cuatro. Hay dos números que multiplicar porque los niños se agruparon en parejas. Ahora, multiplicamos.

4 $\times$ 3 $=$ 12

Hay 12 combinaciones posibles. Es la misma respuesta que obtenemos escribiendo todo.

¿De cuántas maneras puedes ordenar a cinco nadadores en grupos de tres?

Esta vez tenemos grupos de 3, así que multiplicamos los últimos 3 números en la cuenta del número de objetos. Aquí está la permutación de 5 tomando tres a la vez.

$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3$

Hay 60 combinaciones posibles.

Practica buscando las siguientes permutaciones.

Ejemplo A

$P(9, 2)$

Solución: $72$

Ejemplo B

$P(4, 3)$

Solución: $24$

Ejemplo C

$P(5, 2)$

Solución: $20$

Ahora volvamos al problema del comienzo.

Kyle y Taylor están a cargo de crear el orden para el show de talentos. Hay 6 chicos, 10 chicas y 6 adultos que participarán en el show.

El orden en que salen los estudiantes hace la diferencia. Los chicos saldrán todos juntos. Luego saldrán las chicas; por último, saldrán los adultos.

Kyle y Taylor comienzan con los chicos ya que son seis los participantes y el orden hace la diferencia, ¿Cuántas variantes posibles del orden de la actuación se pueden hacer?

Kyle toma un trozo de papel y escribe esto.

6 chicos

$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = the \ number \ of \ possible \ arrangements$

"Mira, es diferente, así que podemos usar un factorial" explica Kyle. "Ahora sabremos las formas posibles de agrupar a los alumnos de sexto grado".

$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

Hay 720 combinaciones posibles. Kyle y Taylor probablemente necesitan reducir el número un poco porque son muchas combinaciones. Deciden hacer que los cantantes sean una sola categoría. Esto ayudará con las combinaciones posibles.

Vocabulario

Aquí está el vocabulario de esta Sección.

Probabilidad: Oportunidades o posibilidades de que ocurra un evento.

Resultado: Resultado final

Diagrama de árbol: Forma visual de mostrar opciones y variables de forma organizada. Las líneas de un diagrama de árbol se asemejan a las ramas de uno.

Combinaciones: Disposición de opciones en donde el orden no hace una diferencia.

Permutaciones: Disposición de opciones en donde el orden no hace una diferencia.

Práctica Guiada

Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.

Calcula $P(8,3)$

Respuesta

Esto significa que tenemos ocho objetos tomados de tres a la vez. Así es cómo podemos escribir este problema.

$8 \times 7 \times 6$

Nuestra respuesta es 336.

Repaso en Video

Aquí tienes algunos videos para repasar.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy, Permutations

*Este video solo está disponible en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

James Sousa, Permutations

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Encuentra las siguientes permutaciones.

1. $P(5,2)$

2. $P(6, 3)$

3. $P(7, 2)$

4. $P(5, 4)$

5. $P(7, 3)$

6. $P(4, 4)$

7. $P(5, 3)$

8. $P(8, 4)$

9. $P(9, 4)$

10. $P(10, 3)$

11. $P(12, 2)$

12. $P(9, 3)$

13. $P(8, 6)$

14. $P(9,3)$

15. $P(10,3)$

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