Probabilidad de Eventos Independientes

Aquí aprenderás a encontrar la probabilidad de la ocurrencia de eventos independientes.

En el camino de vuelta del parque de diversiones, la sra. Hawk le dio a sus estudiantes una encuesta que debían llevar. Les pidió que escribieran sobre las atracciones que disfrutaron y que explicaran por qué lo hicieron. ¡Todos los estudiantes lo pasaron muy bien y el viaje en el bus comercial al parque hizo que todo fuera perfecto!

La sra. Hawk recolecto 25 encuestas. A pesar de que hay 26 estudiantes en su clase, un estudiante estaba enfermo y no pudo asistir al paseo. Mientras viajaban en el bus, la sra. Hawk revisó las respuestas de los alumnos.

Basándose en sus respuestas, pudo notar que los estudiantes realmente habían disfrutado el paseo. Notó que 18 estudiantes disfrutaron la montaña rusa y 12 los autos chocones. Estas fueron las dos atracciones más populares. También notó que algunos estudiantes habían disfrutado ambas atracciones.

La sra. Hawk se preguntó la probabilidad de que pasara esto. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante guste tanto de la montaña rusa como de los autos chocones?

¿Puedes averiguarlo? Ambos eventos son independientes del otro. Por lo tanto, la probabilidad de gustar de ambas atracciones es independiente-- una no depende de la otra. En esta Sección aprenderás a calcular la probabilidad de eventos independientes. Al final de esta Sección serás capaz de encontrar la probabilidad de que a un estudiante le guste tanto la montaña rusa como los autos chocones.

Orientación

Cuando pensamos sobre las probabilidades piensas en las oportunidades o probabilidades de que ocurra algo. Algunas veces ocurrirá un evento y un segundo evento ocurrirá justo después del primero. Piensa en escoger una carta de un mazo de cartas. Sabemos que hay 52 cartas en un mazo, podemos escoger una carta y hay una cierta posibilidad de que sea roja. Luego podemos poner la carta de vuelta para escoger nuevamente. El primer resultado no tiene nada que ver con el segundo resultado.

Estos resultados se denominan eventos independientes.

Un evento independiente es un evento que no depende de otro evento que determine su resultado. Cuando tenemos dos eventos independientes, un resultado no afecta el resultado del segundo evento. Escoger una carta de un mazo es un buen ejemplo de evento independiente.

Podemos calcular la probabilidad de la ocurrencia de un evento independiente.

Supongamos que tenemos cuatro cuadrados boca abajo en una mesa.

En el lado que no podemos ver hay imágenes distintas. Tres cuadrados tienen un sol y un cuadrado tiene un trébol de cuatro hojas.

¿Cuál es la probabilidad de escoger el sol al primer intento?

Este es un evento independiente. Nada afecta el resultado excepto escogerlo. Si hay tres soles entonces tenemos 3 posibilidades de 4 de escoger un sol.

$P = \frac{3}{4}$

También podemos tener dos eventos independientes. Los eventos no tienen nada que ver uno del otro, pero podemos calcular la probabilidad de que ocurran.

¿Cómo podemos encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes? Bueno, primero debes saber algunas cosas. Para que dos eventos sean independientes, ninguno de los dos debe afectar al otro.

Hay 9 canicas en una bolsa. Tres son azules, tres verdes y tres naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica azul, luego ponerla de vuelta y sacar una canica verde?

Primero nota que hay dos eventos independientes.

El primero es sacar una canica azul.

El siguiente es sacar una canica verde.

Nota también que la primera canica vuelve a la bolsa antes de escoger la siguiente- ¡Esto es un elemento clave de los eventos independientes!

Ahora pensemos en el problema.

¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica azul?

Hay 9 canicas y 3 son azules.

$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

¿Cuál es la probabilidad de sacar luego una canica verde?

Hay 9 canicas y 3 son verdes.

$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Para encontrar la probabilidad de que ocurran estos dos eventos independientes, multiplicamos las dos probabilidades.

$P(B \ \text{and} \ G) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

¿Qué pasa con la ocurrencia de tres eventos independientes?

Hay 9 canicas en una bolsa. Tres son azules, tres verdes y tres naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica azul, luego ponerla de vuelta y sacar una canica verde, luego ponerla en la bolsa y sacar una canica naranja?

Ahora tenemos que hacer lo mismo.

¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una canica azul?

Hay 9 canicas y 3 son azules.

$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

¿Cuál es la probabilidad de sacar luego una canica verde?

Hay 9 canicas y 3 son verdes.

$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

¿Cuál es la probabilidad de sacar luego una canica naranja?

Hay 9 canicas y 3 son naranjas.

$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ahora buscamos la probabilidad de que ocurran los tres eventos independientes multiplicando cada probabilidad.

$P(B, \ \text{then} \ G, \ \text{then} \ O) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

Es muy poco probable de que esto ocurra.

Ahora volvamos a la natación y al golf.

De los 100 estudiantes de Riverview Middle, 50 disfrutan la natación. De los mismos 100 estudiantes, 25 disfrutan el golf. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante disfrute tanto de la natación como del golf?

Sumémosle a este problema que 40 de 100 estudiantes disfrutan el básquetbol.

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante guste de los tres deportes?

$\frac{50}{100} & = \frac{1}{2}\\\ \frac{25}{100} & = \frac{1}{4}\\\ \frac{40}{100} & = \frac{2}{5}\\\ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} & = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$

Hay una probabilidad en 20 de que un estudiante guste de las tres.

También podemos tener este resultado como porcentaje. Esto nos dará una idea de qué tan pequeña es la probabilidad.

$\frac{1}{20} = 5 \%$

Practica calculando la probabilidad de un evento independiente usando un porcentaje.

Ejemplo A

Si 6 de 24 estudiantes de la clase disfrutan la ópera, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de la clase escogido al azar disfrute la opera?

Solución: $\frac{1}{4}$

Ejemplo B

Si 4 de 12 estudiantes escogen la clase de matemáticas como su favorita, ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de la clase escogido al azar considere la clase de matemáticas como su favorita?

Solución: $\frac{1}{3}$

Ejemplo C

Si 5 de 10 consideran el teatro como su clase favorita, ¿cuál es la probabilidad?

Solución: $\frac{1}{2}$

Ahora volvamos al parque de diversiones.

Aquí tienes el problema original nuevamente.

La sra. Hawk se preguntó la probabilidad de que pasara esto. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante guste tanto de la montaña rusa como de los autos chocones?

Primero tenemos que encontrar la probabilidad de cada evento independiente.

18 de 25 estudiantes disfrutaron de la montaña rusa.

$\frac{18}{25}$

12 de 25 disfrutaron de los autos chocones.

$\frac{12}{25}$

Este es un problema un poco complejo porque los número son más grandes. Podemos convertir cada fracción en decimal y luego multiplicarlos. Luego, podemos convertir el decimal a un porcentaje para determinar la probabilidad.

$\frac{18}{25} & = .72\\\\frac{12}{25} & = .48\\\.72 \times .48 & = .3456$

Movemos el punto decimal dos lugares hacia la derecha y añadimos el signo de porcentaje.

34.56 %

La probabilidad de que un estudiante haya escogido tanto la montaña rusa como los autos chocones como atracciones favoritas es de 34.56 aproximadamente. $34 \frac{1}{2} \%$ .

Vocabulario

Aquí está el vocabulario de esta Sección.

Probabilidad: Oportunidades o posibilidades de que ocurra un evento.

Evento independiente: El resultado de un evento no tiene relación alguna con el resultado de otro evento. Un evento no afecta o altera al otro.

Práctica Guiada

Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.

Para saberlo, necesitamos averiguar la probabilidad de cada evento independiente y luego multiplicarlas.

$\frac{50}{100} & = \frac{1}{2}\\\ \frac{25}{100} & = \frac{1}{4}\\\ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} & = \frac{1}{8}$

Hay una posibilidad entre ocho de que ocurra esto.

Repaso en Video

Aquí tienes un video para repasar.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy, Compound Probability of Independent Events

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Lee el siguiente ejemplo y luego responde las preguntas sobre estos eventos independientes.

Una bolsa tiene dieciséis canicas adentro. Hay cuatro de cada color. Hay cuatro rojas, cuatro azules, cuatro verde y cuatro amarillas.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica verde?

2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica amarilla o una verde?

3. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja?

4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja, amarilla o verde?

5. ¿Cuál es la probabilidad de sacar no sacar una canica roja?

6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica verde y luego una roja?

7. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica amarilla o azul?

8. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja, luego una azul y después una amarilla?

9. Si saco una canica roja y una azul, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica verde?

10. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja?

Instrucciones: Ahora ve las fracciones de probabilidad que escribiste para los ejercicios 1 al 10. Convierte cada una en decimal y luego en porcentaje. Puedes redondear al número más cercano si es necesario.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Probabilidad de Eventos Independientes

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

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