Ecuaciones que describen patrones

Aquí aprenderás a reconocer y describir patrones numéricos al encontrar una regla.

¿Alguna vez has notado los patrones de la naturaleza? ¿Alguna vez has notado los patrones numéricos?

Kelly está muy emocionada por sus vacaciones de verano. Ha sido aceptada en un programa de viaje y pasará cuatro semanas de excursión, acampando y aprendiendo técnicas de sobrevivencia en las Montañas Blancas en New Hampshire. Hay muchos otros estudiantes que también irán y Kelly aún no los conoce.

En dos semanas habrá una reunión previa al viaje. En la reunión previa al viaje Kelly conocerá a los otros niños que participan en el programa y aprenderá detalles sobre el verano. Mientras tanto, Kelly está tan emocionada que está contando los días. Para ayudarla a pasar el tiempo, su mamá le compró unos cuantos libros sobre excursionismo y naturaleza.

Uno de los libros habla todo sobre la naturaleza y sus características únicas. Uno de los capítulos del libro habla sobre los patrones en la naturaleza. Kelly está fascinada.

"Escucha esto", le dice a su amiga Sara. "Hay patrones en las hojas, los árboles y las flores. De hecho, de acuerdo con esto, la manera en que un árbol se divide en ramas sigue un patrón específico".

"Eso es genial," Sara le responde. "¿Crees que es cierto?"

"Podríamos ir a comprobarlo," sugirió Kelly.

Las chicas deciden investigarlo. En una hoja de papel, Kelly escribe el siguiente patrón.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13….

Cuando las chicas llegan al parque, se sientan frente a uno de los árboles. Kelly lee la siguiente información.

"Este patrón de la naturaleza se llama patrón Fibonacci por un matemático italiano. Él descubrió que muchas cosas en la naturaleza siguen este patrón numérico."

"Muy interesante, pero ¿cómo se aplica a los árboles?" Sara preguntó.

Mientras las chicas investigan algunos árboles, es tu turno para aprender sobre los patrones. Kelly y Sara descubrirán los patrones en la naturaleza. Los patrones en la naturaleza son matemáticos, y hay muchos de ellos. En esta lección aprenderás todo sobre los patrones mientras exploras el pensamiento algebraico. Al final de la lección veremos lo que Kelly y Sara aprendieron sobre los patrones de la naturaleza.

Orientación

Vemos patrones alrededor de nosotros todos los días. Los vemos en balones de fútbol, telas, en la manera en que los diferentes jardines están diseñados, incluso nuestro día puede estar organizado en patrones. Reconocer patrones es algo básico para nosotros y se siente natural hacerlo.

En los primeros años de colegio aprendes a contar con $2s, 3s, 4s, 5s,$ etc. Esta manera de contar implica contar en patrones. De hecho, contar de esta manera es probablemente tan natural que ni siquiera te diste cuenta qué tan simple era cuando lo estabas haciendo.

Este capítulo trata sobre el pensamiento algebraico. Podríamos decir que el pensamiento algebraico se trata de aprender a pensar matemáticamente. Una de las claves del pensamiento algebraico viene de reconocer y entender patrones. A medida que vas aprendiendo matemáticas más avanzadas, los patrones se van a volver más y más útiles. Podemos investigar y trabajar para entender dos tipos de patrones: patrones numéricos y patrones geométricos..

Los patrones numéricos usan números y los patrones geométricos usan formas visuales y figuras, esta lección te enseñará ambos.

Empecemos con los patrones numéricos.

¿Qué es un patrón numérico?

Un patrón numérico es una secuencia de números que usa una formula o regla para generar la secuencia.

Se puede organizar los patrones numéricos en un par de maneras diferentes.

Cuando los números en un patrón crecen a medida que continúa la secuencia, se trata de un patrón creciente. .
Cuando los números en un patrón disminuyen a medida que continúa la secuencia, se trata de un patrón decreciente. .

Cada patrón tiene una secuencia que ha sido creada en base a una regla de patrón. Examinar la relación entre los números de un patrón puede ayudarnos a determinar la regla usada en el patrón. Las reglas de patrón pueden usar una o más operaciones matemáticas para describir una relación.

¡Buscar reglas de patrones es muy parecido a ser un detective! Tienes que usar tus habilidades detectivescas para descifrar la relación entre los números. Una vez que hayas entendido la relación entre los números, puede trabajar en expresar la relación en la forma de una regla.

Encuentra la regla del patrón en la siguiente secuencia: 243, 81, 27, 9.

De acuerdo detectives de las matemáticas, prepárense. Necesitamos descubrir cómo cada uno de estos números está relacionado a los otros. Hay una manera en la cual están relacionados, solo necesitamos descubrirla.

Primero, podemos echarle un vistazo a los números. Todos los números son raros y todos tienen un 9 como factor. Los números se vuelven más pequeños en valor a medida que continúa la secuencia, por lo tanto este es un patrón decreciente.

Piensen es esto. El patrón está decreciendo, los números se vuelven más pequeños. Necesitamos descubrir qué operación está involucrada en la regla del patrón.

¿Qué operaciones nos ayudan a hacer los números más pequeños?

La sustracción y la división nos ayudan a hacer los números más pequeños. Esto nos indica que la sustracción o la división están involucradas en la regla del patrón.

Ahora tenemos que pensar un poco más y encontrar la regla.

Empecemos por los números más pequeños.

¿Cuál es la relación entre 27 y 9?

Nueve es un factor de 27 porque $9 \times 3 = 27$ .

Pero estamos buscando división o sustracción aquí

Ya que $9 \times 3 = 27$ , es posible que $27 \div 3 = 9$

Una posible regla del patrón es $\div \ 3$ .

¿Cómo podemos probarlo para estar seguros de que esta es la regla correcta del patrón?

Para probarlo, tenemos que estar seguros de que funcione para todos los otros números del patrón. Miremos el patrón nuevamente.

$&243, 81, 27, 9\\\&243 \div 3 = 81\\\&81 \div 3 = 27\\\&27 \div 3 = 9$

¡El patrón funciona! Nuestra regla del patrón es $\div \ 3$ .

El patrón era un patrón decreciente. Ahora veamos un patrón creciente

Encuentra la regla del patrón en la siguiente secuencia: 1, 3, 11, 43.

Primero miremos los números. Todos los números son raros y este es un patrón creciente. Por lo tanto, adición y/o multiplicación multiplicación son las operaciones involucradas en la regla del patrón porque esa es la manera en que agrandamos los números en matemáticas.

Ahora comparemos el primer y segundo número.

¿Cuál es la relación entre 1 y 3?

$1 + 2 = 3$ , entonces +2 es una posible regla del patrón, pero el salto entre el segundo número (3) y el tercer número (11) es más grande que +2. Un salto tan grande indica que la multiplicación debe ser una de las operaciones en este patrón.

¿Cómo podemos descubrir cómo se usa la multiplicación en la regla del patrón?

Para hacerlo, miramos la relación entre el segundo y tercer número. El tercer número (11) está cerca de 9 y 12, ambos de los cuales tienen tiene relación con el segundo número (3), $3 \times 3 = 9$ y $3 \times 4 = 12$ . Esto significa que la regla del patrón puede ser $(\times \ 3 + 2)$ o $(\times \ 4 - 1)$ .

Cuando probamos ambas reglas con la lista, vemos que $\times \ 4 - 1$ es la regla de patrón correcta.

Ha llegado el momento de que hagas algunos por tu cuenta. Practica encontrando la regla de cada patrón.

Ejemplo A

5, 8, 11, 14

Solución: La regla del patrón es $+3$ .

Ejemplo B

20, 10, 5, 2.5

Solución: La regla del patrón es $\div 2$ .

Ejemplo C

4, 7, 13, 25, 49

Solución: La regla del patrón es $\times 2 - 1$ .

Ahora volvamos a los patrones que las chicas estaban mirando en la naturaleza.

Ahora que has aprendido todo sobre los patrones, es hora de volver al problema original de Kelly y Sara y sus patrones naturales. Vuelve a leer el problema y subraya cualquier información importante.

Uno de los libros habla todo sobre la naturaleza y sus características únicas. Uno de los capítulos del libro habla sobre los patrones en la naturaleza. Kelly está fascinada.

"Eso es genial," Sara le responde. "¿Crees que es cierto?"

"Podríamos ir a comprobarlo," sugirió Kelly.

Las chicas deciden investigarlo. En una hoja de papel, Kelly escribe el siguiente patrón.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13….

Cuando las chicas llegan al parque, se sientan frente a uno de los árboles. Kelly lee la siguiente información.

"Este patrón de la naturaleza se llama patrón Fibonacci por un matemático italiano. Él descubrió que muchas cosas en la naturaleza siguen este patrón numérico."

"Muy interesante, pero ¿cómo se aplica a los árboles?" Sara preguntó.

Acabas de terminar de aprender todo sobre los patrones. ¿Cuál es la regla del patrón numérico de Fibonacci que Sara y Kelly están usando?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

Si te fijas puedes ver que los dos números previos se suman para igualar al siguiente número. Ésta es la regla.

Vocabulario

Patrón: Una secuencia de números o figuras geométricas que se repite acorde a una unidad de patrón o una regla.

Pensamiento algebraico: Pensar de manera matemática.

Patrones numéricos.: Patrones de números que están organizados en una secuencia de acuerdo con una regla.

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta-.

3, 9, 27, ….

Respuesta

Primero, tenemos que averiguar qué está ocurriendo para cada número dado para crear el siguiente valor. Si miras puedes ver que cada valor está multiplicado por 3.

La regla del patrón es $\times 3$ .

La regla del patrón es .

Video de repaso

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Khan Academy Patterns in Sequences 1

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Khan Academy Patterns in Sequences 2

Práctica

Instrucciones: Encuentra las reglas del patrón para los siguientes patrones numéricos.1.

1. 1, 6, 21, 66

2. 95, 80, 65, 50

3. 3, 10, 17, 24

4. 256, 64, 16, 4

5. 3, 11, 43, 171

6. 81, 27, 9, 3

7. 4, 13, 40, 121

8. 1, 6, 31, 156

9. 3, 18, 108, 648

10. 100, 90, 80, 70

11. 2, 3, 5, 9

12. 45, 15, 5

13. 144, 70, 34, 16

14. 5, 35, 245, 1715

15. 900, 300, 100