Expresiones algebraicas con exponentes

Aquí aprenderás a evaluar potencias con bases variables.

¿Recuerdas el dilema de la carpa de los exponentes de números enteros?

Bueno, los excursionistas recibieron una carpa específica con dimensiones específicas. Les dieron una carpa Kelty Trail Dome 6.

¿Qué hubiera pasado si hubiese sido una carpa diferente? ¿Y si se hubieran usado muchas carpas diferentes?

Las medidas cuadradas del piso siempre tendrían un exponente 2, pero se necesitaría una variable porque se usarían diferentes tamaños de carpa.

Así es como escribiríamos esto.

$a^2$

En este caso, a es el largo de uno de los lados de la carpa cuadrada.

¿Y si se usara una carpa con un lado de 8 pies?

¿Y si se usara una carpa con un lado de 15 pies?

¿Cuáles serían las medidas cuadradas de cada carpa?

Esta Sección te enseñará cómo evaluar las potencias con bases variables. Presta atención y sabrás cómo trabajar con esto al final de la Sección.

Orientación

Cuando tratamos con números, a menudo es más fácil simplificar. Tiene más sentido tratar con un 16 que con un $4^2$ . La notación exponencial realmente sirve cuando tratamos con variables. Es más fácil escribir $y^{12}$ que escribir $yyyyyyyyyyyy$ .

Sí, y podemos simplificar usando forma exponencial y también podemos escribir la expresión variable usando la forma expandida.

Escribe lo siguiente en forma expandida: $x^5$

Para escribir esto, simplemente escribimos cada $x$ cinco veces.

$x^5=xxxxx$

Podemos hacerlo al revés tomando una expresión variable en forma expandida y escribiéndola en forma exponencial.

$aaaa$

Nuestra respuesta es $a^4$ .

¿Qué pasa cuando multiplicamos dos términos variables con exponentes?

Para hacer esto, debemos seguir unas pocas reglas.

$(m^3)(m^2)$

Lo primero a tomar en cuenta es que estos términos tienen la misma base. Ambas bases son m. A causa de esto, podemos simplificar la expresión fácilmente.

Escribámosla en forma expandida.

$mmm(mm)$

Aquí tenemos cinco $m$ ’s multiplicadas, nuestra respuesta es $m^5$ .

Aquí está la regla.

Apliquemos esta regla al siguiente ejemplo.

$(x^6)(x^3)$

Las bases son las mismas, así que agregamos los exponentes.

$x^{6+3}= x^9$

Esta es la respuesta.

También podemos tener un término exponencial elevado a una potencia. Cuando esto sucede, nuestro exponente está fuera del paréntesis. Esto significa algo diferente.

$(x^2)^3$

Pensemos en lo que significa esto. Significa que estamos multiplicando $x$ al cuadrado por sí mismo tres veces. Podemos escribir esto en forma expandida.

$(x^2)(x^2)(x^2)$

Ahora estamos multiplicando tres bases que son la misma y por lo tanto podemos usar la Regla 1 y agregar los exponentes.

Nuestra respuesta es $x^6$ .

Podríamos haber multiplicado los dos exponentes en un comienzo.

$(x^2)^3= x^{2(3)} =x^6$

Aquí está la Regla 2.

Simplifica $x^0$

Nuestra respuesta es $x^0 = 1$

Cualquier número elevado a 0 es igual a 1.

Ha llegado el momento de que hagas algunos por tu cuenta.

Ejemplo A

Escribe lo siguiente en forma exponencial: $aaaaaaa$

Solución: $a^7$

Ejemplo B

Simplifica: $(a^3)(a^8)$

Solución: $a^{11}$

Ejemplo C

Simplifica: $(x^4)^2$

Solución: $x^8$

¿Recuerdas el dilema de la carpa del principio de la Sección? Echémosle un vistazo nuevamente.

A los excursionistas se les entregó una carpa específica con dimensiones específicas. Recuerda, les dieron una Kelty Trail Dome 6.

¿Qué hubiera pasado si hubiese sido una carpa diferente? ¿Y si se hubieran usado muchas carpas diferentes?

Las medidas cuadradas del piso siempre tendrían un exponente 2, pero se necesitaría una variable porque se usarían diferentes tamaños de carpa.

Así es como escribiríamos esto.

$a^2$

En este caso, a es el largo de uno de los lados de la carpa cuadrada.

¿Y si se usara una carpa con un lado de 8 pies?

¿Y si se usara una carpa con un lado de 15 pies?

¿Cuáles serían las medidas cuadradas de cada carpa?

Aquí está nuestra solución.

$8^2 = 64$ pies cuadrados de la primera carpa.

$15^2 = 225$ pies cuadrados de la segunda carpa.

Vocabulario

Exponente: Un pequeño número que te dice cuántas veces hay que multiplicar la base por sí misma.

Base: El número grande en una expresión variable con un exponente.

Notación exponencial: Escribir multiplicaciones largas usando una base y un exponente.

Forma expandida: Tomar una base y un exponente y escribirlo como un largo problema de multiplicación.

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

Simplifica: $(x^6)(x^2)$

Respuesta

Cuando multiplicamos variables con exponentes, agregamos los exponentes.

Nuestra respuesta es $x^8$ .

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on evaluating powers with variable bases.

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Evalúa cada expresión.

1. $2^3$

2. $4^2$

3. $5^2$

4. $9^0$

5. $5^3$

6. $2^6$

7. $3^3$

8. $3^2+4^2$

9. $5^3+2^2$

10. $6^2+2^3$

11. $6^2-5^2$

12. $2^4-2^2$

13. $7^2+3^3+2^2$

Instrucciones: Simplifica las siguientes expresiones variables.

14. $(m^2)(m^5)$

15. $(x^3)(x^4)$

16. $(y^5 )(y^3)$

17. $(b^7 )(b^2)$

18. $(a^5 )(a^2)$

19. $(x^9 )(x^3)$

20. $(y^4 )(y^5)$

Instrucciones: Simplifica.

21. $(x^2 )^4$

22. $(y^5 )^3$

23. $(a^5 )^4$

24. $(x^2 )^8$

25. $(b^3 )^4$

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