Propiedad conmutativa de la adición con decimales
En esta sección aprenderás a identificar y aplicar las propiedades conmutativas y asociativas de la adición en operaciones decimales con expresiones numéricas y variables.
¿Alguna vez has entrenado para una carrera?
Travis tiene una rutina diaria de entrenamiento. El día lunes comienza su día corriendo 3,2 millas, seguido de una carrera de velocidad de 1,2 millas en la pista de la escuela. El martes comienza con la carrera de velocidad y luego corre 3,2 millas.
Sin contar el orden, ¿eran diferentes los entrenamientos?
¿Qué propiedad matemática representa?
En esta Sección identificarás las propiedades conmutativa y asociativa de la adición en operaciones decimales. Al final de ésta, sabrás qué propiedad está siendo ejemplificada en esta situación.
Orientación
Hemos trabajado con decimales anteriormente. Ahora necesitamos revisar la suma de decimales mediante las dos propiedades matemáticas que pertenecen a la adición: La propiedad conmutativa y la propiedad asociativa de la adición .
En los ejemplos que trabajamos con la suma de decimales utilizando el concepto de estimación por la izquierda, sumamos tres sumandos decimales según su orden de aparición.¿Qué pasaría si los sumáramos en un orden diferente? ¿Cambiaría la suma?
La propiedad conmutativa de la adición dice que el orden de los sumandos no altera la suma. .
Probemos las propiedades utilizando números enteros simples.
Como puedes ver, podemos sumar los tres sumandos (4, 5 y 9) en varios órdenes diferentes. La propiedad conmutativa de la adición funciona con cuatro, cinco, seis sumandos y también con sumandos decimales.
¿Qué pasa con la propiedad asociativa de la suma?
La propiedad asociativa de la suma dice que la forma en la que los sumandos están agrupados no altera la suma . En la propiedad asociativa, se utilizan paréntesis para ayudarnos a agrupar. Cuando se agregan paréntesis a un problema, según el orden de las operaciones, primero desarrollamos esos paréntesis.¿Qué sucede si mueves los paréntesis? Aquí es donde aparece la propiedad asociativa.
Probemos una vez más las propiedades utilizando números enteros simples.
Claramente, las diferentes formas en la que se agrupan los sumandos no tienen efecto en la suma. La propiedad asociativa de la adición funciona con varios sumandos como también con sumandos decimales.
Estas dos propiedades son extremadamente útiles para resolver ecuaciones.
Una
ecuación
ecuación es una afirmación matemática en la que hay una igualdad entre dos expresiones. Por ejemplo, podemos decir que
ya que el resultado a ambos lados de la ecuación es igual a 22.
Una
ecuación variable
es una ecuación como
. Se le llama ecuación variable porque incluye una incógnita algebraica o variable.
Encuentra el valor para
en la siguiente ecuación:
En este caso, podemos usar la propiedad conmutativa de la adición. Sabemos que un lado de la ecuación es igual al otro lado de ésta, por lo tanto, sólo sustituimos el valor dado por
ya que el segundo sumando no cambió.
Nuestra respuesta es que
es igual a 42,29.
Podemos usar la propiedad asociativa tanto como para las expresiones como para las ecuaciones. Miremos una expresión.
Encuentra el valor cuando
vale
2
e
vale
3.
Esta es una
expresión variable
. Debes notar que existen dos valores dados para
e
, pero que aquellos valores podrían ser cualquier número. La clave aquí está en que podamos mover los paréntesis para que las dos expresiones variables tengan el mismo valor. Podemos encontrar el valor de esta expresión sustituyendo 2 y 3 en la expresión.
El valor de esta expresión variable es 3.
¿Qué sucede si movemos los paréntesis?
Sustituimos los valores dados por
e
.
El valor de esta expresión es 3.
Debido a la propiedad asociativa, ambas expresiones variables tienen el mismo valor, independiente de como estén agrupadas.
Ahora te toca a ti identificar qué propiedad se está usando en los siguientes ejemplos.
Ejemplo A
Solución: Propiedad conmutativa de la adición.
Ejemplo B
Solución: Propiedad asociativa de la adición.
Ejemplo C
Verdadero o falso. Cuando utilizamos la propiedad asociativa, el orden de los números siempre cambia.
Solución: Falso, sólo la posición de los paréntesis cambia.
Aquí tenemos nuevamente el problema original.
Travis tiene una rutina diaria de entrenamiento. El día lunes comienza su día corriendo 3,2 millas, seguido de una carrera de velocidad de 1,2 millas en la pista de la escuela. El martes comienza con la carrera de velocidad y luego corre 3,2 millas.
Sin contar el orden, ¿eran diferentes los entrenamientos?
¿Qué propiedad matemática representa?
Cuando mires la agenda de entrenamiento de Travis, verás que los componentes son exactamente los mismos. Travis corre la misma distancia en la pista y fuera de ésta. El orden de los elementos sí cambió.
Lo anterior es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la adición.
Vocabulario
- Decimal
- parte de un entero representado por dígitos que están a la derecha de la coma.
- Estimar
- encontrar una solución aproximada a un problema.
- Redondeo
- un método para estimar en el que reescribes un número decimal o un entero según el valor posicional más cercano.
- Propiedad conmutativa de la adición.
- establece que el orden en el que sumas los números no altera la suma de dichos números.
- Propiedad asociativa de la adición.
- establece que la agrupación de sumandos no altera el resultado de la suma de éstos. se le ponen paréntesis a las agrupaciones.
Práctica guiada
Aquí tienes un ejercicio para que practiques.
La receta de Hassan para la sopa de papas ocupa 14,25 kilogramos de papas. En este momento tiene 6,12 kilogramos.¿Cuántos kilogramos de papas más necesita comprar?
Respuesta
En este problema, tenemos que encontrar el número de kilos de papas que Hassan necesita comprar.
Llamemos a ese valor
.
Sabemos cuántos kilos tiene y sabemos los kilos que necesita, por lo que podemos escribir la ecuación.
.
Ahora podemos encontrar el valor de
calculando mentalmente.
debe ser un valor que sumado con 6,15 sea igual a 14,25.
Comencemos con los números enteros.
; la parte entera de
es 8.
Ahora miremos los decimales.
. Las partes decimales son distintas tanto en las décimas como en las centésimas, pero si las consideramos como números enteros es más fácil ver su relación,
, así que
.
Si combinamos la parte entera de
y la parte decimal de
, obtenemos
. ¡Recuerda poner las unidades de medida en la respuesta!
La respuesta es 8,13 kilogramos.
Video de repaso
Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)
Khan Academy Video on Associative Law of Sumaition
*Este video solo se encuentra disponible en inglés
Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)
Khan Academy Video on Commutative Law of Sumaition
*Este video solo se encuentra disponible en inglésPráctica
Instrucciones: Identifica la propiedad que se está ejemplificando en cada oración numérica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Instrucciones:
Encuentra el valor de
en las siguientes ecuaciones.
9.
10.
11.
12.
Instrucciones: Resuelve cada problema.
13. Lamont está midiendo la cantidad de agua que bebe. Los resultados de cuatro días seguidos fueron los siguientes: 0,6 litros; 0,72 litros; 0,84 litros; 0,96 litros. Si el patrón se mantiene, ¿cuánta cantidad de agua beberá Lamont el quinto día?
14. Bárbara está comenzando una empresa de fabricación de joyas. En la tienda, ella gasta $19,19 en cuentas y $6,81 en alambre y broches. Si al salir de la tienda tenía $24,50 ¿cuánto dinero tenía al principio?
15. Un patio de juegos mide 18,36 yardas de largo y 12,24 yardas de ancho.¿Cuál es el perímetro del patio de juegos? (Recuerda
.)
