Propiedad conmutativa de la multiplicación con decimales

En esta sección aprenderás a identificar y aplicar las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación en operaciones con decimales utilizando expresiones numéricas y variables.

¿Alguna vez has hecho un viaje largo en auto?

Un día cuando estaban de visita, Marc y Kara salieron de paseo a Berkshires con sus abuelos. El auto que condujeron recorre 25 millas por galón y viajaron 160,5 millas. Viajaron la misma distancia de vuelta.

¿Cuántos galones de gas se necesitaban para el viaje?

¿Sabes cómo escribir esto como una expresión?

¿Puedes escribir una ecuación?

¿Puedes resolverlo?

En esta Sección utilizarás la propiedad conmutativa de la multiplicación en operaciones con decimales. Serás capaz de responder las preguntas al final de esta Sección.

Orientación

Anteriormente trabajamos en la multiplicación de decimales, ahora podemos aplicar dos propiedades matemáticas que rigen la multiplicación. .¿Recuerdas la Sección de la propiedad conmutativa de la adición con decimales? Bueno, ambas propiedades también están relacionadas con la multiplicación.

La propiedad Conmutativa de la multiplicación dice que el orden de los factores no altera el producto . La propiedad conmutativa de la multiplicación también funciona con cuatro, cinco, seis factores. También funciona con factores decimales. Probemos las propiedades utilizando números enteros simples.

$&2 \times 3 = 6 && 2 \times 3 \times 4 = 24 && 3 \times 2 \times 4 = 24 && 4 \times 3 \times 2 = 24\\\&3 \times 2 = 6 && 2 \times 4 \times 3 = 24 && 3 \times 4 \times 2 = 24 && 4 \times 2 \times 3 = 24$

Como puedes ver, cuando hay dos factores (2 y 3) y cuando hay tres factores (2, 3 y 4), el orden de los factores no altera la solución.

Mucha gente viaja a su trabajo diariamente. Si lo piensas, la propiedad conmutativa también se aplica aquí. No importa si las personas toman tren, metro, autobús o auto, el destino es el mismo. No importa cómo llegan a sus trabajos, el resultado no cambia.

¿Qué ocurre con la propiedad asociativa de la multiplicación?

De acuerdo con el orden de las operaciones, sabemos que las operaciones en paréntesis deben realizarse antes que cualquier otra operación, pero la propiedad asociativa de la multiplicación dice que la forma en que los factores son agrupados no altera el producto. La propiedad asociativa de la multiplicación funciona con varios sumandos como también con sumandos decimales. Probemos una vez más las propiedades utilizando números enteros simples.

$(2 \times 3) \times 4 = 24 && (2 \times 4) \times 3 = 24 && (3 \times 4) \times 2 = 24$

Esa es una buena pregunta. La podemos responder si pensamos en las expresiones y las ecuaciones. Hemos aprendido a cómo simplificar expresiones y cómo resolver las ecuaciones. Estas dos propiedades son extremadamente útiles para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

Recuerda que una expresión algebraica es una frase matemática que involucra letras, números y signos de operaciones. Una ecuación es una afirmación matemática en la que hay una igualdad entre dos expresiones.

Apliquemos lo anterior.

Simplifica $29.3(12.4x)$

Cuando simplificas una expresión, desarrollas todas las operaciones que puedas-sin saber el valor de la variable. Recuerda, la propiedad conmutativa de la multiplicación dice que no importa en qué orden se multiplican los factores y la propiedad asociativa de la multiplicación dice que la forma en la que se agrupan los factores no altera el producto. Entonces para simplificar estas expresiones, multiplicamos todos los decimales que podamos y ponemos la variable junto al producto.

Si simplificamos esta expresión, multiplicamos las partes del número y sumamos la variable al final.

Nuestra respuesta es $363.32x$ .

¡Debes notar que aquí estamos simplificando y no resolviendo!

Encuentra el valor para $x$ en la siguiente ecuación, $(0.3x) \times 0.4 = 0.144$

Lo primero que tienes que notar es que estamos resolviendo esta ecuación, no simplificándola. Luego, aplicamos las propiedades. La propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que podemos ignorar los paréntesis. La propiedad conmutativa de la multiplicación nos dice que no importa en qué orden multiplicamos. Así que comencemos por multiplicar $0.3 \times 0.4$ . Como siempre, ordenamos los números hacia la derecha e ignoramos la coma decimal hasta que tengamos nuestra respuesta.

$& \ \ \ 0.3\\\& \underline{\times \; 0.4\ }\\\& \ \ 0.12$

Debido a que cada uno de los factores tiene un decimal, nuestra respuesta tiene dos decimales. Añadimos un cero en los lugares de la unidad para que quede más claro dónde están los decimales.

Ahora que conocemos el producto de dos de los decimales a la izquierda de la ecuación, podemos escribir una ecuación más simple.

$0.12x = 0.144$ .

Sabemos que el signo igual indica que ambos lados de la ecuación tienen el mismo valor. Por lo que $x$ debe ser un factor que multiplicado por 0,12 sea igual a 0,144.

Resolvamos este problema haciendo los cálculos mentalmente.¿Reconoces algo de 0,12 y 0,144? $12 \times 12 = 144$ , así que $x$ debe ser alguna versión de 12. El producto (0,144) tiene tres decimales, así que debe tener un decimal ya que el otro factor (0,12) tiene dos decimales.

$x$ debe ser 1,2. Comprobémoslo.

$& \ \ \ 0.12\\\& \ \underline{\times \; 1.2 \ }\\\& \quad \ \ 24\\\& \underline{+ \; 120\ }\\\& \ 0.144$

$x = 1.2$

Nuestra respuesta es 1,2.

Utiliza las dos propiedades cuando simplifiques y resuelvas las variables faltantes.

Ejemplo A

Resuelve $4.5x (3) = 27$

Solución: $x = 2$

Ejemplo B

Simplifica $3.45y$ si $y = 2.3$

Solución: $7.935$

Ejemplo C

Resuelve $3.4x = 23.8$

Solución: $x = 7$

Aquí tenemos nuevamente el problema original.

¿Cuántos galones de gas se necesitaban para el viaje?

¿Sabes cómo escribir esto como una expresión?

¿Puedes escribir una ecuación?

¿Puedes resolverlo?

Primero escribamos una expresión para describir la situación.

Sabemos el número de millas por galón y sabemos que nuestra incógnita es el número de galones.

$25g$

Y sabemos cuántas millas viajaron. Esto ayuda a cambiar nuestra expresión por una ecuación.

$25g = 160.5$

Podemos resolverlo utilizando la propiedad inversa de la multiplicación. Dividimos 160,5 por 25. Esto nos dirá cuántos galones se necesitaban para el viaje.

$6.42$

Se ocuparon un poco menos de 6 y medio galones de gasolina para el viaje.

Vocabulario

Producto: la respuesta de una multiplicación.

Estimación: encontrar una respuesta aproximada redondeando o multiplicando los primeros dígitos.

Propiedad conmutativa de la multiplicación: dice que el orden en que se multiplican los factores no afecta al producto de éstos.

Propiedad asociativa de la multiplicación: dice que la forma en que se agrupan los factores no afecta al producto de éstos.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejercicio para que practiques.

Simplifica las siguientes expresiones.

$4.5(9.2)y$

Respuesta

Para simplificar esta expresión, primero podemos multiplicar los dos decimales.

$4.5(9.2) = 41.4$

Luego, sumamos la variable.

Nuestra respuesta es $41.4y$ .

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a video on the commutative law of multiplication.

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a video on the associative law of multiplication

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Simplifica las siguientes expresiones.

1. $(4.21 \times 8.8) \times p$

2. $16.14 \times q \times 6.2$

3. $3.6(91.7x)$

4. $5.3r(2.8)$

5. $5.6x(3.8)$

6. $2.4y(2.8)$

7. $6.7x(3.1)$

8. $8.91r(2.3)$

9. $5.67y(2.8)$

10. $4.53x(2.2)$

11. $5.6(2.8x)$

12. $9.2y(3.2)$

13. $4.5x(2.3)$

14. $15.4x(12.8)$

15. $18.3y(14.2)$

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