División para resolver ecuaciones con decimales

En esta sección aprenderás a identificar y aplicar la propiedad inversa de la multiplicación en operaciones decimales con expresiones numéricas y variables.

¿Alguna vez has practicado salto con garrocha?

El salto con garrocha es una prueba de atletismo en la que un estudiante usa una pértiga para saltar por sobre una barra transversal. El estudiante cae en una gran colchoneta ubicada debajo de la barra. Cada parte del salto con garrocha es muy específica. La altura de la barra es específica. El largo de la pértiga es específico y también las dimensiones de la colchoneta son específicas.

El equipo de atletismo de la Escuela Secundaria Harrison recibe una visita especial después de la práctica. Jody, un atleta que práctica el salto con garrocha en una escuela cercana los visitó para compartir sus experiencias con los estudiantes. Trajo algunas fotos suyas en diferentes eventos y se tomó mucho tiempo en responder las preguntas de los alumnos.

"Incluso la colchoneta tiene medidas específicas", explicó Jody. "Se mide el largo, el ancho y el peso de la colchoneta para asegurar que ésta tiene el volumen preciso". La colchoneta que estamos usando tiene un volumen de 9009 pies cúbicos. El largo de la colchoneta es 16,5 pies y el ancho es 21 pies".

Justin y Kara escuchaban atentamente la explicación de Jody acerca de la prueba del salto con garrocha. Justin, quien adora los números, comenzó a anotar las dimensiones de la colchoneta en un papel.

9009 pies cúbicos

16,5 pies de largo

21 pies de ancho

Justin sabe que le falta la altura de la colchoneta.

"¿Cuál es la altura de la colchoneta?" Justin le preguntó a Kara mostrándole sus apuntes.

"¿A quién le importa?" Kara susurró mirando hacia Jody.

"A mí", dijo Justin dándose la vuelta.

Justin comenzó a hacer el cálculo. Pero no recuerda cómo hacer la ecuación y la división.

Este es el momento en el que tú apareces. Presta atención a esta Sección. Al final de ésta, deberás ayudar a Justin con su problema.

Orientación

A veces la división es llamada el inverso u opuesto de la multiplicación. Esto significa que la división "deshace" la multiplicación.

$5 \times 6 &= 30\\\30 \div 6 &= 5$

¿Ves cómo funciona? Puedes multiplicar dos factores para obtener un producto. Luego, cuando divides el producto por un factor, obtienes el otro factor.

La propiedad inversa de la multiplicación se aplica para cada número $x, x\left (\frac{1}{x} \right )= 1$ .

En otras palabras, cuando multiplicas $x$ con su opuesto , $\frac{1}{x}$ (también conocido como inverso multiplicativo ), el resultado es uno.

Pongamos los números enteros en la posición de $x$ para que la propiedad quede clara: $3 \times \left ( \frac{1}{3} \right ) = \frac{3}{3} = 1$ . La propiedad inversa de la multiplicación puede parecer obvia, pero tiene implicaciones importantes para nuestra habilidad de solucionar ecuaciones variables que no se pueden resolver fácilmente utilizando sólo cálculos mentales-tales como las ecuaciones variables que involucran decimales.

¿Cómo se aplica esto a nuestro trabajo con las ecuaciones?

Con las ecuaciones, las dos expresiones a cada lado del signo igual deben estar en igualdad siempre. La propiedad inversa de la multiplicación permite multiplicar o dividir el mismo número en ambos lados de la ecuación sin cambiar la solución de la ecuación. A esta técnica se le llama operación inversa y nos permite tener la variable $x$ sola en un lado de la ecuación de forma que podamos encontrar su valor. Observa cómo se hace.

$5x & = 15\\\\frac{5x}{5} &= \frac{15}{5} \rightarrow \text{inverse operation } = \text{divide} \ 5 \ \text{from both sides}\\\x &= 3$

¿Recuerdas que dijimos que la división puede "deshacer" la multiplicación? Bueno, esta es una situación donde ha ocurrido eso.

Debes notar cómo, en el lado izquierdo de la ecuación, $\frac{5}{5} = 1$ , si dejamos la $x$ sola en el lado izquierdo. Nosotros lo hacemos instintivamente. Una vez que has trabajado con ecuaciones, es algo natural que cuando divides un número por sí mismo la respuesta sea 1 y que la variable se encuentre en ése lado de la igualdad. Después de un tiempo, ni siquiera pensamos en eso, pero aun así es importante señalarlo.

Resuelve $2.7x = 3.78$

Necesitamos encontrar el valor de $x$ , que cuando es multiplicado por 2,7 resulta 3,78. Comencemos por usar las operaciones inversas para dejar la $x$ sola al lado izquierdo de la ecuación.

$2.7x & = 3.78\\\\frac{2.7}{2.7} x&= \frac{3.78}{2.7} \rightarrow \text{Inverse Operations} = \text{divide both sides by} \ 2.7$

Ahora, para encontrar el valor de $x$ , completamos la división de decimales. Primero multiplicamos por diez y movemos los decimales según corresponda. $2.7 \rightarrow 27$ y $3.78 \rightarrow 37.8$

$& \overset{ \quad \ \ 1.4}{27 \overline{ ) {37.8 \;}}}\\\& \quad \ \underline{27\;\;}\\\& \qquad 108\\\& \quad \underline{- \; 108}\\\& \qquad \quad 0$

Nuestra respuesta es 1,4.

Utiliza la operación inversa para resolver cada problema.

Ejemplo A

$2.3x = 5.06$

Solución: $2.2$

Ejemplo B

$1.6x= 5.76$

Solución: $3.6$

Ejemplo C

$4.7x = 10.81$

Solución: $2.3$

Aquí tenemos nuevamente el problema original.

9009 pies cúbicos

16,5 pies de largo

21 pies de ancho

Justin sabe que le falta la altura de la colchoneta.

"¿Cuál es la altura de la colchoneta?" Justin le preguntó a Kara mostrándole sus apuntes.

"¿A quién le importa?" Kara susurró mirando hacia Jody.

"A mí, vale la pena saber algunas cosas", dijo Justin mientras se alejaba.

Justin comenzó a hacer el cálculo. Pero no recuerda cómo hacer la ecuación y la división.

Para resolver este problema de altura, necesitamos recordar que la fórmula del volumen es largo por ancho por alto. Justin tiene el volumen, el alto y el ancho. Le falta la altura. Justin puede escribir la siguiente fórmula.

$V &= lwh\\\9009 & = 16.5 \times 21 \times h$

Luego, multiplicamos $16.5 \times 21$ para comenzar nuestra ecuación.

$16.5 \times 21 = 346.5$

Podemos escribir esta ecuación.

$9009 = 346.5h$

Ahora dividimos 9009 por 346,5.

$h = 26 \ feet$

La altura de la colchoneta es igual a 26 pies.

Vocabulario

Divisor: el número que se encuentra fuera de la caja de la división. es el número que está dividiendo.

Dividendo: es el número que está siendo dividido. el número que se encuentra dentro de la caja de la división.

Cociente: la respuesta de una división.

Estimación: redondear o dividir los primero dígitos para encontrar una respuesta aproximada.

Inverso: el opuesto

Propiedad inversa de la multiplicación: cuando se multiplica un valor con su opuesto, la respuesta es uno.

Operación inversa: la operación opuesta. la operación opuesta de la división es la multiplicación.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejercicio para que practiques.

Divide.

$4.5x = 12.6$

Respuesta

Para resolver este problema, simplemente dividimos 12,6 por 4,5.

$2.8$

Esta es nuestra respuesta.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a video on the inverse property of multiplication.

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas utilizando lo que has aprendido acerca de la división de decimales y de las ecuaciones. Escribe la ecuación cuando sea necesario.

1. Resuelve $3.7x = 7.77$

2. Resuelve $3.1x = 10.23$

3. Resuelve $7.2x = 29.52$

4. Resuelve $2.7x = 11.34$

5. Resuelve $1.2x = 6.72$

6. Resuelve $11x = 27.5$

7. Resuelve $6.7x = 42.21$

8. Resuelve $8.2x = 51.66$

9. Resuelve $1.9x = 12.92$

10. Resuelve $5.7x = 54.72$

11. Resuelve $.55x = .31955$

12. Resuelve $9.8x = 114.66$

13. En una semana de práctica de atletismo, Rose corrió 3,12 veces más que Jamie. Si Rose corrió 17,16 kilómetros, ¿cuántos kilómetros corrió Jamie? Escribe la ecuación y resuelve.

14. El jardín de Ling tiene un área de $23.12 \ m^2$ y un ancho de 3,4 metros.¿Cuál es el largo del jardín de Ling? Escribe la ecuación y resuelve.

15. Un aeroplano viaja 6,5 veces más rápido que un auto. Si el aeroplano viaja a 627,51 kilómetros por hora, ¿qué tan rápido es el auto? Escribe la ecuación y resuelve.

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