Fracciones equivalentes

En esta sección aprenderás a identificar fracciones propias equivalentes, números mixtos y fracciones impropias.

¿Alguna vez ha habido una venta de alimentos en tu colegio? Puede ser una gran manera de recaudar fondos. Échale un vistazo a este dilema.

La clase de séptimo año está en una venta de comida para juntar dinero para proyectos y viajes. Madison ha decidido hornear sus galletas favoritas para la venta. Le encantan las galletas linzer rellenas con mermelada.

"¿Qué estás haciendo?" le pregunta su hermano Kyle al entrar a la cocina.

"Estoy haciendo galletas para la venta de comida", explicó Madison mientras sacaba la harina y las tazas medidoras.

"¿Puedo ayudar?" Pregunta Kyle.

"Seguro, necesitamos $2 \frac{1}{2}$ tazas de harina". Aquí está la taza de medir de $\frac{1}{2}$ , pero no puedo encontrar la de 1 taza. Pero no importa porque puedo medir cinco $\frac{1}{2}$ tazas llenas de harina y serán $2 \frac{1}{2}$ tazas", le explicó a Kyle.

"También puedes usar la taza de $\frac{1}{3}$ y llenarla 8 veces", dijo Kyle con la taza de $\frac{1}{3}$ en sus manos.

"No lo creo", dijo Madison. "Creo que es demasiada harina".

"No lo es", sostuvo Kyle.

¿Quién está en lo correcto? Para saber si $2 \frac{1}{2}$ tazas de harina es igual a ocho $\frac{1}{3}$ tazas de harina, necesitarás entender cómo comparar y reconocer fracciones equivalentes. Presta atención durante esta Sección y al final sabrás quién está en lo correcto y quién necesita volver a pensar sus cálculos.

Orientación

Esta Sección trata sobre las fracciones. Para comprender las fracciones, tendrás que pensar en los números enteros también. Sin los números enteros es imposible entender las fracciones porque una fracción es parte de un entero.

Números enteros son números como 1, 8, 56, y 278, números que no tienen partes fraccionarias. No todos los números son enteros.

Una Fracción describe una parte de un número entero. Seguramente estás familiarizado con las fracciones gracias a la cocina de todos los días. Considera una receta que pide $\frac{1}{2}$ taza de chispas de chocolate. Sabes que $\frac{1}{2}$ taza representa la mitad de una taza.

$\frac{3}{4} \ or \ \frac{3}{4}$

Una fracción tiene ciertas partes. ¿Cuáles son esas partes?

El número escrito debajo de la barra en una fracción es el denominador , el cual nos dice en cuántas partes se divide el entero. El numerador es el número sobre la barra en una fracción, que nos indica cuántas partes del entero tenemos. En la receta que pide $\frac{1}{2}$ taza, el denominador es 2, por lo que sabemos que una taza entera está dividida en dos partes. El numerador es 1, entonces sabemos que necesitamos 1 de 2 partes de la taza entera. Observa que la fracción puede escribirse en verticalmente con un número sobre otro o usando una barra oblicua. Con una barra oblicua, el primer número es el número de arriba y el número de abajo es el segundo número.

Un entero puede dividirse en un número infinito de partes. Se puede dividir una taza de harina en tercios, sextos, décimos, y así sucesivamente. A las fracciones que describen la misma parte de un entero se les llama fracciones equivalentes. Recuerda que la palabra equivalente significa igual. Por ejemplo, si mides $\frac{2}{4}$ de taza de harina, $\frac{3}{6}$ de taza de harina o $\frac{1}{2}$ de taza de harina, tendrás la misma cantidad de harina.

Por lo tanto $\frac{2}{4}, \frac{3}{6}$ y $\frac{1}{2}$ son todas fracciones equivalentes.

Cuando nos dan una fracción podemos crear una fracción que es su equivalente. A esto le llamamos hacer fracciones iguales o hacer fracciones equivalentes.

¿Cómo hacemos fracciones equivalentes?

La primera forma es simplificar la fracción para hacer una más pequeña.

Para simplificar una fracción podemos reducir el número en el numerador y denominador al dividirlos por el mismo número. Por ejemplo, $\frac{4}{8}$ se puede reescribir como $\frac{1}{2}$ dividiendo el numerador y el denominador por 4. Nótese que no todas las fracciones se pueden reescribir con división. Si el único número por el que el numerador y denominador se pueden dividir es 1, entonces la fracción está en su forma más simple.

Simplifica $\frac{6}{18}$

Para simplificar esta fracción buscamos un número por el cual podamos dividir el numerador y el denominador. En este caso, el número es 6. Al 6 lo llamamos el Máximo Común Divisor (MCD) del numerador y el denominador. Para simplificar, dividimos el numerador y el denominador por 6.

$\frac{6 \div 6}{18 \div 6}= \frac{1}{3}$

La respuesta es $\frac{1}{3}$ .

La segunda forma es por multiplicación. Podemos crear una fracción equivalente multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. No importa que número elijas, mientras los números sean los mismos.

Crea una fracción equivalente para $\frac{7}{8}$ .

Para hacer esto, necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. Elijamos el 2.

$\frac{7 \times 2}{8 \times 2}= \frac{14}{16}$

La respuesta es $\frac{14}{16}$ .

Escribe cuatro fracciones equivalentes para $\frac{8}{12}$ .

Primero, veamos si podemos reducir los números en el numerador y denominador. ¿Hay números por los que se puedan dividir 8 y 12? 8 y 12 son ambos divisibles por 2 y 4. Entonces, la fracción $\frac{8}{12}$ no está en su forma más simple.

$\frac{8}{12} &= \frac{8 \div 2}{12 \div 2}=\frac{4}{6}\\\\frac{8}{12} &= \frac{8 \div 4}{12 \div 4}=\frac{2}{3}$

Cuando dividimos el numerador y el denominador por 2, obtenemos $\frac{4}{6}$ como una fracción equivalente. Cuando dividimos el numerador y el denominador por 4, obtenemos $\frac{2}{3}$ como una fracción equivalente.

Para encontrar más fracciones equivalentes podemos multiplicar el numerador y el denominador de $\frac{8}{12}$ por cualquier número. Multipliquemos por 3. Obtenemos $\frac{24}{36}$ como una fracción equivalente a $\frac{8}{12}$ . Si multiplicamos el numerador y el denominador por 5, obtenemos $\frac{40}{60}$ como una fracción equivalente a $\frac{8}{12}$ .

$\frac{8}{12} &= \frac{8 \times 3}{12 \times 3}=\frac{24}{36}\\\\frac{8}{12} &= \frac{8 \times 5}{12 \times 5}=\frac{40}{60}$

La respuesta es $\frac{2}{3}, \frac{4}{6}, \frac{24}{36}, \frac{40}{60}$ .

¡¡Nótese que crear fracciones equivalentes en este ejemplo involucró tanto simplificación como multiplicación!!

También hay otros tipos de fracciones.

A veces cuando trabajamos con fracciones usas números que tienen un número entero y una fracción. A esto se le conoce como número mixto . Por ejemplo, si una receta pide más de una taza de harina pero menos de dos tazas de harina, necesitas usar un número mixto para describir exactamente cuánta harina necesitas. Un número mixto se escribe como un entero con una fracción a la derecha. Algunos números mixtos comunes incluyen: $1 \frac{1}{2}$ o $2 \frac{2}{3}$ .

Cuando el numerador de una fracción es más grande o igual al denominador, tienes una fracción impropia . Las fracciones impropias son mayores o iguales a 1.

$\frac{2}{2}, \frac{3}{3}$ , y $\frac{10}{10}$ son todas fracciones impropias iguales a 1.

¿Por qué pasa esto? Bueno, para entender esto, tienes que pensar en lo que significan el numerador y el denominador. El denominador es en cuántas partes se divide el entero. El numerador es cuántas de esas partes tienes. Si tienes dos de dos partes, tienes el entero.

$\frac{5}{2}, \frac{8}{3}$ , y $\frac{11}{4}$ son todas fracciones mayores a 1. A éstas se les conoce como fracciones impropias.

Los números mixtos y las fracciones impropias pueden ser equivalentes o iguales entre sí.

Las fracciones impropias se pueden escribir como números mixtos dividiendo el numerador y denominador y manteniendo el resto como el numerador. Los números mixtos se pueden reescribir como fracciones impropias multiplicando el número entero en el número mixto por el denominador y sumando el producto al numerador.

$\frac{9}{2}=4 \frac{1}{2}$

Estas dos cantidades son iguales. La fracción impropia es igual al número mixto.

Escribe $3 \frac{2}{3}$ como una fracción impropia.

Recuerda, para escribir un número mixto como fracción impropia primero multiplicamos el entero (3) por el denominador de la fracción, $3 \times 3 = 9$ . Luego, sumamos este número al numerador de la fracción, $9 + 2 = 11$ . Ponemos este nuevo número sobre el denominador original y tenemos nuestra fracción impropia.

Nuestra respuesta es que $3 \frac{2}{3}$ se puede escribir como la fracción impropia $\frac{11}{3}$ .

Practica trabajando con fracciones equivalentes.

Ejemplo A

Simplifica $\frac{10}{12}$

Solución: $\frac{5}{6}$

Ejemplo B

Crea una fracción equivalente para $\frac{5}{6}$

Solución: $\frac{10}{12}$

Ejemplo C

Escribe $\frac{15}{2}$ como número mixto

Solución: $7 \frac{1}{2}$

Aquí está el problema original una vez más.

"¿Qué estás haciendo?" le pregunta su hermano Kyle al entrar a la cocina.

"Estoy haciendo galletas para la venta de comida", explica Madison mientras saca la harina y las tazas medidoras.

"¿Puedo ayudar?" Pregunta Kyle.

Seguro, necesitamos $2 \frac{1}{2}$ tazas de harina. Aquí está la taza de medir de $\frac{1}{2}$ pero no puedo encontrar la de 1 taza. Pero no importa porque puedo medir cinco $\frac{1}{2}$ tazas llenas de harina y serán $2 \frac{1}{2}$ tazas", le explicó a Kyle.

"También puedes usar la taza de $\frac{1}{3}$ y llenarla 8 veces", dijo Kyle con la taza de $\frac{1}{3}$ en sus manos.

"No lo creo", dijo Madison. "Creo que es demasiada harina".

"No lo es", sostuvo Kyle.

Para resolver este problema necesitamos comparar las mediciones de Kyle y Madison.

La medición de Madison es $2 \frac{1}{2}$ .

La medición de Kyle es 8 tazas y un tercio, que es $\frac{8}{3}$ .

Luego, comparemos las dos cantidades. Kyle piensa que su medición es igual a la de Madison. Para ver si está en lo correcto, convertimos la fracción impropia en un número mixto. Eso hará que nuestra comparación sea mucho más fácil.

$\frac{8}{3}=2 \frac{2}{3}$

Ahora comparamos $2 \frac{1}{2} < 2 \frac{2}{3}$ .

Madison está en lo correcto. ¡Si usa la técnica de medición de Kyle tendrá demasiada harina! Kyle tiene que recordar que dos tercios es más grande que un medio.

Puedes revisar esto tomando las fracciones de cada uno y reescribiéndolas con un denominador común.

$\frac{1}{2} &= \frac{3}{6}\\\ \frac{2}{3} &= \frac{4}{6}$

Puedes ver que dos tercios es más grande que un medio.

Vocabulario

Número entero: un número que se puede contar, como 5, 7, 10, o 22.

Fracción: una parte de un entero.

Numerador: el número superior en una fracción.

Denominador: el número inferior en una fracción. Indica en cuántas partes se divide el entero.

Fracciones equivalentes: fracciones iguales.

Equivalente: igual

Simplificar: hacer que una fracción sea más pequeña

Número mixto: un número entero con una fracción

Fracción impropia: cuando el numerador de una fracción es mayor que el denominador

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

Escribe $\frac{7}{3}$ como número mixto.

Respuesta

Para escribir una fracción impropia como número mixto dividimos el numerador por el denominador. $7 \div 3 = 2R1$ . Para finalizar, escribimos el número resultante sobre el denominador original y escribimos el número entero como parte del cociente a la izquierda de esta nueva fracción.

Nuestra respuesta es que $\frac{7}{3}$ se puede escribir como el número mixto $2 \frac{1}{3}$ .

Video de Repaso

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on fractions.

Práctica

1. Escribe cuatro fracciones equivalentes para $\frac{6}{8}$ .

Instrucciones : Escribe los siguientes números mixtos como fracciones impropias

2. $2 \frac{5}{8}$

3. $3 \frac{2}{5}$

4. $1 \frac{1}{7}$

5. $5 \frac{4}{9}$

Instrucciones : Escribe las siguientes fracciones impropias como números mixtos.

6. $\frac{29}{28}$

7. $\frac{12}{5}$

8. $\frac{9}{2}$

9. $\frac{17}{8}$

10. $\frac{22}{3}$

Instrucciones : Escribe tres fracciones equivalentes para cada una de las siguientes fracciones.

11. $\frac{2}{3}$

12. $\frac{12}{28}$

13. $\frac{3}{4}$

14. $\frac{9}{10}$

15. $\frac{7}{8}$