Comparación de fracciones y números mixtos

En esta sección aprenderás a comparar y ordenar fracciones y números mixtos.

¿Alguna vez has tenido que organizar la comida para una venta? Bueno, esta es la tarea que asumió Tracy.

Tracy ha organizado toda la comida que han cocinado los estudiantes. Tiene bizcochos, pasteles, algunas tortas y muchas galletas. Sam horneó $8 \frac{9}{12}$ lotes de galletas. Kelly horneó $8 \frac{6}{12}$ lotes de galletas.

¿Quién horneó más galletas?

Para resolver esto, tendrás que saber cómo comparar y ordenar fracciones y números mixtos. Presta atención en esta Sección y volverás a ver este problema al final de ésta.

Orientación

Anteriormente trabajamos con fracciones y aproximación, puedes comparar y ordenar fracciones fácilmente usando esta técnica. Al saber la referencia puedes determinar qué fracciones son más grandes o pequeñas que otras. Esta es la mejor forma de aproximar fracciones al comparar y ordenarlas.

A veces, sin embargo, no siempre puedes confiar en la técnica de aproximación al comparar y ordenar fracciones. Esto es verdad cuando dos fracciones tienen la misma referencia, o cuando tienen diferentes denominadores. Para ser exactos cuando comparamos y ordenamos fracciones, tenemos que encontrar un denominador común para todas las fracciones. Entonces, comparar u ordenar fracciones mirando el valor del numerador. Esto nos dará una comparación exacta.

Usa aproximación para ordenar $\frac{7}{8}$ , $\frac{2}{5}, 3 \frac{5}{8}, \frac{1}{29}$ y $\frac{29}{30}$ de mayor a menor.

Empezamos por tener una idea aproximada del valor de cada una de las fracciones en el grupo comparando cada fracción con las referencias comunes 0, $\frac{1}{2}$ y 1.

Ya que el número 7, el cual es el numerador en la fracción $\frac{7}{8}$ es muy cercano en valor al denominador (8), decimos que $\frac{7}{8}$ es aproximadamente 1.

En la fracción, $\frac{2}{5}$ , el numerador es aproximadamente $\frac{1}{2}$ del denominador. Entonces, decimos que $\frac{2}{5}$ es aproximadamente $\frac{1}{2}$ .

El número $3 \frac{5}{8}$ es el único número mixto en el grupo, entones podemos ver inmediatamente que este número es más grande que todos los otros números en el grupo porque es más grande que 1.

En la fracción, $\frac{1}{29}$ , el denominador es mucho más grande que el numerador, entonces $\frac{1}{29}$ está más cerca a la referencia 0.

El numerador 29 en la fracción $\frac{29}{30}$ es cercano en valor al denominador, 30, entonces $\frac{29}{30}$ es aproximadamente 1.

Ahora que tenemos los valores aproximados de cada fracción en el grupo, escribimos la fracción en un orden preliminar de mayor a menor con las referencias en paréntesis: $3 \frac{5}{8} \left(3 \frac{1}{2} \right), \frac{7}{8} (1), \frac{29}{30} (1), \frac{2}{5} \left(\frac{1}{2}\right), \frac{1}{29} (0)$ .

Esta técnica de aproximación ayuda con la mayoría de las fracciones en el grupo, pero hay dos fracciones que son cercanas a 1. Sabemos que ambas $\frac{7}{8}$ y $\frac{29}{30}$ son menores a 1, pero ¿cuál de las dos fracciones es más cercana a 1? Una forma útil de determinar qué fracción es más cercana a 1 es dibujar dos líneas numéricas entre 0 y 1, ordenadas de tal forma que una línea de números está sobre la otra. Divide la línea numérica superior en ocho partes iguales (octavos) y la inferior en trece partes iguales (treceavos).

En esta ilustración es fácil ver que $\frac{29}{30}$ es más cercana a 1 que $\frac{7}{8}$ y es por lo tanto mayor que $\frac{7}{8}$ .

La respuesta es $3 \frac{5}{8}, \frac{29}{30}, \frac{7}{8}, \frac{2}{5}, \frac{1}{29}$ .

Aquí hay otro ejemplo.

Compara $\frac{2}{3}$ y $\frac{5}{7}$ . Escribe >, < o =.

A simple vista, es difícil comparar las dos fracciones porque tienen diferentes denominadores. Recuerda que el primer paso al comparar fracciones es encontrar el denominador común. Miremos los dos denominadores. A veces el denominador mayor es un múltiplo del denominador menor. Por ejemplo, si comparamos las fracciones $\frac{2}{3}$ y $\frac{5}{7}$ , podríamos ver que el denominador en $\frac{5}{7}$ , es un múltiplo de 3, que es el denominador de $\frac{2}{3}$ . Esto hace más fácil encontrar un denominador común.

En este problema, 7 no es un múltiplo de 3. El mínimo común denominador en este ejemplo solo puede ser el producto de los dos denominadores $(3 \times 7 = 21)$ . Para encontrar una fracción equivalente a $\frac{2}{3}$ con un denominador 21, multiplicamos el numerador y el denominador de $\frac{2}{3}$ por 7. Obtenemos una fracción equivalente para $\frac{14}{21}$ . Para encontrar una fracción equivalente a $\frac{5}{7}$ con un denominador 21, multiplicamos el numerador y el denominador de $\frac{5}{7}$ por 3. Obtenemos una fracción equivalente para $\frac{15}{21}$ .

$\frac{2}{3} \times \frac{7}{7}=\frac{14}{21}\\\\frac{5}{7} \times \frac{3}{3}=\frac{15}{21}$

Ahora que tenemos un denominador común entre las dos fracciones, podemos simplemente comparar los numeradores.

La respuesta es que $\frac{2}{3} < \frac{5}{7}$ .

Compara usando <, > o =

Ejemplo A

$\frac{1}{3}$ y $\frac{5}{6}$

Solución: <

Ejemplo B

$\frac{2}{9}$ y $\frac{7}{11}$

Solución: <

Ejemplo C

$\frac{8}{9}$ y $\frac{3}{4}$

Solución: >

¿Recuerdas la venta de comida? Aquí está el problema original una vez más.

¿Quién horneó más galletas?

Para saber quién horneó más galletas, escribamos un problema para comparar los dos números mixtos.

$8 \frac{9}{12}$ _____ $8 \frac{6}{12}$

Las fracciones de estos números mixtos tienen un denominador común. Ya que hornear galletas implica docenas, Sam y Kelly escribieron las fracciones en doceavos. Por lo tanto, podemos comparar los numeradores.

$9 > 6$

$8 \frac{9}{12}$ > $8 \frac{6}{12}$

Sam horneó más galletas que Kelly.

Ésta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Fracción: una parte de un entero.

Numerador: el número superior en una fracción.

Denominador: el número inferior en una fracción. Indica en cuántas partes se divide el entero.

Número mixto: un número entero con una fracción

Fracción impropia: cuando el numerador de una fracción es mayor que el denominador

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

En el concurso de salto largo, Peter saltó $5 \frac{3}{8}$ pies, Sharon saltó $6 \frac{3}{5}$ pies y Juan saltó $6 \frac{2}{7}$ pies. Ordena sus distancias de salto de mayor a menor.

Respuesta

El problema nos pide ordenar las distancias de salto de mayor a menor. Tenemos tres números mixtos, entonces deberíamos mirar primero el número entero de los números mixtos para ver si podemos comparar las distancias de salto.

Peter saltó más de 5 pies, pero menos de 6 pies. Sharon saltó más de 6 pies, pero menos de 7 pies. Juan también saltó más de 6 pies, pero menos de 7 pies.

Al simplemente comparar los números enteros, podemos ver que Peter saltó la distancia más corta porque saltó menos de 6 pies. Ya que Sharon y Juan saltaron ambos entre 6 y 7 pies, necesitamos comparar las partes fraccionarias de sus saltos. Sharon saltó $\frac{3}{5}$ de un pie más que 6 pies y Juan saltó $\frac{2}{7}$ de un pie más que 6 pies. Para comparar estas dos fracciones tenemos que encontrar un denominador común. El mínimo común denominador de estas dos fracciones es 35. Obtenemos una fracción equivalente a $\frac{21}{35}$ para $\frac{3}{5}$ cuando multiplicamos el numerador y el denominador por 7. Obtenemos una fracción equivalente a $\frac{10}{35}$ para $\frac{2}{7}$ cuando multiplicamos el numerador y el denominador por 5. Ahora podemos ordenar las distancias.

La respuesta es Sharon $6 \frac{3}{5} \ ft$ , Juan $6 \frac{2}{7} \ ft$ , Peter $5 \frac{3}{8} \ ft$ .

Video de Repaso

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a Khan Academy video on comparing fractions.

Práctica

Instrucciones : Compara cada par de fracciones de números mixtos. Escribe >, < o =.

1. $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$ .

2. $\frac{2}{6}$ y $\frac{1}{6}$ .

3. $\frac{4}{5}$ y $\frac{3}{5}$ .

4. $\frac{2}{15}$ y $\frac{13}{15}$ .

5. $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{7}$ .

6. $\frac{1}{5}$ y $\frac{1}{7}$ .

7. $\frac{12}{15}$ y $\frac{13}{30}$ .

8. $\frac{4}{5}$ y $\frac{7}{9}$ .

9. $\frac{3}{8}$ y $\frac{4}{7}$ .

10. $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{6}$ .

Instrucciones : Escribe cada grupo en orden de menor a mayor.

11. $\frac{5}{6},\frac{1}{3},\frac{4}{9}$

12. $\frac{6}{7},\frac{1}{4},\frac{2}{3}$

13. $\frac{6}{6},\frac{4}{5},\frac{2}{3}$

14. $\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3}$

15. $\frac{2}{7},\frac{1}{4},\frac{3}{6}$

16. $\frac{1}{6},\frac{2}{9},\frac{2}{5}$

Instrucciones : Resuelve estos dos problemas.

17. Brantley está cocinando un suflé de espárragos que necesita $3 \frac{3}{7}$ tazas de queso, $3 \frac{2}{3}$ tazas de espárragos y $2 \frac{2}{5}$ tazas de perejil. Ordena la cantidad de ingredientes usada de mayor a menor usando aproximación.

18. Geraldine pondrá una mesa de pool en su sala de estar. Quiere poner la mesa en frente a la pared más grande de la sala. La pared $A$ mide $12 \frac{4}{9}$ pies y la pared $B$ mide $12 \frac{2}{5}$ pies. ¿Frente a qué pared pondrá la mesa de pool Geraldine?

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