Propiedad conmutativa de la adición de fracciones

En esta sección aprenderás a aplicar las propiedades conmutativas y asociativas de la suma en operaciones de fracciones con expresiones numéricas y variables.

¿Alguna vez has combinado los ingredientes para hacer una torta? A veces el orden es importante al agregar los ingredientes, pero a menudo si mantienes los ingredientes secos separados de los líquidos no hace diferencia en el producto final.

Sammi está horneando una torta. Empieza combinando los ingredientes secos. Añade $\frac{1}{2}$ de taza de harina blanca y entonces vuelve a leer la receta para ver que necesita otras $2 \frac{1}{4}$ tazas de harina blanca. La masa se ve pegajosa, por lo que añade un poco de harina de trigo. Es solo un poco para emparejar la receta.

¿Puedes escribir una expresión para mostrar cómo Sammi añadió la harina? ¿Puedes simplificarla?

Esta Sección te mostrará cómo usar la propiedad conmutativa de la adición en operaciones con fracciones. Al terminar esta sección serás capaz de escribir una expresión y simplificarla.

Orientación

Ahora que sabemos lo básico de sumar fracciones, podemos usar dos propiedades matemáticas de adición para ayudarnos a resolver problemas más complicados.

La propiedad conmutativa de la adición afirma que el orden de los sumandos no afecta la suma. Probemos esta propiedad usando números enteros simples.

$& 4 + 5 + 9 = 18 && 5 + 4 + 9 = 18 && 9 + 5 + 4 = 18\\\& 4 + 9 + 5 = 18 && 5 + 9 + 4 = 18 && 9 + 4 + 5 = 18$

Como puedes ver, podemos añadir los tres sumandos (4, 5 y 9) en muchos órdenes diferentes. La propiedad conmutativa de la adición también funciona para cuatro, cinco, y seis sumandos.

También funciona con sumandos que son fracciones. Esto significa que el orden en que sumas fracciones no afecta la suma de éstas.

Los paréntesis son símbolos de grupo usados en matemáticas para indicarnos qué operaciones hacer primero. El orden de operaciones nos dice que las operaciones en paréntesis deben completarse antes de cualquier otra operación. La propiedad asociativa de la adición afirma que la forma en que se agrupan los sumandos no afecta la suma. Una vez más, probemos esta propiedad usando números enteros simples.

$& (4 + 5) + 9 = 18 && (5 + 4) + 9 = 18 && (9 + 5) + 4 = 18$

Claramente, las diferentes maneras en que se agrupan los sumandos no afecta la suma. La propiedad asociativa de la adición funciona para múltiples sumandos como también para sumandos que son fracciones.

¿Cómo usamos estas propiedades cuando sumamos fracciones?

Estas dos propiedades son extremadamente útiles cuando sumamos fracciones. Si estás sumando tres fracciones y dos de esas fracciones tienen denominadores similares, puedes sumar esas dos fracciones y entonces encontrar un denominador común para la tercera. Esto puede ahorrarnos mucho tiempo.

Cuando estás trabajando con expresiones variables o con expresiones que tienen una incógnita algebraica (como $x$ ) puedes usar las propiedades conmutativa y asociativa de la adición para simplificar la expresión.

Simplifica las siguientes expresiones variables usando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición.

$3 \frac{2}{3} + x + \frac{1}{3}$

Simplificar significa hacer más pequeño. Vamos a simplificar esta expresión. Usamos la propiedad conmutativa de la adición para hacer esto.

Esa es una muy buena pregunta. Si lo piensas, ya que no importa en qué orden sumas las fracciones, puedes sumar el número mixto y la fracción e ignorar la $x$ . Esto te ayudará a simplificar la expresión. Sumemos estos dos números.

$3 \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=4$

Un tercio más dos tercios es tres tercios, lo que es igual a un entero. Sumamos uno más el número entero tres y obtenemos cuatro.

Nuestra expresión simplificada es $4 + x$ .

$\frac{3}{10} + \left(\frac{1}{4} + x\right)$

Para simplificar esta expresión, vamos a usar la propiedad asociativa de la adición. La clave está en el paréntesis en esta expresión.

Esa es una buena pregunta. Usamos esa propiedad porque podemos cambiar los grupos. Por el orden de operaciones sabes que las operaciones dentro del paréntesis se hacen primero. Bueno, no puedes completar esta operación en el símbolo de grupo porque no sabes qué es $x$ . Pero si cambias el grupo, puedes simplificar la expresión.

$\left(\frac{3}{10} + \frac{1}{4}\right) + x$

Ahora sumamos tres décimos y un cuarto.

$\frac{3}{10} &= \frac{6}{20}\\\ \frac{1}{4} &= \frac{5}{20}\\\ \frac{6}{20}+\frac{5}{20} &= \frac{11}{20}$

Nuestra respuesta es $\frac{11}{20}+x$ .

Simplifica cada expresión usando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición. Asegúrate de que tus respuestas estén en la forma más simple.

Ejemplo A

$\frac{2}{3}+ y+ \frac{1}{5}$

Solución: $\frac{13}{15}+y$

Ejemplo B

$\frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}+ x\right)$

Solución: $1 + x$

Ejemplo C

$x+ \frac{4}{9}+\frac{2}{9}$

Solución: $x + \frac{2}{3}$

Aquí está el problema original una vez más.

¿Puedes escribir una expresión para mostrar cómo Sammi añadió la harina? ¿Puedes simplificarla?

Escribamos una expresión que incluya las dos fracciones y el pequeño entero de harina de maíz, el cual es x porque la medida no está clara.

$\frac{1}{2}+2 \frac{1}{4} + x$

Luego, simplificamos sumando las fracciones.

$2 \frac{3}{4} + x$

Ésta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Fracción: una parte de un entero

Propiedad conmutativa de la adición: afirma que el orden en que suman los valores no cambia la suma de los valores.

Propiedad asociativa de la adición: la manera en que agrupas los números no cambia la suma de los números siendo sumados.

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

Simplifica: Asegúrate de que tu respuesta esté en la forma más simple.

$\frac{3}{7} + y + \frac{2}{7}$

Respuesta

Para simplificar esto, usando la propiedad conmutativa, sumamos las fracciones.

$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Ahora ponemos la variable en la expresión final.

$y + \frac{5}{7}$

Ésta es nuestra respuesta.

Video de Repaso

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Éste es un video de James Sousa sobre cómo sumar y restar fracciones. Es un video de apoyo para esta Sección.

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Video de la academia Khan sobre la ley asociativa de la adición.

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Video de la academia Khan sobre la ley conmutativa de la adición.

Práctica

Instrucciones: Suma.

1. $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{7}$

2. $\frac{1}{4}+ 3 \frac{5}{8} + 4 \frac{3}{4}$

3. $\frac{2}{9} + \left(\frac{1}{3} + \frac{5}{9}\right)$

4. $\left(2 \frac{7}{8} + \frac{2}{3}\right) + 1 \frac{1}{8}$

Instrucciones: Simplifica la expresión usando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición.

5. $x + 3 \frac{2}{3} + 5 \frac{1}{6}$

6. $\frac{1}{4} + x + \frac{5}{8}$

7. $\left(\frac{1}{9} + x\right) + \frac{2}{9}$

8. $2 \frac{1}{14} + \left(x + 3 \frac{5}{7}\right)$

9. $3 \frac{1}{4} + \left(x + 1 \frac{2}{3}\right)$

10. $2 \frac{1}{10} + \left(x + 3 \frac{1}{3}\right)$

11. $4 \frac{1}{2} + \left(x + 2 \frac{1}{6}\right)$

12. $3 \frac{1}{9} + \left(x + 2 \frac{2}{18}\right)$

Instrucciones : Escribe una expresión o una ecuación para cada situación y luego resuélvela. Hay dos partes en cada problema.

13. Un tercio de los CD en la colección de Joseph son de música clásica. Dos séptimos son de hip-hop. ¿Qué fracción de la colección de Joseph es música clásica y hip-hop?

14. Naira está cocinando estofado de carne. Primero, mezcla $3 \frac{1}{5}$ tazas de carne picada con $1 \frac{1}{2}$ tazas de agua. Para su salsa especial, usa otra $1 \frac{3}{8}$ taza de carne picada. ¿Cuánta carne picada usará Naira en su receta?

15. Jennifer está tratando de determinar si el escuadrón de porristas tiene suficiente cinta para la reunión del viernes. Kurt contribuye con $9 \frac{1}{6}$ pies de cinta dorada. Estelle contribuye con $\frac{3}{4}$ pies de cinta roja. Aaron trae $5 \frac{2}{7}$ pies de cinta dorada en el último minuto. ¿Cuánta cinta tiene el escuadrón de porristas?

16. Marcus y Anita están tratando de completar un proyecto. Terminaron $\frac{1}{4}$ del proyecto el sábado. Hicieron otros cuatro séptimos del proyecto el martes. Si el proyecto debe estar listo el jueves, escribe una expresión algebraica que muestre qué parte del proyecto tienen que completar, cuánto habían hecho hasta el sábado, cuánto habían hecho hasta el martes y cuánto necesitan hacer el miércoles.

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