Propiedad inversa de la adición en ecuaciones con fracciones

En esta sección aprenderás a identificar y aplicar la propiedad inversa de la adición en operaciones con fracciones.

¿Alguna vez has preparado la corteza para un pastel?

Scott hizo la corteza para un pastel de durazno. No pudo encontrar la receta. así que decidió trabajar con los recuerdos que tenía de la última vez que cocinó un pastel con su mamá. Añadió $\frac{3}{4}$ de taza de harina, pero la masa estaba muy pegajosa como para trabajar con ella. Después de haber añadido más harina se dio cuenta de que había usado $1 \frac{3}{4}$ tazas de harina.

Dada esta información, ¿puedes escribir una ecuación que muestra cómo Scott añadió la harina?

¿Puedes resolverla usando una operación inversa?

Esta Sección te enseñará exactamente cómo hacer esto.

Orientación

¿Recuerdas el problema de la Sección de estimación de sustracción de números mixtos y fracciones en el que Teri estaba cocinando el pastel de arándanos?

Imagina que la receta pida $3 \frac{3}{4}$ tazas de arándanos. Buscas en el refrigerador y encuentras $1 \frac{1}{2}$ tazas de arándanos. Necesitas ir a un negocio para comprar el resto de los arándanos que necesitas para la receta. Éste es el problema que ahora vas a resolver.

Consideremos la información que conoces y la información que no conoces. Lo que sabes: la cantidad de arándanos necesarios para la receta es $= 3 \frac{3}{4}$ tazas; la cantidad de arándanos en tu refrigerador es $= 1 \frac{1}{2}$ tazas. No sabes la cantidad de arándanos que necesitas comprar. Llamemos esta cantidad $x$ , ya que es una incógnita. Si escribiéramos una ecuación para mostrar la relación entre estas cantidades, se vería como esto.

arándanos en el refrigerador + arándanos por comprar = arándanos necesarios para la receta

Cuando insertas los valores (numéricos y desconocidos) en la ecuación, se ve de la siguiente manera.

$1 \frac{1}{2} + x = 3 \frac{3}{4}$

Así es como podemos escribir una ecuación para resolver un problema real.

¿Cómo resolvemos esta ecuación y averiguamos los valores de la variable?

Podemos usar la propiedad inversa de la adición para ayudarnos a resolver ecuaciones.

La propiedad inversa de la adición afirma que la suma de un número y su opuesto es igual a 0. Probemos esta propiedad.

$5 + (-5) = 0$

Incluso si no puedes recordar cómo trabajar con números negativos, aún puedes entender esto y encontrarle sentido. Tenemos cinco y sumamos quitándole cinco. Bueno, la respuesta es 0.

¿Qué tiene que ver esto con resolver ecuaciones?

Bueno, para resolver una ecuación necesitamos tener la variable sola a un lado de la igualdad. En el ejemplo anterior, la $x$ está en un lado con un entero y un medio. Tenemos que mover el un entero y un medio al otro lado de la igualdad. Podemos hacer esto usando la propiedad inversa de la adición. Para aislar la $x$ tenemos que tener cero en el mismo lado de la ecuación. Aquí está cómo usamos la propiedad inversa de la adición.

$1 \ \frac{1}{2} + x &= 3 \ \frac{3}{4}\\\ \left(-1 \ \frac{1}{2}\right)+1 \ \frac{1}{2} + x &= 3 \ \frac{3}{4}-1 \frac{1}{2}\\\0+x &= 3 \ \frac{3}{4}-1 \ \frac{1}{2}\\\x &= 3 \ \frac{3}{4}-1 \ \frac{1}{2}$

Ahora podemos simplemente restar los números mixtos. Primero, necesitamos cambiar cada fracción por cuartos. Tenemos tres y tres cuartos. Convertimos uno y un medio en uno y dos cuartos.

Nuestra respuesta es $2 \frac{1}{4}$ .

Resuelve cada ecuación usando la propiedad inversa de adición. Asegúrate de que tu respuesta está en la forma más simple.

Ejemplo A

$\frac{1}{7}+x=\frac{5}{7}$

Solución: $\frac{4}{7}$

Ejemplo B

$\frac{4}{6}+ y= \frac{5}{6}$

Solución: $\frac{1}{6}$

Ejemplo C

$y + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

Solución: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Aquí está el problema original una vez más.

Scott hizo la corteza para un pastel de durazno. No pudo encontrar la receta, así que decidió trabajar con los recuerdos que tenía de la última vez que cocinó un pastel con su mamá. Añadió $\frac{3}{4}$ de taza de harina, pero la masa estaba muy pegajosa como para trabajar con ella. Después de haber añadido más harina se dio cuenta de que había usado $1 \frac{3}{4}$ tazas de harina.

Dada esta información, ¿puedes escribir una ecuación que muestra cómo Scott añadió la harina?

¿Puedes resolverla usando una operación inversa?

Para escribir esta ecuación usamos las fracciones del dilema.

$\frac{3}{4} + x = 1 \frac{3}{4}$

Nótese que usamos una variable para una cantidad desconocida de harina que Scott añadió. Tenemos la cantidad total de harina al final de la ecuación.

Ahora podemos usar una operación inversa y resolver.

$x = 1 \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 1$

$x = 1$

Scott añadió una taza de harina a los tres cuartos con que empezó.

Vocabulario

Mínimo común denominador: cuando dos fracciones tienen denominadores diferentes, usamos el mínimo común denominador para renombrar cada fracción con ese número común. El mínimo común denominador es también el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Fracciones equivalentes: fracciones iguales

Fracción impropias: cuando el numerador de la fracción es mayor al denominador

Estimación: encontrar una respuesta aproximada.

Propiedad inversa de la adición: cuando sumas un número y su inverso, la respuesta es cero.

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

$x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$

Respuesta

Primero, tenemos que escribir una ecuación que muestre cómo podemos resolver esta ecuación con una operación inversa.

$x = \frac{5}{6} - \frac{2}{3}$

Ahora tenemos que reescribir estas fracciones con un denominador común.

$x = \frac{5}{6} - \frac{4}{6}$

$x = \frac{1}{6}$

Esa es nuestra respuesta.

Video de Repaso

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Éste es un video de la academia Khan sobre la propiedad inversa de la adición.

Práctica

Instrucciones: Resuelve para $x$ .

1. $x + \frac{2}{5} = \frac{5}{5}$

2. $x + \frac{2}{8} = \frac{6}{8}$

3. $x + \frac{3}{9}= \frac{4}{9}$

4. $x + \frac{5}{7} = \frac{6}{7}$

5. $x + \frac{10}{12} = \frac{11}{12}$

6. $x + \frac{3}{15} = \frac{10}{15}$

7. $x + \frac{9}{13} = \frac{12}{13}$

8. $x + \frac{6}{14} = \frac{12}{14}$

9. $x + \frac{1}{5} = \frac{6}{10}$

10. $x + \frac{1}{2} = \frac{11}{12}$

11. $x - 1 \frac{1}{2} = 4$

12. $2 \frac{1}{4} + x = 3 \frac{3}{4}$

13. $x - \frac{7}{8} = 2 \frac{3}{4}$

14. Ludmilla, Brent y Rudy tienen $8 \frac{5}{6}$ pies de caramelos masticables que tienen que vender para juntar dinero para el club de actuación. Brent ya ha vendido $3 \frac{2}{3}$ pies del caramelo y Rudy planea vender exactamente $2 \frac{3}{4}$ pies. ¿Cuánto caramelo tiene que vender Ludmilla, si venden todo el caramelo?

15. Ron, Jung-Ho y Sarah tienen un negocio de cortar césped. Hoy cortarán un césped enorme. Sarah acuerda empezar y cortará $\frac{3}{8}$ del césped. Ron cortará solo $\frac{1}{7}$ del césped, pero está dispuesto a trabajar durante la hora más calurosa del día. ¿Cuánto césped tiene que cortar Jung-Ho?

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