Productos de números mixtos

En esta sección aprenderás a multiplicar fracciones y números mixtos.

¿Recuerdas la venta de comida de la Sección de la propiedad inversa de la adición en ecuaciones con fracciones? Échale un vistazo a este dilema.

Hay 24 estudiantes en la sala de séptimo grado de la señorita Carroll. De los 24 estudiantes, tres cuartos de ellos cocinaron para participar en la venta de comida. Los otros estudiantes ayudaron con letreros y vendiendo los productos. Algunos otros trajeron cajas de juego para vender.

De los tres cuartos que cocinaron, un medio de ellos horneó galletas. Michelle está tratando de registrar lo que hizo cada uno para la venta. Ha creado una lista y está escribiendo cuál ha sido la participación de cada estudiante.

Aquí es donde tiene dudas. Michelle quiere saber tres cosas diferentes. Cuántos estudiantes cocinaron, cuántos hornearon galletas, y qué fracción de la clase horneó galletas.

Para saber estas cosas, Michelle necesitará saber cómo multiplicar fracciones. En esta Sección aprenderás todo sobre la multiplicación de fracciones.

Orientación

Anteriormente trabajamos con cómo sumar y restas fracciones, pero cuando tienes una fracción y quieres saber una parte de esa fracción, tienes que multiplicar. Recuerda, una fracción es una parte de un entero. A veces es difícil saber cuándo multiplicar fracciones cuando enfrentas un problema de la vida real. Primero, aprendamos cómo multiplicar fracciones y entonces veremos cómo aplicar esto a problemas del mundo real.

Multiplicar fracciones es un proceso que siempre tiene al menos dos pasos.

Primero, alineas dos fracciones una al lado de la otra, entonces estás listo para empezar a multiplicar.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}$

Nótese que usamos un punto para mostrar que estamos multiplicando.

Multiplicarás dos veces. Primero, multiplicamos los numeradores y escribimos el producto de los numeradores sobre la barra de fracción. Luego multiplicamos los denominadores y escribimos ese producto debajo de la barra de fracción. No tienes que encontrar un denominador común. Sin embargo, tienes que reducir tu respuesta a la forma más simple. Normalmente pensamos en la multiplicación como incrementar , pero no te sorprendas si obtienes un producto menor a uno de los factores que estás multiplicando.

Intentemos esto.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}=\frac{1 \times 4}{2 \times 5}=\frac{4}{10}$

Ahora tenemos una fracción llamada $\frac{4}{10}$ . ¿Qué sigue?

Así es, no lo está. Podemos simplificar la fracción cuatro décimos, pero dividiendo los números de arriba y abajo por el máximo común divisor. El máximo común divisor de cuatro y diez es dos. Dividimos el numerador y el denominador por dos.

$\frac{4}{10}=\frac{4 \div 2}{10 \div 2}=\frac{2}{5}$

Nuestra respuesta final es $\frac{2}{5}$ .

¿Y qué pasa con una fracción y un entero?

Cuando multiplicas una fracción y un número entero, tenemos que convertir el entero en una fracción. Entonces puedes multiplicar cruzado tal como lo harías normalmente con dos fracciones y simplificar tu respuesta si es posible.

$5 \cdot \frac{1}{2}= \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}=2 \frac{1}{2}$

¿Cómo multiplicamos números mixtos?

Ya que los números mixtos involucran partes y enteros, multiplicar números mixtos requiere un paso adicional. ¿Recuerdas las fracciones impropias? Es esencial que conviertas los números mixtos en fracciones impropias antes de multiplicar. Una vez que tienes los números mixtos en la forma de fracción impropia, multiplica los numeradores y luego los denominadores. Si tienes una fracción impropia como producto puedes volver a convertirla en número mixto para escribir tu respuesta final.

$3 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{3}$

Primero, convertimos en fracción impropia.

$3 \frac{1}{2} &= \frac{7}{2}\\\ 2 \frac{1}{3} &= \frac{7}{3}$

Luego, multiplicamos las dos fracciones impropias.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{3}=\frac{49}{6}$

Ahora podemos convertir esta fracción impropia en un número mixto.

$\frac{49}{6}=8 \frac{1}{6}$

Nuestra respuesta final es $8 \frac{1}{6}$ .

A veces, cuando multiplicas fracciones o números mixtos, puedes terminar con números muy grandes. Cuando esto sucede, puedes simplificar ANTES de multiplicar. Luego simplificas en diagonal usando el máximo común divisor de los números en las diagonales.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{18}{30}$

Si miramos los números en las diagonales podemos ver que hay un máximo común divisor en ambos lados. El máximo común divisor de dos y treinta es 2. Podemos dividir ambos números por dos para simplificarlos. El máximo común divisor de 9 y 18 es 9. Podemos dividir ambos números por 9. Ahora simplificamos en diagonal.

$\xcancel{\frac{2}{9} \cdot \frac{18}{30}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{15}$

Ahora podemos multiplicar cruzado para nuestra respuesta final.

La respuesta es $\frac{2}{15}$

Multiplica. Asegúrate de que tu respuesta está en la forma más simple.

Ejemplo A

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}$

Solución: $\frac{5}{18}$

Ejemplo B

$\frac{18}{20} \cdot \frac{4}{9}$

Solución: $\frac{2}{5}$

Ejemplo C

$2 \frac{1}{5} \cdot 3 \frac{1}{2}$

Solución: $7 \frac{7}{10}$

Aquí está el problema original una vez más.

Aquí es donde tiene dudas. Michelle quiere saber tres cosas diferentes. Cuántos estudiantes cocinaron, cuántos hornearon galletas, y qué fracción de la clase horneó galletas.

Primero, averiguamos cuántos estudiantes cocinaron para la venta de comida. Necesitamos saber cuánto es tres cuartos de 24. Escribamos esto como un problema de multiplicación.

$\frac{3}{4} \cdot 24=\frac{3}{4} \cdot \frac{24}{1}$

Luego, podemos simplificar en diagonal antes de multiplicar. Podemos simplificar cuatro y veinticuatro dividiendo por cuatro.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{6}{1}=18$

18 estudiantes de 24 cocinaron para la venta de comida.

Luego, queremos saber cuántos estudiantes de entre los tres cuartos hornearon galletas. Queremos saber cuánto es un medio de 18. Podemos escribir esto como un problema de multiplicación.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{18}{1}=\frac{18}{2}=9$

Nueve estudiantes hornearon galletas.

La pregunta final de Michelle es cuántos estudiantes hornearon galletas. Aquí está nuestro problema de multiplicación.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$

Tres octavos de los estudiantes hornearon galletas.

Vocabulario

Fracción: una parte de un entero.

Máximo común divisor: el número más grande por el que se puede dividir tanto el numerador como el denominador.

Número mixto: un número entero y una fracción

Fracción impropia: una fracción en la cual el numerador es mayor al denominador.

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

Dierdre afirma que le toma solamente $6 \frac{3}{4}$ horas terminar su tarea cada noche. Carlos piensa que puede terminar su tarea en $\frac{2}{3}$ de ese tiempo. ¿Cuánto piensa Carlos que le tomará terminar su tarea?

Respuesta

Queremos saber la cantidad de tiempo que Carlos piensa que necesita para terminar su tarea.

¿Cuál es la relación entre esta cantidad de tiempo y la cantidad de tiempo que Dierdre demora en terminar su tarea? Si decimos que $D =$ al tiempo que demora Dierdre en terminar su tarea, entonces diríamos que la cantidad de tiempo que le toma a Carlos hacer su tarea es $\frac{2}{3} \cdot D$ . Es un simple problema de multiplicación. Resolvemos $6 \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}$ .

Convertimos todos los números mixtos en fracciones impropias, $6 \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$ . $\frac{27}{4} \cdot \frac{2}{3} = 4 \frac{1}{2}$ .

Carlos piensa que puede hacer su tarea en $4 \frac{1}{2}$ horas.

Video de Repaso

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Éste es un video de James Sousa sobre cómo multiplicar fracciones y simplificar productos.

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Éste es un video de James Sousa sobre cómo multiplicar números mixtos.

Práctica

Instrucciones: Multiplica.

1. $\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7}$

2. $\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3}$

3. $\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{12}$

4. $\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{3}$

5. $\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{2}{3}$

6. $2 \frac{5}{7} \cdot 1 \frac{1}{5}$

7. $2 \frac{3}{10} \cdot 2 \frac{1}{4}$

8. $7 \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{11}$

9. $4 \frac{5}{8} \cdot 2$

10. $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{6}$

11. $3 \frac{5}{6} \cdot 1 \frac{2}{3}$

12. $\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{12}$

Instrucciones: Multiplica.

13. $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{7}$

14. $\frac{1}{3} \cdot 1 \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}$

15. $\left(\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8}\right) \cdot \frac{3}{7}$

16. $\frac{10}{12} \cdot \left(3 \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{10}\right)$

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