Propiedad conmutativa con productos de fracciones

En esta sección aprenderás a identificar y aplicar las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación en operaciones con fracciones con expresiones variables y numéricas.

Volvamos a la venta de comida. ¿Alguna vez has preparado una cacerola?

Richard está cocinando $2 \frac{1}{2}$ cacerolas para la venta de comida. Victoria piensa que no habrá suficiente comida. Ella piensa que él debería cocinar al menos $6 \frac{7}{8}$ veces esta cantidad.

¿Cuántas cacerolas piensa Victoria que tiene que cocinar Richard?

Para resolver esto necesitarás escribir una ecuación y resolverla. ¿Importa el orden de las fracciones en esta ecuación?

¿Por qué o por qué no?

Esta Sección te enseñará las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Podrás resolver este dilema al final de la Sección.

Orientación

Anteriormente trabajamos con las propiedades conmutativa y asociativa de la adición . Saber cómo funciona el mecanismo de la adición nos ayudó a resolver problemas más complicados de adición que involucran fracciones. Las propiedades de la multiplicación son muy parecidas a las propiedades de la multiplicación. En esta lección, vamos a descubrir cómo usar la propiedad conmutativa de la multiplicación y la propiedad asociativa de la multiplicación. .

La propiedad conmutativa de la multiplicación afirma que el orden de los factores no cambia el producto. Probemos esta propiedad usando números enteros simples.

$& 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 && 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6 && 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6\\\& 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 && 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 && 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$

Como puedes ver, podemos multiplicar los diferentes factores (1, 2 y 3) en muchos órdenes diferentes. La propiedad conmutativa de la multiplicación también funciona para cuatro, cinco o seis factores. También funciona con sumandos que son fracciones.

La propiedad asociativa de la multiplicación afirma que la manera en que se agrupan los factores no cambia el producto. Nótese que usamos paréntesis como el signo de grupos tal como lo hicimos con la adición. Una vez más, probemos esta propiedad usando números enteros simples.

$& (1 \cdot 3) \cdot 2 = 6 && (2 \cdot 3) \cdot 1 = 6 && (2 \cdot 1) \cdot 3 = 6$

Claramente, las diferentes maneras en que se agrupan los factores no tienen efecto en el producto final. La propiedad asociativa de la multiplicación funciona para múltiples factores así como también para factores fraccionarios.

Estas dos propiedades son extremadamente útiles al multiplicar fracciones. Si estás multiplicando tres fracciones y dos de esas fracciones contienen factores que puedes cancelar, puedes multiplicar esas dos fracciones y tener una nueva fracción en forma simple, luego simplemente multiplica tu nueva fracción más simple con la tercera fracción.

$\frac{6}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{18}$

Aquí lo más fácil de hacer es simplificar la primera y la tercera fracción. Podemos reordenar la fracción gracias a la propiedad conmutativa para hacer que nuestro trabajo sea más simple.

$\frac{6}{8} \cdot \frac{16}{18} \cdot \frac{1}{2}$

Ahora podemos simplificar las diagonales de las primeras dos fracciones.

6 y 18 tienen un máximo común divisor de 6.

8 y 16 tienen un máximo común divisor de 8.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Ahora multiplicamos cruzado.

$\frac{2}{6}$

Finalmente simplificamos.

Nuestra respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

¿Notaste que podríamos haber simplificado los 2 en la diagonal?

¿Cómo aplicamos esto a expresiones variables?

Cuando estás trabajando con expresiones variables o expresiones que contienen una incógnita algebraica (como $x$ ) puedes usar las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación para simplificar la expresión. Veamos cómo funciona.

$\frac{2}{3} \cdot x \cdot \frac{7}{8}$

Podemos usar la propiedad conmutativa de la multiplicación para juntar las fracciones. Entonces podemos encontrar el producto de las dos fracciones y luego habremos simplificado la expresión. Nótese que no podemos resolver la expresión porque no sabemos el valor de $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{8} \cdot x$

Podemos simplificar el dos y el ocho en las diagonales antes de multiplicar.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{4} \cdot x$

Nuestra expresión simplificada es $\frac{7}{12} \cdot x$ .

Este es un caso en que la propiedad asociativa es muy útil.

$\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{5}$

Aquí podemos mover el símbolo de grupo o el paréntesis para incluir las dos fracciones. Luego podemos multiplicar las dos fracciones y eso nos dará nuestra expresión simplificada. Nótese que no podemos resolver esto porque no sabemos el valor de la variable.

$x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}\right)$

Nuestra expresión simplificada es $x \cdot \frac{3}{10}$ .

Usa la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa para simplificar cada expresión.

Ejemplo A

$\left(x \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{2}$

Solución: $\frac{2}{5}x$

Ejemplo B

$\frac{6}{7} \cdot x \cdot \frac{1}{3}$

Solución: $\frac{2}{7}x$

Ejemplo C

Resuelve este problema. Asegúrate de que tu respuesta esté en la forma más simple.

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{9}$

Solución: $\frac{8}{27}$

Aquí está el problema original una vez más.

¿Cuántas cacerolas piensa Victoria que tiene que cocinar Richard?

Para resolver esto necesitarás escribir una ecuación y resolverla. ¿Importa el orden de las fracciones en esta ecuación?

¿Por qué o por qué no?

Primero, escribamos una ecuación para resolver el problema. Queremos saber el producto de los dos valores, entonces vamos a multiplicar.

$2 \frac{1}{2} \times 6 \frac{7}{8} = x$

¿Importa el orden de los valores?

Por la propiedad conmutativa de la multiplicación, el orden en que escribimos los valores no importa.

Ahora podemos resolverlo.

Primero, cambia cada número mixto por una fracción impropia y reescribe el problema.

$\frac{5}{2} \times \frac{55}{8}$

Ahora multiplicamos.

$\frac{275}{16}$

Luego, dividimos para obtener un número mixto.

$17 \frac{3}{16}$ cacerolas

Ésta es nuestra respuesta final.

Vocabulario

Fracción: una parte de un entero.

Número mixto: un número entero y una fracción

Expresión variable: una expresión que usa números, operaciones y variables.

Propiedad conmutativa de la multiplicación: el orden en que multiplicas números no afecta el producto.

Propiedad asociativa de la multiplicación: el orden en que se agrupan los números no afecta el producto de ellos.

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

Resuelve y simplifica.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{7}$

Respuesta

Para resolver este problema vamos a multiplicar estas tres fracciones juntas. Si primero simplificamos cruzado terminamos con el siguiente problema.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{7}$

Ahora multiplicamos cruzado.

$\frac{3}{7}$

Ésta es nuestra respuesta.

Video de Repaso

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Éste es un video sobre la ley conmutativa de la multiplicación.

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Éste es un video sobre la ley asociativa de la multiplicación.

Práctica

Instrucciones: Multiplica.

1. $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{7}$

2. $\frac{1}{3} \cdot 1 \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}$

3. $\left(\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8}\right) \cdot \frac{3}{7}$

4. $\frac{10}{12} \cdot \left(3 \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{10}\right)$

5. $\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{18} \cdot \frac{6}{7}$

6. $\frac{4}{5} \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{1}{2}$

7. $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{12} \cdot \frac{2}{9}$

Instrucciones: Simplifica las siguientes expresiones usando las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.

8. $\frac{7}{8} \cdot x \cdot \frac{4}{5}$

9. $x \cdot 2 \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6}$

10. $\frac{5}{8} \cdot \left(1 \frac{2}{3} \cdot x \right)$

11. $\frac{6}{8} \cdot x \cdot \frac{2}{3}$

12. $\frac{5}{8} \cdot x \cdot \frac{4}{5}$

13. $\frac{3}{10} \cdot x \cdot \frac{4}{5}$

Instrucciones : Resuelve cada problema.

14. La tienda del loco Sal está en una "venta de descuentos delirantes". Está vendiendo todo en su tienda a $\frac{3}{8}$ del precio marcado. Rowena encuentra una polera que tiene marcado $36. ¿Cuánto pagará por la polera a precio de descuento?

15. Dan está cortando madera para la feria de ciencia. el corto un pedazo que mide $3 \frac{1}{4}$ pies de largo. Después de haberlo cortado, se dio cuenta que realmente necesitaba una pieza de $\frac{2}{3}$ de esa longitud. ¿Cúal es el largo que tendrá la nueva pieza que Dan tendria que cortar.?

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