Decimales periódicos

En esta sección aprenderás a escribir fracciones y números mixtos como decimales periódicos.

¿Alguna vez te has comido parte de un pastel sin poder saber cuánto comiste?

Mientras Daniel comía pastel de durazno, Natali comía pastel de arándanos. Su pastel estaba cortado en 9 trozos y se comió solo dos.

¿Qué fracción del pastel se comió? ¿A qué número decimal equivale esta fracción?

En esta Sección aprenderás sobre los decimales periódicos. Después verás cómo éstos le sirven a Natalia.

Orientación

Ya has aprendido cómo convertir fracciones en decimales. Hasta ahora hemos estado trabajando con los que se conocen como decimales exactos , o decimales que tienen un fin, como 0,75 o 0,5.

Una razón por la que a veces usamos fracciones en vez de decimales es que algunos decimales son decimales periódicos , o decimales infinitos. Si tratas de encontrar un decimal para $\frac{1}{3}$ dividiendo, puedes dividir eternamente porque $\frac{1}{3}$ escrito como decimal $= 0.3333333333 ....$ Sigue infinitamente. Por eso es que simplemente escribimos una línea sobre los números que se repiten. Para $\frac{1}{3}$ , escribimos: $0.\overline{3}$ . Revisemos un problema que tenga decimales periódicos.

Escribe $\frac{5}{6}$ usando decimales.

Primero, reescribimos $\frac{5}{6}$ como el problema de división $5 \div 6$ . Ya sabemos que debemos trabajar en el lado derecho del punto decimal, por lo que vamos a empezar dividiendo 5,0 por 6.

Seis cabe en 5, 0,8 veces, pero nos sobra 0,2. Seis cabe en 0,2 0,03 veces y nos sobra 0,02. Ya que 6 siempre cabe en 20 tres veces, $(3 \cdot 6 = 18)$ y siempre sobrará 2, podemos ver que nunca tendremos un cociente exacto.

Si seguimos dividiendo obtendremos 0.83333333333.... Infinitamente.

Nuestra respuesta final es $0.8\overline{3}$ .

¿Qué pasa con los números mixtos?

Bueno, hay algunos mixtos donde la parte fraccionaria es un decimal periódico. Veamos uno de esos.

Escribe $2 \frac{2}{3}$ usando decimales.

Justo como lo hacíamos con los decimales exactos, dejaremos el entero de lado antes de sumarlo a la respuesta final. Entonces, simplemente resolvemos para el equivalente decimal de $\frac{2}{3}$ . Escribimos el problema de división $2.0 \div 3$ . ¿Cuántas veces cabe 3 en 2,0? cabe 0,6 veces.

Nos sobra 0.20. ¿Cuántas veces cabe 3 en 0,20? La respuesta es 0,06 veces

¿Estás notando un patrón aquí? Es obvio que siempre nos sobrará algo ya sea que dividamos 2.0, 0.2, 0.02, 0.002, o 0.0002, etc., por 3. Claramente $\frac{2}{3}$ es un decimal periódico.

Para nuestra respuesta final escribimos $2.\overline{6}$ .

Haz algunos ejercicios por tu cuenta. Convierte cada ejemplo en un decimal periódico.

Ejemplo A

$\frac{1}{6}$

Solución: $.1\overline{6}$

Ejemplo B

$4 \frac{4}{6}$

Solución: $4.\overline{6}$

Ejemplo C

$\frac{4}{9}$

Solución: $.\overline{4}$

Aquí está el problema original una vez más.

Mientras Daniel comía pastel de durazno, Natali comía pastel de arándanos. Su pastel estaba cortado en 9 trozos y se comió solo dos.

¿Qué fracción del pastel se comió? ¿A qué número decimal equivale esta fracción?

Primero, escribamos la fracción dos novenos.

$\frac{2}{9}$

Luego dividamos el numerador por el denominador.

$.222222222$

Tenemos un decimal periódico. Podemos reescribir este decimal periódico usando diferentes notaciones, como vimos en esta Sección.

$.\overline{2}$

Ésta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Fracción: una parte de un entero que usa un numerador, un denominador, y una barra de fracción.

Decimal: una parte de un entero escrita usando un punto decimal y un valor posicional.

Número mixto: un número escrito con un entero y una fracción.

Decimal exacto: un decimal finito.

Decimal periódico: un decimal que no termina sino que se repite una y otra vez.

Práctica guiada

Aquí hay un ejercicio para que hagas por tu cuenta.

Escribe $2 \frac{1}{6}$ como decimal.

Respuesta

Para hacer esto primero tenemos que convertir el número mixto en una fracción impropia.

$\frac{13}{6}$

Luego dividimos el numerador por el denominador.

$2.1666666$

Tenemos un decimal periódico. Podemos reescribir esto usando notación decimal.

$2.1\overline6$

Ésta es nuestra respuesta.

Video de Repaso

Clic en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Éste es un video de James Sousa sobre cómo escribir fracciones como decimales periódicos.

Práctica

Instrucciones: Escribe cada fracción o número mixto como un decimal periódico o decimal exacto.

1. $\frac{2}{3}$

2. $\frac{5}{6}$

3. $5 \frac{1}{3}$

4. $\frac{1}{3}$

5. $\frac{3}{4}$

6. $\frac{1}{6}$

7. $\frac{1}{8}$

8. $\frac{3}{7}$

9. $\frac{2}{6}$

10. $4 \frac{2}{3}$

11. $7 \frac{1}{3}$

12. $6 \frac{5}{6}$

13. $8 \frac{1}{2}$

14. $9 \frac{2}{3}$

15. $11 \frac{1}{5}$

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