Multiplicación de enteros

En esta Sección aprenderás a multiplicar enteros.

¿Has medido alguna vez la temperatura? Mira este problema.

Cuando Cameron se estaba preparando para ir a bucear una mañana, se dio cuenta de que la temperatura en el centro turístico ya era de $87^\circ$ .

"!Será un día caluroso!" comenta Jesse, quien maneja el bote, acercándose al muelle.

Cameron se pone su traje, el equipo y se sube al bote. El trayecto hasta el lugar de buceo es maravilloso; el cabello de Cameron ondeaba con el viento. El agua es trasparente y brillante bajo el caluroso sol.

Cameron sabe que la temperatura del agua cambia unos $-2^\circ$ cada 10 pies. Por esta razón, Cameron está usando un traje de buceo de color claro. El traje no solo permite sentir un poco de frío en la calurosa temperatura de la superficie, sino que también te protege de las medusas que puedan aparecer.

Si Cameron nada 40 pies, ¿cuál será la temperatura a esa profundidad?

Esta Sección te enseñará a usar la multiplicación de enteros para resolver un problema como este. Necesitarás multiplicar y luego restar para saber cuál será la temperatura cuando Cameron esté buceando.

Orientación

Anteriormente trabajamos en la suma y resta de enteros, ahora es el turno de aprender a multiplicarlos. Recuerda que un entero es el conjunto de números enteros y sus opuestos. Hay algunas palabras de vocabulario que nos serán de ayuda cuando multipliquemos. La primera es factor . Se les llama factores a los números que son multiplicados. La segunda palabra es producto. Multiplicamos dos o más factores para obtener un producto .

A continuación se presentan algunas multiplicaciones de la tabla de multiplicar del 5. Debes notar que los productos muestran un patrón. Imagina que no sabes cuál es el producto de $5 \times 0$ . ¿Cómo utilizarías el patrón que se muestra abajo para determinar ese producto?

$5 \times 4 & =20\\\5 \times 3 & =15\\\5 \times 2 & =10\\\5 \times 1 & =5\\\5 \times 0 & = ?$

Debes notar que cada producto es 5 veces menor que el producto anterior. Por lo tanto, puedes restar 5 del producto anterior, 5, para encontrar el producto que falta. Ya que $5-5=0$ , el producto de $5 \times 0$ es 0.

Podemos ver patrones cuando multiplicamos enteros. Analizar patrones como éstos puede ayudarnos a multiplicar enteros positivos y negativos.

¿Cómo analizamos estos patrones?

Primero, podemos notar que el patrón para la tabla de multiplicación del 5 continúa más allá del cero. Hasta ahora en matemáticas sólo hemos mirado los productos positivos. Sin embargo, ahora sabemos acerca de los números negativos, por lo que podemos mirar como continúan las multiplicaciones. Veamos cómo pueden ayudarnos los patrones para encontrar los productos de los enteros.

Utiliza un patrón para encontrar el producto que falta.

$5 \times 4 & = 20\\\5 \times 3 & = 15\\\5 \times 2 & = 10\\\5 \times 1 & = 5\\\5 \times 0 & = 0\\\5 \times (-1) & = ?\\\5 \times (-2) & = ?$

Ya conoces el patrón para esta secuencia de productos. Puedes restar 5 del producto anterior para encontrar el producto siguiente. Recuerda, restar 5 es lo mismo que sumar su opuesto, -5. Suma -5 al producto anterior para encontrar el siguiente producto.

Para encontrar el producto de $5 \times (-1)$ , suma $0+(-5)$

$|0|=0$ y $|-5|=5$ , así que resta el valor absoluto menor al valor absoluto mayor:

$5-0=5$ .

El entero con el valor absoluto mayor es -5, coloca un signo negativo en la respuesta.

$0+(-5)=-5$ , por lo tanto $5 \times (-1)=-5$

Para encontrar el producto de $5 \times (-2)$ , suma -5 al producto anterior, que también es -5.

Dicho de otra forma, suma: $-5+(-5)$

Ambos enteros tienen el mismo signo, así que suma sus valores absolutos.

$|-5|=5$ , entonces suma.

$5+5=10$ .

Coloca un signo negativo en la respuesta.

$-5+(-5)=-10$ , por lo tanto $5 \times (-2) = -10$

Ahora la tabla de multiplicación está completa.

$5 \times 4 & = 20\\\5 \times 3 & = 15\\\5 \times 2 & = 10\\\5 \times 1 & = 5\\\5 \times 0 & = 0\\\5 \times (-1) & = -5\\\5 \times (-2) & = -10$

Cada producto es 5 veces menor que el producto anterior.

Quizás también te diste cuenta de que dependiendo de lo que estés multiplicando, el signo cambia.

Podemos concluir algunas reglas a partir del patrón.

Cuando el 5, un entero positivo, es multiplicado por un entero positivo, el producto es positivo.
Cuando el 5, un entero positivo, es multiplicado por cero, el producto es cero.
Cuando el 5, un entero positivo, es multiplicado por un entero negativo, el producto es negativo.

Ahora que comprendes las reglas, podemos aplicarlas cuando multipliquemos enteros.

!Consulta las reglas mientras trabajas, pero la clave para ser BUENO en multiplicar enteros es memorizar estas reglas!

$(-4)(-3)$

Aquí tenemos un cuatro negativo multiplicado por un tres negativo. Primero, multiplicamos los términos, recuerda que cuando hay un par de paréntesis junto a otro par de paréntesis significa multiplicación.

$4 \times 3 = 12$

A continuación, deducimos el signo.

Un negativo por un negativo es un positivo.

Nuestra respuesta es -12.

$-5 \cdot 8$

Aquí tenemos un 5 negativo por un ocho positivo. Recuerda que un punto también puede significar multiplicación.

$5 \times 8 = 40$

A continuación, deducimos el signo.

Un negativo por un positivo es un negativo.

Nuestra respuesta es -40.

¿Qué pasa si multiplicamos más de un término?

Podemos hacerlo fácilmente. La clave está en trabajar de izquierda a derecha y recordar que el signo de cada producto puede cambiar con cada factor.

$(-8)(-3)(-2)$

En este ejemplo se están multiplicando tres términos negativos. Primero, multipliquemos los primeros dos términos para obtener un producto.

$-8 \times -3 = 24$

Ahora multiplicamos ese producto por el factor negativo dos.

$24 \times -2 = -48$

Nuestra respuesta es -48.

Ahora te toca a ti intentarlo. Encuentra el producto.

Ejemplo A

$-9(-3)$

Solución: $27$

Ejemplo B

$(-3)(12)$

Solución: $-36$

Ejemplo C

$(-4)(3)(-2)$

Solución: $24$

A continuación tenemos nuevamente el problema original.

Cuando Cameron se estaba preparando para ir a bucear una mañana, se dio cuenta de que la temperatura en el centro turístico ya era de $\underline{87^\circ}$ .

"!Será un día caluroso!" Comenta Jesse, quien maneja el bote, acercándose al muelle.

Cameron se pone su traje, el equipo y se sube al bote. El trayecto hasta el lugar de buceo es maravilloso, el Cabello de Cameron ondeaba con el viento. El agua es transparente y brillante bajo el caluroso sol.

Si Cameron nada 40 pies, ¿cuál será la temperatura a esa profundidad?

Para resolverlo, debemos averiguar el cambio de temperatura entre la superficie y la profundidad de 40 pies. Para hacerlo, multiplicamos.

-2 grados por 10 pies.

Si vamos a descender 40 pies, entonces podemos multiplicar $-2 \times 4$ porque 40 es $4 \times 10$ .

$-2(4) = -8$

Ahora podemos sumar este resultado con la temperatura de la superficie $87^\circ$ .

$87 + (-8) = 79^\circ$

La temperatura del agua a 40 pies será de $79^\circ .$

Vocabulario

Enteros: Un entero es un conjunto de números enteros y sus opuestos.

Producto: La respuesta de una multiplicación.

Factores: Los números que se están multiplicando.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejercicio para que practiques.

El número de alumnos que votan en una elección escolar ha ido disminuyendo a un ritmo de 15 alumnos por año. Representa como un entero el cambio en el número de alumnos que votarán en los próximos 3 años.

Respuesta

Primero, representa como un entero la disminución en el número de alumnos que votan.

El problema dice que el número de alumnos que votan ha ido disminuyendo 15 alumnos por año. Para mostrar una disminución , utiliza un entero negativo, -15.

Para representar la disminución en el número de alumnos que votarán en los próximos 3 años, multiplica el número de años por el entero que representa la disminución.

$3 \times (-15) = ?$

Encuentra el producto para resolver el problema.

$3 \times 15 =45$ , por lo tanto $3 \times (-15)=-45$

El cambio en el número de alumnos que votarán en los próximos 3 años puede ser representado como -45.

Video de Repaso

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on multiplying and dividing integers.

Práctica

Instrucciones: Utiliza las reglas de enteros para encontrar cada producto.

1. $(-3)(9)$

2. $8(-9)$

3. $12 \times 8$

4. $(-4)(7)$

5. $(-2) \cdot (-11)$

6. $3 \cdot (-25)$

7. $5 \times (-6) \times (-1)$

8. $(-8)(-7)$

9. $(-2)(3)(-4)$

10. $(9)(1)(-1)$

11. $(-9)(2)(-1)$

12. $(-12)(1)(-2)$

13. $(-9)(3)(-2)$

14. $(-8)(3)(2)$

15. $(-11)(2)(-2)$

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