División de enteros

En esta Sección aprenderás a dividir enteros.

Cameron y su nueva compañera de buceo, Gina, serán colegas de buceo a 40 pies de profundidad. Gina es nueva buceando y aún está aprendiendo a descender. Cameron puede descender libremente de manera muy fácil. Esto significa que no se sujetará de nada hasta que llegue a la profundidad adecuada. Gina se sujetará a la cuerda del ancla. Después se reunirán en el fondo.

Cameron decidió disminuir la velocidad de su descenso y bajar junto con Gina. Descenderá al lado de ella sin nada que lo sujete; Gina estará sujetando la soga. Cameron mira su reloj y pone el cronómetro antes de descender.

Cuando llegan al fondo, Cameron mira su reloj. Vio que se demoró 2 minutos en descender. No es un mal tiempo considerando que Gina es una principiante. Cameron y Gina se reunieron con un grupo y se reportaron con el instructor de buceo. Entonces !partieron hacia una hermosa sesión de buceo!

¿Cuánta distancia descendieron Cameron y Gina por minuto?

Para responder esta pregunta, necesitarás saber cómo dividir enteros. Presta atención y podrás responder la pregunta al final de la Sección.

Orientación

Anteriormente trabajamos con los productos de enteros. Otro paso importante en el aprendizaje para hacer cálculos con enteros es aprender a dividirlos. Puedes buscar patrones en una secuencia de cocientes tal cual como buscas patrones en una secuencia de productos. Estos patrones te ayudarán a comprender las reglas para dividir enteros.

Observemos algunos patrones de enteros que se forman con la división. Estamos mirando cocientes . Un cociente es la respuesta de una división.

Utiliza un patrón para encontrar los cocientes que faltan.

$6 \div 2 & = 3\\\4 \div 2 & = 2\\\2 \div 2 & = 1\\\0 \div 2 & = 0\\\-2 \div 2 & = ?\\\-4 \div 2 & = ?\\\$

Busca un patrón entre los cocientes. Recuerda que un patrón tiene una regla que lo hace repetirse de cierta forma. Observa el siguiente patrón.

Este patrón utiliza formas y no números, pero aún así hay una regla para que se forme de esta manera.

Ahora observa el patrón numérico.

Verás que puedes restar 1 del cociente anterior para encontrar el siguiente cociente. Recuerda que restar 1 es lo mismo que sumar su opuesto -1. Suma -1 al cociente anterior para encontrar los cocientes siguientes.

Para encontrar el cociente de $-2 \div 2$ , suma $0+(-1)$

$|0|=0$ y $|-1|=1$ , así que resta el valor absoluto menor al valor absoluto mayor.

$1-0=1$

El entero con el valor absoluto mayor es -1, así que coloca un signo negativo en la respuesta.

$0+(-1)=-1$ , por lo tanto $-2 \div 2=-1$

Para encontrar el cociente de $-4 \div 2$ , suma $-1+(-1)$

Ambos enteros tienen el mismo signo, por lo que suma sus valores absolutos.

$|-1|=1$ , entonces suma.

$1+1=2$

Coloca un signo negativo en la respuesta.

$-1+(-1)=-2$ , por lo tanto $-4 \div 2 =-2$ .

A continuación se encuentra la tabla de divisiones completa.

$6 \div 2 & = 3\\\4 \div 2 & = 2\\\2 \div 2 & = 1\\\0 \div 2 & = 0\\\-2 \div 2 & = -1\\\-4 \div 2 & = -2\\\$

Cada cociente sigue teniendo 1 menos que el cociente anterior.

¿Qué conclusiones podemos sacar de este patrón?

Puedes que te hayas dado cuenta de lo siguiente.

Cuando un entero positivo es dividido por un entero positivo, 2, el cociente es positivo.
Cuando el cero es dividido por un entero positivo, 2, el cociente es cero.
Cuando un entero negativo es dividido por un entero positivo, 2, el cociente es negativo.

Éstas son la primera parte de las reglas para dividir enteros.

Observemos otro patrón para completar estas reglas.

Mira las siguientes operaciones numéricas. Analiza el patrón de cocientes que se muestra.

$&9 \div (-3) = -3\\\&6 \div (-2) = -3\\\&3 \div (-1) = -3\\\&0 \div 0 = indefinido\\\&-3 \div (-1) = 3\\\&-6 \div (-2) = 3\\\&-9 \div (-3) = 3$

¿Qué notas en estas divisiones?

Puede que te hayas dado cuenta de las siguientes reglas.

Cuando un entero positivo es dividido por un entero negativo, el cociente es negativo.
Cuando el cero es dividido por cero, el cociente es indefinido no cero. (Nota: Cualquier número dividido por cero se considera indefinido).
Cuando un entero negativo es dividido por un entero negativo, el cociente es positivo.

Ahora podemos utilizar estas reglas para dividir enteros. Al igual que con las reglas para multiplicar, para ser bueno en la división de enteros tendrás que memorizar estas reglas.

A continuación, apliquemos estas reglas para dividir enteros.

Encuentra el cociente $(-33) \div (-3)$

Para encontrar este cociente, tenemos que dividir dos enteros negativos.

Divide los enteros sin prestar atención a sus signos. El cociente será positivo.

$(-33) \div (-3) = 33 \div 3 = 11$

El cociente es 11.

Encuentra el cociente $(-20) \div 5$ .

Para encontrar este cociente, tenemos que dividir dos enteros con signos distintos.

Divide los enteros sin prestar atención a sus signos. Coloca un signo negativo en el cociente.

$20 \div 5 =4$ , por lo tanto $(-20) \div 5 = -4$ .

El cociente es -4.

En estos problemas se usó un signo de división, pero recuerda que también se puede mostrar la división con una barra de fracción entre el numerador y el denominador.

Ahora, te toca a ti practicar y aplicar estas reglas para encontrar los cocientes.

Ejemplo A

$-12 \div -3$

Solución: $4$

Ejemplo B

$\frac{18}{-3}$

Solución: $-6$

Ejemplo C

$-24 \div 8$

Solución: $-3$

A continuación tenemos nuevamente el problema original.

¿Cuánta distancia descendieron Cameron y Gina por minuto?

Primero, tenemos que escribir enteros para representar la profundidad y el tiempo.

La profundidad es de -40 pies

El tiempo es 2 minutos

Dividimos la profundidad por el tiempo para saber el número de pies por minuto.

$-40 \div 2 = -20$

Cameron y Gina descendieron -20 pies por minuto.

Vocabulario

Cociente: La respuesta de una división.

Indefinido: La respuesta es indefinida cuando un entero es dividido por 0.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejercicio para que practiques.

En 3 juegos consecutivos, un equipo de fútbol americano perdió un total de 30 yardas. El equipo perdió la misma cantidad de yardas en cada juego. Representa con un entero negativo el número de yardas que se perdieron en cada juego.

Respuesta

Primero, representa con un entero el número total de yardas perdidas.

Debido a que el entero representa una pérdida de 30 yardas, utiliza un entero negativo, -30.

Para representar la pérdida de cada uno de los 3 juegos, divide por 3 el entero que representa el número total de yardas perdidas.

Escribimos esta ecuación y luego sustituimos los valores dados.

Yardas totales perdidas $\div$ número de juegos = yardas perdidas en cada juego.

$-30 \div 3 =?$

Para encontrar este cociente, tenemos que dividir dos enteros con signos distintos.

Divide los enteros sin prestar atención a sus signos. Coloca un signo negativo en el cociente.

$30 \div 3 = 10$ , por lo tanto $(-30) \div 3 = -10$ .

El entero -10 representa el número de yardas que se perdieron en cada juego.

Video de Repaso

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on dividing integers.

Práctica

Instrucciones: Encuentra cada cociente.

1. $-18 \div 6$

2. $-18 \div -6$

3. $48 \div 8$

4. $64 \div (-8)$

5. $-28 \div (-4)$

6. $-35 \div 7$

7. $-80 \div (-4)$

8. $-50 \div 10$

9. $-18 \div -2$

10. $42 \div -6$

11. $-72 \div 9$

12. $-48 \div -12$

13. $-16 \div 4$

14. $-22 \div -11$

15. $72 \div -12$

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