Comparación de números racionales

En esta Sección aprenderás a comparar y ordenar números racionales en una recta numérica.

¿Recuerdas que Cameron estaba buceando en la Sección de División de enteros? Mira este problema.

Una mañana en el bote, Cameron comenzó a hablar con otro niño llamado Chet. Chet y su familia eran de Colorado y Chet sólo tenía dos años más que Cameron. Los niños entablaron una gran conversación acerca del buceo, los peces y las cosas que habían visto en sus sesiones de buceo.

Después de un rato, vieron algunos delfines nadando junto al bote. Esto es algo que ocurre a menudo, ya que los delfines adoran el sonido que hace el motor del bote.

"¿Sabías que los delfines pueden nadar 0,83 millas en un minuto?" le preguntó Chet a Cameron.

"La verdad es que no lo sabía. Pero sí sé que un pez espada puede nadar casi media milla en un minuto. Creo que el número exacto es $\frac{9}{20}$ de una milla".

"¿Cuál llega más lejos en un minuto?" Preguntó Chet haciendo los cálculos detenidamente.

Para cuando llegaron al lugar donde bucearían, Cameron había solucionado cuál animal podía nadar más lejos en un minuto.

¿Y tú? A los números que los niños están usando se les llama números racionales. Cuando comprendas los números racionales, también entenderás cómo resolver cuál animal puede nadar más lejos en un minuto. Presta atención y esta Sección sobre números racionales te enseñará todo lo que necesitas saber.

Orientación

Anteriormente trabajamos con números racionales. Ahora que sabes cómo identificar un número racional, puede que tengas que comparar u ordenar de vez en cuando. Por ejemplo, que pasa si tienes que comparar una pérdida de $\frac{1}{2}$ con una pérdida de 0,34. Deberás resolverlo.

Ubicar los números en una recta numérica puede ayudarte a hacerlo.

Revisemos los símbolos de desigualdad que pueden ayudarnos a comparar y ordenar números racionales:

> significa es mayor que .

< significa es menor que .

= significa es igual a .

Escoge el símbolo de desigualdad que va en el espacio en blanco para que cada enunciado sea verdadero.

$-2.5 \ \underline{\;\;\;\;\;\;\;} \ -5$

Primero, dibuja una recta numérica de -5 a 5.

Ubica los números -2,5 y -5 en esa recta. Ya que $0.5=\frac{1}{2}, \ -2.5$ estará en el medio de -2 y -3 en la recta numérica.

-2,5 es mayor que -5 porque está más a la derecha en la recta numérica.

En el espacio en blanco va el símbolo > porque $-2.5 > -5$ .

Ordena los siguientes números de menor a mayor:

$&\frac{4}{5} \qquad 0.6 \qquad 1 \qquad 0.\bar{6}$

Generalmente es muy fácil ubicar decimales en una recta numérica que está dividida en décimos.

Así que podemos dibujar una recta numérica de 0 a 1 y dividirla en décimos. Entonces podemos ubicar los cuatro números en la recta numérica.

Primero, tenemos que cambiar $\frac{4}{5}$ por una fracción con denominador 10:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10}$

Ya que ocho décimos equivalen a $\frac{4}{5}$ , podemos encontrar ocho décimos en la recta numérica y ubicar $\frac{4}{5}$ en ésta.

0,6 son seis décimos. Por lo tanto, podemos encontrar seis décimos en la recta numérica y ubicar 0,6 en ese lugar.

En la recta numérica se muestra el 1, por lo que podemos añadir una línea fraccionada para mostrar ese número también.

$0.\bar{6}$ significa 0,666… So, $0.\bar{6}$ es un poco mayor que seis décimos, pero menor que siete décimos. Podemos ubicar $0.\bar{6}$ aproximadamente donde pertenece en la recta numérica.

Cuando termines, la recta numérica se verá de la siguiente manera.

En la recta numérica, podemos ver que $0.6< 0.\bar{6} < \frac{4}{5} < 1$ .

Así que los números, ordenados de menor a mayor, son $0.6, \ 0.\bar{6}, \ \frac{4}{5}, \ 1$ .

Sí. De esta forma puedes estar seguro de que los números están en el orden correcto. !Recuerda que todos son números racionales!

Compara los siguientes números racionales.

Ejemplo A

$-.7 \ \underline{\;\;\;\;\;\;\;} \ -\frac{7}{10}$

Solución: =

Ejemplo B

$.34 \ \underline{\;\;\;\;\;\;\;} \ \frac{1}{2}$

Solución: <

Ejemplo C

$67 \ \underline{\;\;\;\;\;\;\;} \ -10$

Solución: >

A continuación tenemos nuevamente el problema original.

Después de un rato, vieron algunos delfines nadando junto al bote. Esto es algo que ocurre a menudo, ya que los delfines adoran el sonido que hace el motor del bote.

"¿Sabías que los delfines pueden nadar 0,83 millas en un minuto?" le preguntó Chet a Cameron.

"La verdad es que no lo sabía. Pero sí sé que un pez espada puede nadar casi media milla en un minuto. Creo que el número exacto es $\frac{9}{20}$ de una milla".

"¿Cuál llega más lejos en un minuto?" preguntó Chet haciendo los cálculos detenidamente.

Para cuando llegaron al lugar donde bucearían, Cameron ya había solucionado qué animal podía nadar más lejos en un minuto.

Para saber cuál puede nadar más lejos en un minuto, tendremos que comparar estos dos números racionales.

Un delfín = 0,83 de una milla en un minuto

Un pez espada $= \frac{9}{20}$ de una milla en un minuto.

Para resolverlo, primero tenemos que pasar la fracción a un decimal para que ambos números tengan la misma forma.

$\frac{9}{20}=\frac{45}{100}=.45$

Luego, compara 0,83 con 0,45.

0,83 > 0,45

Un delfín puede nadar más lejos que un pez espada en un minuto.

Vocabulario

Número racional: Cualquier número positivo o negativo que puede ser escrito como una razón.

Razón: Una comparación entre dos cantidades. Puede ser escrita utilizando la palabra "a", utilizando dos puntos o utilizando una barra de fracción.

Decimal finito: Un decimal que tiene un término definido.

Decimal periódico: Un decimal en el que algunos de los dígitos se repiten.

Número irracional: Un decimal que no termina o se repite, pero que continúa indefinidamente.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejercicio para que practiques.

Compara estos dos números racionales.

$-\frac{4}{5}$ y $-.25$

Respuesta

Para comparar estos dos valores con precisión, tenemos que escribirlos de la misma forma.

Podemos convertir -0,25 en una fracción o $-\frac{4}{5}$ en un decimal.

Convirtamos -0,25 en fracción.

$-\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$

Ahora podemos comparar.

!Es complicado! Cuatro quintos negativo es casi un entero. Es menor porque un cuarto está más cercano a uno.

$-\frac{4}{5} < -.25$

Esta es nuestra respuesta.

Video de Repaso

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

This is a Khan Academy video on comparing rational numbers.

Práctica

Instrucciones: Escoge el símbolo de desigualdad (>,< o=")" que="" va="" en="" el="" espacio="" en="" blanco="" para="" que="" cada="" enunciado="" sea="" verdadero.="">

1. $1.1 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ 1 \frac{1}{10}$

2. $-2 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ 1 \frac{1}{3}$

3. $\frac{2}{5} \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ 0.3$

4. $-.34 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ -\frac{3}{10}$

5. $5.6 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ 5.7$

6. $-8 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ -12$

7. $-\frac{3}{4} \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ -.75$

8. $18.4 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ 18.2$

9. $-.356 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ -1 \frac{1}{10}$

10. $5.678888 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ 6 \frac{5}{10}$

11. $-.509 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ -\frac{509}{1000}$

12. $.87 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ \frac{8}{10}$

13. $-4 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ -14$

14. $1.212 \ \underline{\;\;\;\;\;\;} \ 1.232$

Instrucciones: Ubica cada número racional en la recta numérica siguiente. Luego ordena los números de menor a mayor:

15. $\frac{1}{2} \qquad 0.9 \qquad 0 \qquad 0.\bar{9}$

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