Puntos en el plano cartesiano

En esta sección aprenderás a nombrar y graficar pares ordenados de coordenadas enteras en el plano cartesiano.

¿Alguna vez has querido encontrar un barco hundido? Mira este problema.

Gina y Cameron están muy entusiasmados porque irán a bucear para ver un barco hundido. El buceo es poco profundo, lo que es inusual porque la mayoría de los barcos hundidos se encuentra en zonas que son demasiado profundas para dos buceadores principiantes. Sin embargo, éste barco está a 40 pies, por lo que ambos buceadores pueden ir a verlo.

Tienen el siguiente mapa para trazar la trayectoria. Cameron quiere saber exactamente qué tan lejos estará el bote del barco hundido. Cada cuadrado representa 160 pies cúbicos de agua.

Primero, Cameron toma nota de las coordenadas. Luego puede usar el mapa para calcular la distancia.

Utilizamos cuadrículas de coordenadas como ésta todo el tiempo. Utiliza la información de esta lección para ayudar a Cameron a encontrar las coordenadas del bote y del barco hundido. Luego podrás estimar la distancia entre éstos.

Orientación

Anteriormente trabajamos con enteros. Utilizamos una recta numérica horizontal (de izquierda a derecha) y una vertical (de arriba a abajo). Imagina que juntamos la recta horizontal con la vertical. Cuando lo haces, se forma un plano cartesiano .

En un plano cartesiano como el que se muestra, la recta numérica horizontal se llama eje $x-$ . La recta numérica vertical se llama eje $y-$ . El punto en el que ambos ejes se juntan se llama origen. .

Podemos usar planos cartesianos para representar puntos, figuras geométricas en dos dimensiones o incluso ubicaciones reales. Si piensas en un mapa, te darás cuenta de que puedes ver un plano cartesiano. Luego utilizas coordenadas para encontrar diferentes ubicaciones. Observa cómo podemos usar un plano cartesiano.

¿Cómo identificamos un punto en un plano cartesiano?

Cada punto en un plano cartesiano puede ser encontrado con un par ordenado de números en la forma de $(x, y)$ .

El primer número en un par ordenado corresponde a la $x-$ coordenada . Esa coordenada describe la posición del punto en relación con el eje $x-$ .
El segundo número en un par ordenado corresponde a la $y-$ coordenada . Esa coordenada describe la posición del punto en relación con el eje $y-$ .

Recuerda que la coordenada $x-$ se ubica antes de la coordenada de $y-$ en un par ordenado $(x, y)$ , porque la $x$ viene antes de la $y$ en el alfabeto.

Escribe estos términos y sus definiciones en tu cuaderno.

Identificar las coordenadas de un punto es similar a ubicar un punto en la recta numérica. La principal diferencia es que necesitas encontrar el punto que corresponde a ambas coordenadas dadas.

Identifica el par ordenado que representa la ubicación del punto $Z$ en el siguiente plano.

Éstos son los pasos para identificar las coordenadas.

Para comenzar, ubica tu dedo en el origen.
Luego mueve tu dedo hacia la derecha a lo largo del eje $x-$ hasta que tu dedo quede en la misma línea bajo el punto $Z$ . Tendrás que moverte 4 unidades a la derecha para quedar ahí. Moverse hacia la derecha a lo largo de la recta significa que te estás desplazando en dirección positiva. Por lo que la coordenada $x-$ es un entero positivo, 4.
Ahora mueve tu dedo hacia arriba, partiendo del eje $x-$ hasta que tu dedo llegue al punto $Z$ . Tendrás que moverte 5 unidades hacia arriba para quedar ahí. Moverse hacia arriba en paralelo al eje $y-$ significa que te estás desplazando en dirección positiva. Por lo tanto, el eje $y-$ es un entero positivo, 5.

Las flechas de abajo muestran cómo deberías haber movido tu dedo para determinar las coordenadas.

Par representar el par ordenado, escribe primero la coordenada $x-$ y segundo, la coordenada $y-$ Separa las coordenadas con una coma y ponle paréntesis, así (4, 5).

Por lo tanto, el par ordenado (4, 5) representa la ubicación del punto $Z$ .

Ahora que sabes cómo representar puntos utilizando un par ordenado, es hora de aprender a graficar puntos a partir de un par ordenado.

Graficar puntos en un plano cartesiano es similar a identificar puntos en el plano. Cuando tienes un par ordenado, puedes mover tu dedo hacia la izquierda o hacia la derecha a lo largo del eje $x-$ y luego moverlo hacia arriba o hacia abajo en paralelo al eje $y-$ hasta que encuentres la ubicación representada por el par ordenado. Luego puedes marcar un punto en esa ubicación.

Hay algunos puntos clave que debes recordar.

Si la coordenada $x-$ es positiva, desplázate hacia la derecha del origen. Si la coordenada $x-$ es negativa, muévete hacia la izquierda.
Si la coordenada $y-$ es positiva, desplázate hacia arriba de forma paralela al eje $y-$ Si la coordenada $y-$ es negativa, muévete hacia abajo.

Aquí tienes otro ejercicio.

Ubica el par ordenado (-5,3) como un punto en el plano cartesiano.

Éstos son los pasos:

La coordenada $x-$ es un entero negativo, -5, por lo que mueve tu dedo 5 unidades hacia la izquierda a lo largo del eje $x-$ Tu dedo debe señalar el entero -5 en el eje $x-$ .
La coordenada $y-$ es un entero positivo, 3, por lo que desplaza tu dedo 3 unidades hacia arriba desde el eje $x-$ axis.

Marca un punto en esa ubicación. Ése punto representa el par ordenado (-5,3).

Algunas veces, los puntos que marcas en una cuadrícula de coordenadas formarán los vértices de una figura geométrica como, por ejemplo, el triángulo. Intenta hacer este ejercicio tú solo.

Ejemplo A, B, C

El triángulo $ABC$ tiene los vértices $A (-2, -5), \ B(0, 3)$ , y $C(6, -3)$ . Grafica el triángulo $ABC$ en un plano cartesiano. Etiqueta las coordenadas con la letra de sus vértices.

Solución: Éstos son los pasos para graficar el triángulo.

Para marcar el vértice $A$ at (-2, -5), en (-2,-5), ubícate en el origen. Muévete 2 unidades hacia la izquierda y luego 6 unidades hacia abajo. Localiza y etiqueta el punto $A$ .
Para marcar el vértice $B$ en (0,3), ubícate en el origen. La coordenada $x-$ es cero, así que no te muevas. A partir del origen, simplemente desplázate 3 unidades hacia arriba. Localiza y etiqueta el punto $B$ .
Para marcar el vértice $C$ en (6,-3), ubícate en el origen. Muévete 6 unidades hacia la derecha y luego 3 unidades hacia abajo. Localiza y etiqueta el punto $C$ .

Une los vértices con líneas para formar los lados del triángulo tal como se muestra en la imagen.

Aquí tenemos nuevamente el problema original. Utiliza esta información para ayudar a Cameron con las coordenadas y la distancia.

Tienen el siguiente mapa para trazar la trayectoria. Cameron quiere saber exactamente qué tan lejos estará el bote del barco hundido .Cada cuadrado representa 160 pies cúbicos de agua.

Primero, Cameron toma nota de las coordenadas. Luego, puede usar el mapa para calcular la distancia.

Primero, éstas son las coordenadas de cada barco en el mapa.

El barco hundido está marcado en (4, 8).

El bote está marcado en (-3, 7).

Presta atención a las flechas. Una vez que llegan al barco hundido, Gina y Cameron nadarán 1 unidad y luego 6 unidades.

$1 + 6 = 7$

Si cada unidad = 160 pies cuadrados, entonces podemos multiplicar $160 \times 7$

Gina y Cameron nadarán 1120 pies cúbicos de agua desde el bote al barco hundido.

Vocabulario

Plano cartesiano: Un plano con cuatro cuadrantes en el que las ubicaciones son marcadas según las coordenadas.

Eje $x -$: La línea horizontal en el plano cartesiano

Eje $y -$: La línea horizontal en el plano cartesiano

Origen: El punto donde se encuentran el eje $x-$ con el eje $y-$

Coordenada $x-$: La primera coordenada de un par ordenado.

Coordenada $y-$ coordinate: La segunda coordenada de un par ordenado.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejercicio para que practiques.

Esta cuadrícula de coordenadas muestra la ubicación de la ciudad de Jimmy. Identifica el par ordenado que representa la ubicación del parque de la ciudad.

Respuesta

Éstos son los pasos para encontrar las coordenadas del parque de la ciudad.

Ubica tu dedo en el origen.
A continuación, mueve tu dedo hacia la derecha a lo largo del eje $x-$ hasta que tu dedo quede en la misma línea del punto que representa el parque de la ciudad. Tendrás que moverte 2 unidades a la izquierda para quedar ahí. Moverse hacia la izquierda por el eje $x-$ significa que te estás desplazando en dirección negativa. Tu dedo señalará un entero negativo, -2, por lo que esa es la coordenada $x-$ .
Ahora mueve tu dedo hacia abajo partiendo del eje $x-$ hasta que llegues al punto del parque de la ciudad. Tendrás que moverte 6 unidades hacia abajo para quedar ahí. Moverse hacia abajo y en paralelo al eje $y-$ significa que te estás desplazando en dirección negativa. Tu dedo estará en la misma línea que el entero negativo -6, en el eje $y-$ por lo que esa es la coordenada $y-$

Las flechas de abajo muestran cómo deberías haber movido tu dedo para encontrar las coordenadas.

Por lo tanto, el par ordenado (-2, -6) representa la ubicación del parque de la ciudad.

Video de Repaso

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on ordered pairs and the coordinate plane.

Práctica

Instrucciones : Utiliza lo que has aprendido para completar esta sección de práctica.

1. Identifica el par ordenado que representa cada uno de estos puntos en el plano cartesiano.

Instrucciones: A continuación hay un mapa de un parque de diversiones. Identifica el par ordenado que representa la ubicación de cada una de estas atracciones.

2. Montaña rusa

3. Rueda de la fortuna

4. Carrusel

5. Tobogán de agua

Instrucciones: Identifica los pares ordenados que representan los vértices del triángulo $FGH$ .

6. $F$

7. $G$

8. $H$

Instrucciones: Identifica los pares ordenados que representan los vértices del pentágono $ABCDE$ .

9. $A$

10. $B$

11. $C$

12. $D$

13. $E$

14. En la cuadrícula de abajo, ubica el punto $V$ en (-6, 4).

15. En la cuadrícula de abajo, marca un triángulo de vértices $R (4, -1), \ S (4, -4)$ , and $T (-3, -4)$ .

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