Razones Equivalentes

En esta sección aprenderás a identificar y escribir formas diferentes de razones equivalentes dentro de los números racionales.

¿Alguna vez has participado en un concurso o desafío de lectura?

Kayla y Torrey están en la clase de séptimo grado de la Señorita Henderson de Artes del Lenguaje. En el primer día de clases, la Señorita Henderson propuso un desafío de lectura a la clase. El desafío es ver cuántos libros puede leer cada uno a lo largo de todo el año. Los libros se leerían en silencio o fuera de la escuela y se emplearía el sistema de honor. Cada estudiante debe mantener un registro del título y del autor de cada libro que lean. Al terminar el año, celebrarían sus logros con una fiesta de pizza y los estudiantes podrían obtener créditos extra en su nota final. Aunque algunos alumnos dudaban si aceptar el desafío, todos amaron la idea de la promesa de una fiesta de pizza y créditos extra. La Señorita Henderson los convenció.

Kayla y Torrey han participado en el desafío desde el día uno. Luego de ocho semanas en la escuela, Kayla ya había terminado 6 libros.

"Tengo seis leídos" dijo Kayla mientras mordía su sándwich en el almuerzo.

"Creo que estoy leyendo al mismo ritmo", dijo Torrey. "Después de cuatro semanas, ya he terminado 3 libros"

"¿Estás seguro?", preguntó Kayla.

"Bueno, necesito contar, pero estoy muy seguro de que ambos hemos terminado de leer la misma cantidad de libros".

¿Torrey está en lo correcto? ¿Las niñas han leído la misma cantidad de libros ahora que han pasado 8 semanas?

Para resolverlo, necesitarás usar razones equivalentes. Las razones equivalentes son el tema de esta primera Sección, pusieron atención y serás capaz de resolver el problema de los libros al final de la Sección.

Orientación

En matemáticas y en la vida real, comparamos cosas todo el tiempo. Observamos lo que tenemos y lo que alguien más tiene, u observamos las diferencias entre valores y los comparamos. La comparación es algo natural en las personas. El uso de las razones también es natural, ya que las razones son una forma para comprara números y valores.

¿Qué es una razón?

Una razón compara dos números o cantidades llamadas términos. Por ejemplo, imagina que hay 3 manzanas verdes (V) y 4 manzanas rojas (R) en esta canasta.

Podemos expresar la razón de las manzanas verdes a las manzanas rojas en la canasta como una fracción.

$\frac{green}{red} = \frac{3}{4}$

También podemos expresar esta razón en palabras, 3 es a 4, o usando dos puntos, 3:4.

La razón anterior compara una parte de las manzanas en la canasta con la otra parte. Por ejemplo, la razón anterior compara las manzanas que son verdes con las manzanas que son rojas.

Una razón también puede expresar una parte de un todo. Por ejemplo, también podemos expresar la razón de las manzanas verdes al total de las manzanas en la canasta como una fracción.

$\frac{green}{total} = \frac{green}{green + red} = \frac{3}{3 + 4} = \frac{3}{7}$

Hay un total de 7 manzanas en la canasta, por lo que la razón de las manzanas verdes al total de las manzanas es 3 es a 7 o 3:7.

Aquí hay tres formas en las que podemos escribir una razón:

En una fracción, usando una barra de fracción
Usando las palabras "es a"
Usando dos puntos :

Tomate un tiempo para escribir estas formas en tu cuaderno. Luego puedes leerlas cuando las necesites.

Ahora que sabes como escribir una razón, analicemos las razones equivalentes.

Una razón muestra la relación entre dos cantidades. Las razones equivalentes se pueden usar para mostrar la misma relación entre dos cantidades. Recuerda que la palabra "equivalente" significa igual.

Debido a que podemos escribir razones en la forma de fracción, podemos usar lo que sabeos sobre encontrar fracciones equivalentes para que nos ayude a identificar razones equivalentes. Aquí es donde la simplificación de fracciones nos será de ayuda. Simplemente podemos simplificar razones para descubrir la equivalencia de la misma forma en que podemos simplificar fracciones.

Determina si estas dos razones son equivalentes $\frac{2}{3}$ y $\frac{10}{15}$ .

Podemos comenzar simplificando la fracción mayor. Si se simplifican en el mismo número, entonces sabemos que las dos razones son equivalentes.

$\frac{10 \div 5}{15 \div 5} &= \frac{2}{3}\\\\frac{2}{3} &= \frac{2}{3}$

Ambas son razones iguales.

Simplificar es una forma de encontrar la equivalencia. También podemos crear razones equivalentes multiplicándolas de la misma forma que lo haríamos con fracciones equivalentes.

Cambia $\frac{2}{3}$ a una razón usando 15 como el segundo término (el denominador).

Ya que $3 \times 5 = 15$ , multiplica ambos términos de la razón $\frac{2}{3}$ por 5.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$

Esto demuestra que la razón $\frac{2}{3}$ es equivalente a la razón $\frac{10}{15}$ .

Por lo tanto, las dos razones anteriores son equivalentes.

Determina si estas dos razones son equivalentes. 7:6 y 13:12.

Reescribe las razones como fracciones $\frac{7}{6}$ y $\frac{13}{12}$ .

Cambia $\frac{7}{6}$ a una razón usando 12 como el segundo término (el denominador).

Ya que $6 \times 2 = 12$ , multiplica ambos términos de la razón $\frac{7}{6}$ por 2.

$\frac{7}{6} = \frac{7 \times 2}{6 \times 2} = \frac{14}{12}$

Cuando el segundo término (el denominador) es 12, la razón equivalente de $\frac{7}{6}$ es $\frac{14}{12}$ , no $\frac{13}{12}$ .

Por lo tanto, 7:6 y 13:12 no son razones equivalentes.

Otra forma de determinar si dos razones son equivalentes es multiplicar cruzados los términos en la razón. Si los productos cruzados son iguales, entonces las dos razones son equivalentes. Si los productos cruzados no son iguales entonces las dos razones no son equivalentes.

Determina si cada par de razones es equivalente. Escribe sí o no.

Ejemplo A

$\frac{3}{4}$ y $\frac{9}{12}$

Solución: Sí

Ejemplo B

$\frac{5}{6}$ y $\frac{20}{30}$

Solución: No

Ejemplo C

$\frac{4}{5}$ y $\frac{8}{10}$

Solución: Sí

Ahora es momento de aplicar lo que has aprendido en esta lección a nuestro problema original. Aquí está de nuevo.

Kayla y Torrey han participado en el desafío desde el día uno. Luego de ocho semanas en la escuela, Kayla ya había terminado 6 libros.

"Tengo seis leídos" dijo Kayla mientras mordía su sándwich en el almuerzo.

"Creo que estoy leyendo al mismo ritmo", dijo Torrey. "Después de cuatro semanas, ya he terminado 3 libros"

"¿Estás seguro?", preguntó Kayla.

"Bueno, necesito contar, pero estoy muy seguro de que ambos hemos terminado de leer la misma cantidad de libros".

¿Torrey está en lo correcto? ¿Las niñas han leído la misma cantidad de libros ahora que han pasado 8 semanas?

Para resolver este problema, necesitamos averiguar si las chicas han estado leyendo el mismo número de libros en el mismo número de semanas. Primero, escribamos una razón que compare los libros que Kayla ha leído al número de semanas.

Kayla leyó 6 libros en 8 semanas.

$\frac{books}{weeks} = \frac{6}{8}$

Torrey dijo que ella cree que está leyendo al mismo ritmo que Kayla. Ella dice que leyó 3 libros después de 4 semanas.

$\frac{books}{weeks} = \frac{3}{4}$

Si Torrey está leyendo al mismo ritmo, entonces podemos comparar estas dos razones para ver si son equivalentes. Si lo son, entonces las niñas han leído el mismo número de libros.

Para hacer esto, simplificamos la razón de Kayla.

$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Al simplificar la razón de Kayla, vemos que ella también leyó 3 libros en las primeras 4 semanas. Si Torrey sigue leyendo a este ritmo, entonces las niñas han leído el mismo número de libros. Debido a que ambas razones son equivalentes.

Vocabulario

Razón: Una comparación entre dos cantidades. Las razones se pueden escribir como una fracción, con dos puntos o usando las palabras "es a".

Términos: Las dos cantidades en una razón.

Razones Equivalentes: Cuando dos razones son iguales.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

Determina si estas dos razones son equivalentes $\frac{4}{8}$ y $\frac{1}{2}$ .

Respuesta

Usamos el símbolo $\overset{?}{=}$ para demostrar que las dos razones anteriores pueden o no ser iguales.

$\frac{4}{8} \overset{?}{=} \frac{1}{2}$

Ahora, multiplicamos cruzado. Para multiplicar cruzado, multiplicamos los pares de números marcados a continuación. El producto que obtenemos cuando multiplicamos cada par de números se llama producto cruzado.

$8 \times 1 &\overset{?}{=} 4 \times 2\\\8 &\overset{?}{=} 8\\\8 &= 8$

Ya que $8 = 8$ , los productos cruzados son iguales. Esto significa que $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , y aquellas dos razones son equivalentes.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on ratios. This video on ratios supports success in this Concept.

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Determina si cada una de los siguientes pares de razones son iguales. Escribe "sí" si son iguales y "no" si no son iguales.

1. $\frac{1}{2}$ y $\frac{6}{12}$

2. $\frac{3}{8}$ y $\frac{1}{4}$

3. $\frac{6}{7}$ y $\frac{2}{3}$

4. $\frac{6}{7}$ y $\frac{12}{14}$

5. $\frac{2}{3}$ y $\frac{10}{15}$

6. $\frac{17}{21}$ y $\frac{6}{7}$

7. $\frac{24}{48}$ y $\frac{12}{24}$

8. $\frac{16}{18}$ y $\frac{32}{38}$

9. $\frac{9}{45}$ y $\frac{1}{9}$

10. $\frac{4}{6}$ y $\frac{44}{66}$

11. $\frac{6}{9}$ y $\frac{4}{6}$

12. $\frac{14}{16}$ y $\frac{20}{24}$

13. $\frac{12}{16}$ y $\frac{24}{32}$

14. $\frac{24}{48}$ y $\frac{1}{2}$

15. $\frac{84}{96}$ y $\frac{3}{4}$