Razones en la Forma Más Simple

En esta sección aprenderás a escribir razones en la forma más simple.

¿Alguna vez has tenido una meta que deseas cumplir?

Joanna tiene una meta de leer 16 libros en el primer semestre del nuevo año escolar. Para Halloween, había leído cuatro de los 16 libros.

Joanna quiere usar una razón para expresar su progreso. ¿Cuál es la forma más simple de escribir esta razón?

Esta Sección se trata de simplificar razones. Al final de esta, serás capaz de completar este problema.

Orientación

Anteriormente trabajamos en cómo simplificar razones que están en forma de fracción para ver si son equivalentes o no. Exploraremos esto en más detalle en esta sección.

¿Qué significa simplificar?

Simplificar significa hacerlo más pequeño. Cuando simplificamos, hacemos más pequeña una fracción. Sigue siendo equivalente a la forma más grande de la fracción, pero es más simple.

¿Cómo simplificamos una razón en forma de fracción?

Para escribir una razón en la forma más simple, encuentra el máximo común divisor de ambos términos en la razón. El máximo común divisor de dos números es el número mayor que divide los dos números uniformemente. Luego, divide ambos términos de la razón por el máximo común divisor.

Este es básicamente el mismo procedimiento que usas para reescribir una fracción en la forma más simple.

Escribe esta razón en la forma más simple $\frac{20}{24}$ .

Primero, encuentra el máximo común divisor de los términos 20 y 24.

Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Los factores que 20 y 24 tienen en común son 1, 2 y 4.

El mayor de esos factores comunes es 4, por lo que dividimos ambos términos por 4 para escribir la razón en la forma más simple.

$\frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$

Por lo tanto, la forma más simple de la razón $\frac{20}{24}$ es $\frac{5}{6}$ .

¿Cómo puede ser útil esto cuando trabajamos con razones?

Es útil porque podemos simplificar razones en la forma de fracción para ver si son equivalentes. También podemos usar una razón simplificada para encontrar una razón equivalente. Para hacer esto, puedes multiplicar ambos términos de la razón original por el mismo número para encontrar una razón equivalente.

Escribe tres razones equivalentes para esta razón 1:9.

Escribe tres razones equivalentes para esta razón 1:9. $\frac{1}{9}$ ya está en su forma más simple. Observa que escribimos la razón en la forma de fracción para que sea más fácil de trabajar con ella.

Ahora, escribiremos tres razones equivalentes multiplicando ambos términos por el mismo número.

No importa cuáles números elijamos para multiplicar los términos. Multipliquemos primero por 2.

$\frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18} \ \text{or} \ 2:18$

Multipliquemos por 5.

$\frac{1}{9} = \frac{1 \times 5}{9 \times 5} = \frac{5}{45} \ \text{or} \ 5:45$

Multipliquemos por 100.

$\frac{1}{9} = \frac{1 \times 100}{9 \times 100} = \frac{100}{900} \ \text{or} \ 100:900$

Por lo tanto, tres razones que son equivalentes a 1:9 son 2:18 y 100:900.

Ahora es tiempo que intentes algunos por ti mismo.

Ejemplo A

Simplifica esta razón: 14:16

Solución: $7:8$

Ejemplo B

Simplifica esta razón: 3 a 18

Solución: 1 a 6

Ejemplo C

Escribe una razón equivalentea: 4 a 5

Solución: 8 a 10

Ahora, volvamos a Joanna y los libros.

Joanna tiene una meta de leer 16 libros en el primer semestre del nuevo año escolar. Para Halloween, había leído cuatro de los 16 libros.

Joanna quiere usar una razón para expresar su progreso. ¿Cuál es la forma más simple de escribir esta razón?

Primero, escribamos la razón de los libros que Joanna ha completado.

$\frac{4}{16}$

Esta es la fracción de la razón, pero también podríamos haberla escrito con dos puntos o las palabras "es a".

Ahora simplificamos dividiendo el numerador y el denominador por el máximo común divisor, 4.

$\frac{1}{4}$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Razón: Una comparación entre dos cantidades. Las razones se pueden escribir como una fracción, con dos puntos o usando las palabras "es a".

Razones Equivalentes: Cuando dos razones son iguales.

Simplificar: Escribir en una forma más simple usando el máximo común divisor para dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número.

Máximo común divisor: El factor común más grande entre dos números.

Práctica Guiada

Considera la primera pregunta. Es una pregunta sobre comparar y determinar la equivalencia.

Elena y Jake tienen una caja con canicas de solo dos colores en ella. Hay 28 canicas azules y 16 canicas grises en la caja. Elena dice que la razón de las canicas grises a las canicas azules es $\frac{16}{28}$ . Jake dice que la razón de las canicas grises a las canicas azules es $\frac{4}{7}$ . . ¿Quién está en lo correcto? ¿O ambos están en lo cierto? Luego encuentra la razón de las canicas grises al total de canicas en la caja. Escribe tu respuesta en la forma más simple.

Respuesta

Considera la primera pregunta. Es una pregunta sobre comparar y determinar la equivalencia.

Escribe la razón de las canicas grises a las canicas azules como una fracción. Debes ser cuidadoso, la razón que escribas debe comparar las canicas grises con las canicas azules , no las canicas azules con las canicas grises.

Ya que hay 16 canicas grises y 28 canicas azules, la razón es:

$\frac{gray}{blue} = \frac{16}{28}$

Por lo tanto, Elena está en lo correcto porque la razón de las canicas grises a las canicas azules es $\frac{16}{28}$ .

Si la razón es equivalente a $\frac{4}{7}$ , entonces Jake también está en lo correcto. Una forma de determinar si esas dos razones son equivalentes es multiplicando cruzado.

$\frac{16}{28} & \overset{?}{=} \frac{4}{7}\\\28 \times 4 & \overset{?}{=} 16 \times 7\\\112 & \overset{?}{=} 112\\\112 & = 112$

Ya que los productos cruzados son iguales, las dos razones son equivalentes.

Por lo tanto, la respuesta a la primera pregunta es que tanto Elena como Jake están en lo cierto.

Ahora, resolvamos la segunda parte de la pregunta. Para resolver esto, necesitamos encontrar la razón de las canicas grises al total de canicas en la caja.

$\frac{gray}{total} = \frac{gray}{gray + blue} = \frac{16}{16 + 28} = \frac{16}{44}$

Escribe esta razón en la forma más simple.

Los factores de 16 son: 1, 2, 4, 8 y 16.

Los factores de 44 son: 1, 2, 4, 11, 22 y 44.

El máximo común divisor de 16 y 24 es 4. Por lo tanto, divide ambos términos por 4.

$\frac{16}{44} = \frac{16 \div 4}{44 \div 4} = \frac{4}{11}$

La razón de las canicas grises al total de canicas, escrita en la forma más simple, es $\frac{4}{11}$ .

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This James Sousa video is about writing ratios in simplest form. It includes fractions and decimals.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Simplifica cada razón. Escribe la versión simplificada en la misma forma de la razón.

1. 3 es a 6

2. 5:20

3. 18 es a 22

4. $\frac{18}{20}$

5. $\frac{25}{55}$

6. 6 es a 42

7. 18 es a 10

8. 12 es a 4

9. 16:8

10. 24 es a 16

11. 18 es a 36

12. 54 es a 9

13. 81:27

14. 56 es a 9

15. $\frac{18}{12}$

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