Pendiente

En esta sección aprenderás a reconocer la pendiente de una línea como la razón de la subida vertical y el camino horizontal y a distinguir tipos de pendientes.

¿Alguna vez has pensado en una pendiente conectada con libros y lectura? Sé que suena interesante. Observa este problema.

Cinco estudiantes de la clase de la señorita Henderson han contado el número de libros que han leído y han comparado sus resultados. Durante la primera semana, los cinco terminaron un libro. Después de la segunda semana, los cinco terminaron dos libros. Durante la tercera semana, los cinco habían terminado tres libros. Después de diez semanas, los cinco habían terminado diez libros.

¿Cuál es su tasa? Si quisieras dibujar la tasa de cambio en un gráfico que compare los libros a las semanas, ¿Cómo sería el gráfico?

Para entender este problema, tienes que entender la pendiente y los gráficos. Todo esto se verá en esta Sección. Al final, entenderás cómo expresar estos valores en un gráfico.

Orientación

¿Alguna vez has esquiado? Incluso si no lo has hecho, puede que sepas un poco sobre cómo puede ser aprender a esquiar.

Cuando alguien aprende a esquiar, él o ella, por lo general, comienza en una pendiente que no es muy empinada. A veces esa pendiente se llama pendiente de principiantes. Luego de dominar las habilidades básicas para esquiar, una persona puede empezar a probar pendientes que son más empinadas y más difíciles.

En matemáticas, el término pendiente tiene un significado diferente. En matemáticas, la pendiente de una línea describe qué tan empinada es una línea. Sin embargo, pensar en una pendiente de esquí te puede ayudar a recordar que la pendiente de una línea te dice qué tan empinada es.

Es útil considerar la pendiente de la línea como la "pendiente por el trayecto". Esto es, la pendiente es la razón de la elevación vertical (arriba y abajo) de una línea a su trayecto horizontal (izquierda a derecha).

Para ayudarnos a entender esta razón, miremos la línea $AB$ en el siguiente plano coordinado.

Imagina poner tu dedo en el punto $A$ . Para moverse del punto $A$ al punto $B$ , tu dedo necesitaría moverse 5 unidades hacia arriba y luego 6 unidades a la derecha. Esto es debido a que la línea tiene una elevación de 5 unidades y un trayecto de 6 unidades a la derecha.

Por lo tanto, $\text{slope} = \frac{rise}{run} = \frac{5}{6}$ .

La pendiente de la línea $AB$ es $\frac{5}{6}$ .

La línea $AB$ tiene una pendiente de $\frac{5}{6}$ , lo que es una pendiente positiva.

Observa que la línea $AB$ se inclina de izquierda a derecha.

Saber información básica sobre la pendiente de una línea te puede decir sobre su inclinación.

Una línea que se inclina hacia arriba de izquierda a derecha tiene una pendiente positiva.
Una línea que se inclina hacia abajo de izquierda a derecha tiene una pendiente negativa.

Determina si la pendiente de cada línea que se muestra a continuación es positiva o negativa.

Considera la línea en $a$ .

La línea se inclina hacia abajo de izquierda a derecha, por lo que su pendiente es negativa.

Considera la línea en $b$ .

La línea se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, por lo que su pendiente es positiva.

También deberías saber sobre las pendientes de las líneas horizontales y verticales.

Una línea horizontal tiene un trayecto, pero no tiene una elevación.

$\text{slope} = \frac{rise}{run} = \frac{0}{n} = 0.$

Por lo tanto, la pendiente de una línea horizontal es cero.

Una línea horizontal tiene una elevación, pero no tiene un trayecto.

$\text{slope} = \frac{rise}{run} = \frac{n}{0} = undefined.$

Toda fracción con un cero en el denominador es indefinida. Por lo tanto, la pendiente de una línea vertical es indefinida.

Identifica la pendiente de cada línea.

Considera la línea en $a$ .

La línea es vertical, por lo que la pendiente es indefinida.

Considera la línea en $b$ .

La línea es horizontal, por lo que la pendiente es cero.

Ahora es tu turno de ejercitar con pendientes. Responde las siguientes preguntas.

Ejemplo A

¿Cuál es la pendiente de una línea horizontal?

Solución: 0

Ejemplo B

¿Cuál es la pendiente de una línea vertical?

Solución: Indefinida

Ejemplo C

¿Cuál es la pendiente de una línea que va hacia arriba de izquierda a derecha?

Solución: Positiva

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

¿Cuál es su tasa? Si quisieras dibujar la tasa de cambio en un gráfico que compare los libros a las semanas, ¿Cómo sería el gráfico?

Si lees el problema cuidadosamente verás que la tasa de los estudiantes es un libro por semana.

Enlistemos sus semanas y los libros en una tabla.

semana	libros
1	1
2	1
3	1
4	1
5	1
6	1
7	1
8	1
9	1
10	1

Ahora, crearemos un gráfico para mostrar estos resultados.

Vocabulario

Pendiente: La inclinación de una línea o qué tan empinada es una línea. Se representa en un gráfico por la razón de la elevación por el trayecto.

Elevación: La medida vertical de una línea.

Trayecto: La medida horizontal de una línea.

Pendiente Positiva: Una pendiente que va hacia arriba desde izquierda a derecha.

Pendiente Negativa: Una pendiente que va hacia abajo desde izquierda a derecha.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

¿La pendiente es positiva, negativa o indefinida?

Respuesta

La línea es vertical, por lo tanto, la pendiente de la línea es indefinida.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This is a Khan Academy video on the slope of a line.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: En cada gráfico, determina si la pendiente de la línea es positiva, negativa, cero o indefinida.

10.

Instrucciones : Responde cada pregunta.

11. ¿Una pendiente positiva tiene que contener números positivos?

12. Verdadero o falso. Una línea horizontal es indefinida.

13. Verdadero o falso. Una pendiente negativa va hacia abajo desde derecha a izquierda.

14. Verdadero o falso. Una línea vertical tiene una pendiente indefinida.

15. Verdadero o falso. Puedes calcular cualquier pendiente siempre que la línea tenga alguna inclinación.

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