Proporciones

En esta sección aprenderás a reconocer proporciones como una forma de razones equivalentes.

Los estudiantes siguen leyendo libros animadamente. Mira esta situación.

Manuel estaba leyendo todos los libros sobre caballeros medievales. Después de terminar de leer la serie, se la prestó a su amigo Rafael. Rafael está disfrutando de la serie tanto como lo hizo Manuel.

Rafael había terminado 9 de los 12 libros. Manuel leyó tres cuartos de los libros en el mismo tiempo. ¿Rafael y Manuel están leyendo a la misma tasa?

Para calcular esto, necesitarás escribir dos proporciones y calcular si son iguales. Esta Sección te enseñará a cómo hacerlo.

Orientación

¿Recuerdas las razones? Piensa en todo lo que ya has aprendido sobre razones.

Una razón representa una comparación entre dos cantidades. Podemos escribir razones en la forma de fracción, usando dos puntos o las palabras "es a".

También aprendimos que las razones equivalentes son dos razones que son iguales. Los números en las razones puede que no sean iguales, pero la comparación de cantidades es la misma.

Las razones equivalentes están directamente relacionadas a proporciones.

¿Qué es una proporción?

Una proporción nos dice que dos razones son equivalentes. Aquí hay un ejemplo de una proporción.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$

Esta proporción muestra que las razones $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{4}$ son equivalentes. En otras palabras, una proporción está hecha de dos razones equivalentes.

En la situación anterior, conocemos todas las partes de las dos razones que forman la proporción. A veces, conoceremos tres de los números, no los cuatro. Cuando esto sucede, tenemos que usar una variable y calcular el número perdido.

Mira esta proporción.

$\frac{1}{2} = \frac{n}{12}$

Observa que el primer término de la segunda razón - su numerador - es una variable. Supongamos que queremos encontrar el valor de esta variable. Podríamos hacerlo usando el razonamiento proporcional.

El razonamiento proporcional es cuando calculamos un valor ausente en una proporción usando la relación entre los números en las dos razones.

Usa el razonamiento proporcional para encontrar $n: \ \frac{1}{2} = \frac{n}{12}$ .

Para calcular esto, necesitamos encontrar una relación entre los numeradores o los denominadores. La proporción no muestra la relación entre los primeros términos en las razones (los numeradores de las fracciones). Sin embargo, podemos determinar la relación entre los segundos términos en las razones (los denominadores de las fracciones).

Podemos preguntarnos: "¿qué número, multiplicado por 2, da 12?"

Ya que $2 \times 6 = 12$ , podemos multiplicar el numerador y el denominador de $\frac{1}{2}$ por 6 para encontrar el valor de $n$ .

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} = \frac{n}{12}$

Esto muestra que cuando el segundo término (el denominador) de la razón es 12, el primer término (el numerador) es 6.

El valor de $n$ es 6.

¡Bien por ti! El cálculo mental es muy útil cuando usas el razonamiento proporcional. Cuando puedes calcular la relación entre números, puedes encontrar el valor faltante de la variable.

Usa el razonamiento proporcional para encontrar $x: \ \frac{15}{35} = \frac{x}{7}$ .

¿Qué relación podemos usar para encontrar esta variable? La proporción no muestra la relación entre los primeros términos en las razones (los numeradores de las fracciones). Necesitamos encontrar la relación entre los segundos términos en las razones (los denominadores de las fracciones).

Podemos preguntarnos, "¿qué numero puede dividir 35 para obtener 7?"

Ya que $35 \div 5 = 7$ , podemos dividir el numerador y el denominador de $\frac{15}{35}$ por 5 para encontrar el valor de $x$ .

$\frac{15}{35} = \frac{15 \div 5}{35 \div 5} = \frac{3}{7} = \frac{x}{7}$

Esto muestra que cuando el segundo término (el denominador) de la razón es 7, el primer término (el numerador) es 3.

El valor de $x$ es 3.

Usa el razonamiento proporcional para encontrar el valor de cada variable desconocida.

Ejemplo A

$\frac{2}{3} = \frac{x}{6}$

Solución: $x = 4$

Ejemplo B

$\frac{12}{24} = \frac{24}{z}$

Solución: $z = 48$

Ejemplo C

$\frac{y}{5} = \frac{14}{20}$

Solución: $3.5$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Rafael había terminado 9 de los 12 libros. Manuel leyó tres cuartos de los libros en el mismo tiempo. ¿Rafael y Manuel están leyendo a la misma tasa?

Para determinar si están leyendo a la misma tasa, tenemos que escribir dos razones para describir cada ritmo.

Rafael $\frac{9}{12}$

Manuel $\frac{3}{4}$

Ahora, escribamos estos como razones iguales.

$\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Estas son iguales.

Los chicos están leyendo al mismo ritmo.

Vocabulario

Razón: Una comparación entre dos cantidades. Podemos escribirlas en la forma de fracción, usando dos puntos o las palabras "es a".

Razones Equivalentes: Dos razones iguales.

Proporción: Cuando dos razones son iguales, forman una proporción.

Razonamiento Proporcional: Deducir la relación entre los numeradores o los denominadores de una proporción. Siempre que tengas una proporción, hay algún tipo de relación entre los valores.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

Usa las razones iguales para encontrar $z: \ \frac{z}{9} = \frac{32}{36}$ .

Respuesta

El problema no muestra la relación entre los primeros términos en las razones (los numeradores de las fracciones).

Necesitamos encontrar la relación entre los segundos términos en las razones (los denominadores de las fracciones).

Podemos preguntarnos "¿qué número, multiplicado por 9, da 36?"

$9 \times 4 &= 36\\\\frac{z}{9} &= \frac{z \times 4}{9 \times 4} = \frac{32}{36}.$

A partir de esto, podemos ver que $z \times 4 = 32$ .

Debemos preguntarnos "¿qué número, multiplicado por 4, da 32?"

$8 \times 4 = 32$ , por lo tanto $z = 8$ .

Esta es nuestra respuesta.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This James Sousa video is an introduction to proportions.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Mira cada par de razones. Analiza si forman o no una proporción.

1. $\frac{1}{2}$ y $\frac{4}{8}$

2. $\frac{3}{7}$ y $\frac{6}{14}$

3. $\frac{5}{2}$ y $\frac{10}{6}$

4. $\frac{3}{1}$ y $\frac{9}{3}$

5. $\frac{2}{9}$ y $\frac{1.5}{4.5}$

6. $\frac{4}{9}$ y $\frac{8}{10}$

7. $\frac{1}{4}$ y $\frac{5}{20}$

8. $\frac{3}{4}$ y $\frac{9}{10}$

Instrucciones: Usa el razonamiento proporcional para encontrar el valor de la variable en cada proporción.

9. $\frac{1}{4} = \frac{a}{20}$

10. $\frac{15}{30} = \frac{x}{2}$

11. $\frac{2}{9} = \frac{n}{63}$

12. $\frac{z}{7} = \frac{12}{21}$

13. $\frac{3}{5} = \frac{t}{60}$

14. $\frac{k}{72} = \frac{5}{12}$

15. $\frac{x}{32} = \frac{4}{8}$

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