Proporciones con Variable en el Numerador

En esta sección aprenderás a resolver proporciones con la variable en el numerador usando Álgebra.

¿Te gusta leer libros largos o cortos?

Candice ama leer libros realmente largos. El primero que eligió tenía más de 800 páginas. El siguiente tenía 825 páginas. Ella no lee muy rápido, pero disfruta todos los detalles que tienen los libros muy largos. A menudo, va a la librería a buscar libros que tengan muchas páginas. Cuando encuentra uno que parece tener el tamaño adecuado, lo saca de la repisa para ver si le interesa el tema.

Después de 12 semanas, Candice había terminado de leer dos libros. Estaba muy orgullosa de sí misma, pues había leído más de 1.600 páginas en total. Considerando esto, Candice pensó sobre su lectura. Había terminado el primer y segundo libro en casi la misma cantidad de tiempo.

Con estos datos, ¿Cuánto le tomó a Candice leer 1 libro?

Ya que Candice leyó dos libros en la misma cantidad de tiempo, puedes usar una proporción para resolver este problema. Las proporciones se forman por razones iguales. Usa esta Sección para aprender sobre proporciones, luego serás capaz de calcular el tiempo que le toma a Candice leer un libro grande.

Orientación

A veces, es difícil usar solo el razonamiento proporcional para calcular el valor faltante en una proporción. Cuando pasa esto, podemos usar álgebra para calcularlo.

Usar álgebra involucra pensar en la multiplicación o división en relación a los valores de la proporción. A veces, multiplicarás como lo hicimos en la sección anterior y, a veces, dividirás. Como sea, usaremos nuestro conocimiento algebraico para encontrar la variable.

Encuentra el valor de $x \ \frac{x}{10} = \frac{24}{30}$

Aquí podemos empezar observando la relación entre los denominadores. Puedes ver que $10 \times 3 = 30$ .

Ahora no estamos buscando el múltiplo del primer numerador; pero tenemos el segundo numerador. Tenemos que hacer la operación inversa a la multiplicación para encontrar el valor de la variable.

Tenemos el valor 24 como el numerador. La operación inversa a la multiplicación es la división.

Podemos dividir 24 por 3 para encontrar el otro numerador.

$24 \div 3 = 8$

El valor de $x$ es 8.

A veces, tendremos proporciones equivalentes. Esto significa que dos proporciones son iguales a la otra. Cuando pasa esto, tendrás un total de 4 razones, pero cada uno será equivalente. Miremos un ejemplo.

$\frac{1}{2} &= \frac{2}{4}\\\\frac{3}{6} &= \frac{6}{12}$

Cada una de estas razones tiene la misma cantidad. Por lo tanto, todos son equivalentes.

Se escribieron como dos proporciones, pero todas son proporciones equivalentes.

¿Por qué tenemos proporciones equivalentes?

Bueno, puedes pensar en situaciones cotidianas que representan proporciones equivalentes. Se pueden encontrar situaciones cotidianas que puedan tener proporciones equivalentes en la cocina.

Tania y su mamá están horneando galletas para una fiesta. No saben con certeza cuántas personas vienen a la fiesta. No están seguras si deben doblar, triplicar o cuadruplicar los ingredientes. La razón del azúcar a la harina es $\frac{1}{3}$ . ¿Cómo cambiaría esto si cambian la receta al doble, triple o cuádruple de ingredientes?

Piensa sobre esto. Podemos deducir que todas las razones serán equivalentes porque comenzamos con la misma medida. Comenzamos con $\frac{1}{3}$ . Para doblarlo, multiplicamos cada valor por 2. Para triplicarlo, por 3 y para cuadriplicarlo, por 4.

$\frac{1}{3} &= \frac{2}{6}\\\ \frac{3}{9} &= \frac{4}{12}$

Observa que las relaciones entre las razones en la segunda proporción no son notorias, pero siguen siendo equivalentes.

Usa la operación inversa para encontrar el valor de cada variable desconocida.

Ejemplo A

$\frac{2}{5} = \frac{6}{x}$

Solución: $x = 15$

Ejemplo B

$\frac{a}{9} = \frac{20}{36}$

Solución: $a = 5$

Ejemplo C

$\frac{4}{b} = \frac{24}{36}$

Solución: $b = 6$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Con estos datos, ¿Cuánto le tomó a Candice leer 1 libro?

Primero, escribamos una proporción para mostrar que a Candice le tomó 12 semanas leer dos libros.

$\frac{12 \ weeks}{2 \ books}$

Luego, ella leyó dos libros en la misma cantidad de tiempo, por lo que podemos establecer una proporción para mostrar que estas razones son iguales.

$\frac{12 \ weeks}{2 \ books} = \frac{x} {1 \ book}$

Ahora podemos mirar la relación entre los denominadores y determinar el numerador faltante.

$2 \div 2 = 1$

Podemos hacer lo mismo con el numerador.

$12 \div 2 = 6$

A Candice le tomó 6 semanas leer un libro.

Vocabulario

Razón: Una comparación entre dos cantidades. Podemos escribirlas en la forma de fracción, usando dos puntos o las palabras "es a".

Razones Equivalentes: Dos razones iguales.

Proporción: Cuando dos razones son iguales, forman una proporción.

Razonamiento Proporcional: Deducir la relación entre los numeradores o los denominadores de una proporción. Siempre que tengas una proporción, hay algún tipo de relación entre los valores.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

En la oficina del veterinario, la razón de los gatos a los perros en la sala de espera es 2 es a 3. Si hay 6 perros en la sala de espera, establece una proporción que pueda usarse para encontrar el número de gatos en la sala de espera.

Respuesta

Una forma de establecer una proporción para este problema sería escribir dos razones equivalentes, cada una comparando gatos a perros. Luego podemos encontrar el número de gatos.

La razón de los gatos a los perros es 2 es a 3. Por lo tanto, podemos expresar esta razón como una fracción.

$\frac{cats}{dogs} = \frac{2}{3}$

Escribiremos una segunda razón para comparar gatos a perros en la sala de espera. Sabeos que hay un total de 6 perros en la sala de espera. No sabemos el número total de gatos. Por lo tanto, podemos usar la variable $c$ , para representar el número desconocido de gatos y establecer una segunda razón equivalente.

$\frac{cats}{dogs} = \frac{c}{6}$

Ya que estas dos razones son equivalentes, podemos ponerlas juntas para formar una proporción.

$\frac{2}{3} = \frac{c}{6}.$

Para encontrar el número total de gatos en la consulta del veterinario, encuentra $c$ con esta proporción . La proporción no muestra la relación entre los primeros términos en las razones (los numeradores de las fracciones).

Necesitamos encontrar la relación entre los segundos términos en las razones (los denominadores de las fracciones).

Podemos preguntarnos: "¿qué número, multiplicado por 3, da 6?"

Ya que $3 \times 2 = 6$ , podemos multiplicar por 2 para encontrar el valor de $c$ .

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} = \frac{c}{6}$

Por lo tanto, el valor de $c$ es 4. Eso significa que hay 4 gatos en la sala de espera.

Video de repaso

Aquí hay un video para repasar.

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This James Sousa video is about solving proportions.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones : Resuelve las siguientes proporciones.

1. $\frac{1}{2} = \frac{x}{8}$

2. $\frac{1}{2} = \frac{5}{x}$

3. $\frac{1}{3} = \frac{4}{x}$

4. $\frac{2}{3} = \frac{x}{6}$

5. $\frac{1}{2} = \frac{x}{16}$

6. $\frac{5}{6} = \frac{x}{12}$

7. $\frac{14}{16} = \frac{x}{8}$

8. $\frac{1}{2} = \frac{x}{18}$

9. $\frac{1}{4} = \frac{x}{20}$

10. $\frac{1}{4} = \frac{x}{24}$

11. $\frac{3}{6} = \frac{x}{18}$

12. $\frac{4}{5} = \frac{x}{2.5}$

13. $\frac{3}{7} = \frac{x}{21}$

14. $\frac{3}{8} = \frac{x}{48}$

15. $\frac{1}{8} = \frac{x}{18}$

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