Proporciones Usando Productos Cruzados

En esta sección aprenderás a resolver proporciones usando productos cruzados.

¿Recuerdas a Manuel, que estaba leyendo los libros sobre caballeros medievales en la Sección de Proporciones? Después de terminar de leer la serie, se la prestó a su amigo Rafael. Rafael está disfrutando de la serie tanto como lo hizo Manuel.

En cinco semanas, Rafael ya había terminado 8 de los 12 libros. A Manuel le tomó 7,5 semanas leer los 12 libros. ¿Rafael y Manuel terminarán la serie en la misma cantidad de tiempo? ¿Los chicos están leyendo al mismo ritmo? ¿Cómo puedes calcularlo?

Para calcular esto, necesitarás saber cómo determinar si dos razones forman una proporción. Si el ritmo de lectura de los chicos es igual, las razones formarán una proporción.

Usa esta Sección para aprender cómo resolver proporciones usando productos cruzados. Entonces sabrás como calcular este problema.

Orientación

Anteriormente aprendimos que una proporción nos dice que dos razones son equivalentes. Aquí hay dos proporciones.

$\frac{a} {b} = \frac{c} {d} \qquad \text{or} \qquad a : b = c : d$

En una proporción, los medios son los dos términos que están más juntos cuando la proporción se escribe con dos puntos. Así, en $a : b = c : d$ , los medios son $b$ y $c$ .

Los extremos son los dos términos en una proporción que están más lejos cuando la proporción se escribe con dos puntos. Así, en $a : b = c : d$ , los extremos son $a$ y $d$ .

El siguiente diagrama muestra cómo identificar los medios y los extremos en una proporción.

En la lección pasada, aprendiste a cómo resolver proporciones usando el razonamiento proporcional. También podemos encontrar una variable a través de una proporción de otra forma. Ahora es cuando usaremos la propiedad de las proporciones de los productos cruzados.

¿Cuál es la Propiedad de las Proporciones de los Productos Cruzados?

La Propiedad de las Proporciones de los Productos Cruzados establece que el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Puedes encontrar estos productos cruzados multiplicando cruzado como se muestra a continuación.

$\frac{a}{b} &= \frac{c}{d}\\\b \cdot c &= a \cdot d$

$\frac{a}{4} = \frac{6}{8}$

Para resolver esto, podemos multiplicar los medios y los extremos.

$a \cdot 8 &= 4 \cdot 6 \\\8a & = 24$

Luego, resolvemos la ecuación para encontrar la variable faltante. Para hacerlo, usamos la operación inversa. En este problema hay una multiplicación, por lo que usaremos la división para resolverla. Dividimos ambos lados por 8.

$\frac{8a}{8} &= \frac{24}{8}\\\ a &= 3$

Nuestra respuesta es 3.

Encuentra cada variable del numerador usando los productos cruzados.

Ejemplo A

$\frac{x}{5} = \frac{6}{10}$

Solución: $x = 3$

Ejemplo B

$\frac{a}{9} = \frac{15}{27}$

Solución: $a = 5$

Ejemplo C

$\frac{b}{4} = \frac{12}{16}$

Solución: $b = 3$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Manuel estaba leyendo todos los libros sobre caballeros medievales. Después de terminar de leer la serie, se la prestó a su amigo Rafael. Rafael está disfrutando de la serie tanto como lo hizo Manuel.

Escribamos una proporción para resolver este problema.

$\frac{8 \ books}{5 \ weeks} = \frac{12 \ books}{7.5 \ weeks}$

Luego, podemos usar los productos cruzados para ver si las dos razones forman una proporción. Si lo hacen, entonces los dos chicos terminarán la serie en la misma cantidad de tiempo.

$8 \times 7.5 &= 60\\\5 \times 12 & = 60$

Los dos productos cruzados son iguales, por lo que las dos razones forman una proporción. Los dos chicos terminarán la serie en la misma cantidad de tiempo.

Vocabulario

Proporción: Cuando dos razones son iguales, forman una proporción.

Medios: Los valores de una proporción que están más cerca cuando la razón se escribe usando dos puntos.

Extremos: Los valores de una proporción que están más lejos cuando la razón se escribe usando dos puntos.

Propiedad de las Proporciones de los Productos Cruzados: Establece que los productos cruzados de dos razones serán iguales si las dos razones forman una proporción.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

La razón de los niños a las niñas en el coro de la escuela es de 4 es a 5. Hay un total de 20 niños en el coro. ¿Cuánto estudiantes en total hay en el coro?

Respuesta

La razón dada, 4 es a 5, compara los niños a las niñas. Sin embargo, la pregunta nos pide el número total de estudiantes en el coro.

Una forma de establecer una proporción para este problema sería escribir dos razones equivalentes, cada uno comparando a los niños con el total de estudiantes.

La razón de niños a niñas es 4 es a 5. Podemos usar esta razón para encontrar la razón de niños al total de estudiantes.

$\frac{boys}{total} = \frac{boys}{boys + girls} = \frac{4}{4 + 5} = \frac{4}{9}$

Sabes que hay 20 niños en el coro. El número total de estudiantes es desconocido, por lo que lo representamos como $x$ .

$\frac{boys}{total} = \frac{20}{x}$

Haz que las razones sean iguales para formar una proporción. Luego multiplica cruzado para encontrar $x$ .

$\frac{4}{9} &= \frac{20}{x}\\\9 \cdot 20 &= 4 \cdot x\\\180 &= 4x\\\\frac{180}{4} &= \frac{4x}{4}\\\45 &= x$

Por lo tanto, hay un total de 45 estudiantes en el coro escolar.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on solving proportions.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Usa los productos cruzados para encontrar el valor de la variable en cada proporción.

1. $\frac{6}{10} = \frac{x} {5}$

2. $\frac{2}{3} = \frac{x} {9}$

3. $\frac{4}{9} = \frac{a} {45}$

4. $\frac{7}{8} = \frac{a} {4}$

5. $\frac{b}{8} = \frac{5} {16}$

6. $\frac{6}{3} = \frac{x} {9}$

7. $\frac{4}{x} = \frac{8} {10}$

8. $\frac{1.5}{y} = \frac{3} {9}$

9. $\frac{4}{11} = \frac{c} {33}$

10. $\frac{2}{6} = \frac{5} {y}$

11. $\frac{2}{10} = \frac{5} {x}$

12. $\frac{4}{12} = \frac{6} {n}$

13. $\frac{5}{r} = \frac{70} {126}$

14. $\frac{4}{14} = \frac{14} {k}$

15. $\frac{8}{w} = \frac{6} {3}$

16. $\frac{2}{5} = \frac{17} {a}$

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