Proporciones con Variable en el Denominador

En esta sección aprenderás a resolver proporciones con una variable en el denominador usando productos cruzados.

¿Recuerdas a Rafael de la Sección anterior? Bueno, él encontró otros autores que le gustan y está muy ocupado leyendo.

En seis semanas, Rafael leyó 8 libros. Si continúa leyendo al mismo ritmo, ¿Cuántos libros habrá leído en 9 semanas?

Aquí hay una proporción para describir esta situación.

$\frac{weeks}{books} = \frac{weeks}{books}$

Esta sección te enseñará a cómo llenar la información dada y resolver este problema.

Orientación

En una Sección anterior, aprendiste a usar productos cruzados para resolver cuando la variable está en el numerador. ¿Qué pasa cuando la variable está en el denominador?

Puedes usar los productos cruzados para resolver estas proporciones.

Usa la propiedad de las proporciones de los productos cruzados para encontrar $r \ \frac{2}{8} = \frac{7}{r}$ .

La Propiedad de las Proporciones de los Productos Cruzados establece que el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Los medios en esta proporción son 8 y 7. Los extremos son 2 y $r$ . Encuentra los productos cruzados y despeja $r$ .

$\frac{2}{8} &= \frac{7}{r}\\\8 \cdot 7 &= 2 \cdot r\\\56 &= 2r$

En $2r$ ,el 2 y la $r$ se multiplican. El opuesto a la multiplicación es la división. Para encontrar el valor de $r$ , divide ambos lados de la ecuación por 2.

$56 &= 2r\\\\frac{56}{2} &= \frac{2r}{2}\\\28 &= r$

El valor de $r$ es 28.

Usa la propiedad de las proporciones de los productos cruzados para encontrar $s \ \frac{4}{s} = \frac{10}{15}$ .

Los medios en esta proporción son $s$ y 10. Los extremos son 4 y 15. Encuentra los productos cruzados para despejar $s$ .

$\frac{4}{s} &= \frac{10}{15}\\\s \cdot 10 &= 4 \cdot 15\\\10s &= 60\\\\frac{10s}{10} &= \frac{60}{10}\\\s &= 6$

El valor de $s$ es 6.

Ahora haz algunos por ti mismo. Resuelve usando productos cruzados.

Ejemplo A

$\frac{4}{7} = \frac{16}{x}$

Solución: $x = 28$

Ejemplo B

$\frac{5}{9} = \frac{35}{y}$

Solución: $y = 63$

Ejemplo C

$\frac{9}{a} = \frac{18}{33}$

Solución: $x = 16.5$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

En seis semanas, Rafael leyó 8 libros. Si continúa leyendo al mismo ritmo, ¿Cuántos libros habrá leído en 9 semanas?

Aquí hay una proporción para describir esta situación.

$\frac{weeks}{books} = \frac{weeks}{books}$

Ahora, llenemos con lo que conocemos.

$\frac{6}{8} = {9}{x}$

Usa los productos cruzados y el álgebra para resolver.

$6x = 72$

$x = 12$

Con esta tasa, Rafael habrá leído 12 libros en ese tiempo.

Vocabulario

Proporción: Cuando dos razones son iguales, forman una proporción.

Medios: Los valores de una proporción que están más cerca cuando la razón se escribe usando dos puntos.

Extremos: Los valores de una proporción que están más lejos cuando la razón se escribe usando dos puntos.

Propiedad de las Proporciones de los Productos Cruzados: Establece que los productos cruzados de dos razones serán iguales si las dos razones forman una proporción.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

Cada lápiz que se vende en la tienda escolar cuesta lo mismo. Caryn pagó $1,12 por 14 lápices en la tienda escolar. Arnob también compró lápices, pero él pagó $0,48 por los lápices que compró. Escribe una proporción que represente $n$ ,el número de lápices que Arnob compró.

Respuesta

Cuando establecemos una proporción, debemos asegurarnos de usar términos consistentes. Una forma de establecer una proporción sería escribir dos razones equivalentes, cada una comparando el precio total con el número de lápices.

Sabemos que Caryn pagó $1,12 por 14 lápices. Así que una razón sería esta.

$\frac{price}{pencils} = \frac{1.12}{14}$

Sabemos que Arnob pagó $0,48. El número de lápices que él compró es desconocido, así que usamos $n$ para representar ese número.

$\frac{price}{pencils} = \frac{0.48}{n}$

Ya que estas dos razones son equivalentes, podemos ponerlas juntas para formar una proporción.

$\frac{1.12}{14} = \frac{0.48}{n}$

La proporción anterior se podría usar para encontrar $n$ , el número de lápices que Arnob compró.

Si Jake fuera con ellos dos a comprar lápices y consiguiera algunos lápices iguales, él también tendría una razón que sería equivalente a estas dos razones. La situación es la misma. Todos compran lápices. Los lápices cuestan lo mismo. Por lo tanto, tenemos proporciones equivalentes cuando comparemos los lápices obtenidos con el precio de los lápices.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on solving proportions.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones : Resuelve cada proporción usando productos cruzados y álgebra.

1. $\frac{3}{5} = \frac{6}{x}$

2. $\frac{5}{10} = \frac{15}{x}$

3. $\frac{6}{7} = \frac{12}{x}$

4. $\frac{6}{7} = \frac{36}{x}$

5. $\frac{9}{11} = \frac{81}{x}$

6. $\frac{4}{12} = \frac{16}{x}$

7. $\frac{16}{17} = \frac{32}{x}$

8. $\frac{14}{15} = \frac{18}{x}$

9. $\frac{13}{15} = \frac{39}{x}$

10. $\frac{14}{15} = \frac{7}{x}$

11. $\frac{18}{19} = \frac{9}{x}$

12. $\frac{22}{25} = \frac{11}{x}$

13. $\frac{14}{18} = \frac{42}{x}$

14. $\frac{21}{12} = \frac{42}{x}$

15. $\frac{19}{23} = \frac{9.5}{x}$

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