Unidad a Escala para Encontrar Dimensiones Reales

En esta sección aprenderás a usar la unidad a escala para encontrar dimensiones reales a partir de modelos, dibujos o mapas a escala.

¿Recuerdas a Jeremy y su abuelo de la Sección anterior? Bien, ellos usaron el librero real para crear un diseño usando una unidad a escala. Ahora, Jeremy calculará el tamaño real de un librero real usando un dibujo. Mira esto.

Jeremy tiene un dibujo del librero que muestra que el librero tiene $5.5$ pulgadas de altura. La escala es 2 pulgadas = 1 pie.

Con esta escala, ¿Cuál es la altura real del librero?

Esta Sección te mostrará cómo usar la unidad a escala para calcular las dimensiones reales. Observaremos este problema de nuevo al final de la Sección.

Orientación

A veces, tendrás un dibujo, mapa o modelo a escala primero. No te darán las dimensiones reales. En vez de eso, deberás usar la unidad a escala que acompaña el modelo, dibujo o mapa a escala para calcular las dimensiones reales.

Esto pasa a menudo con los mapas. Miras al mapa y tratas de calcular qué tan lejos está una ciudad de otra. La escala en la parte inferior del mapa te puede ayudar. Si la escala dice que 1" = 100 millas y el mapa indica que hay 4 pulgadas entre una ciudad y otra, entonces puedes decir que la distancia real entre las dos ciudades es 400 millas.

Hector hizo este modelo a escala de la Estatua de la Libertad. La altura a escala de su modelo, de la base a la antorcha, es 4,65 centímetros. Encuentra la altura real de la Estatua de la Libertad.

Escribe la unidad a escala como una razón.

$\frac{centimeters}{meters} = \frac{1}{10}$

La altura a escala del modelo es 4,65 centímetros. Usa $h$ para representar la altura real de la Estatua de la Libertad.

$\frac{centimeters}{meters} = \frac{4.65}{h}$

Establece una proporción y resuélvela para encontrar la altura real, $h$ .

$\frac{1}{10} &= \frac{4.65}{h}\\\10 \cdot 4.65 &= 1 \cdot h\\\46.5 &= h$

La altura real de la Estatua de la Libertad, de la base a la antorcha, es 46,5 metros.

Hasta ahora, hemos considerado dibujos y modelos a escala que se usan para representar objetos muy grandes. Los dibujos o modelos a escala también nos pueden ayudar a representar objetos muy pequeños.

Un escarabajo que observó Amelia era muy pequeño para dibujarlo con su tamaño real. Así que hizo un dibujo a escala.

En su dibujo, la longitud del escarabajo era 4,8cm. ¿Cuál era la longitud real del escarabajo?

Escribe la unidad a escala, 0,4cm = 1mm, como una razón.

$\frac{centimeters}{millimeters} = \frac{0.4}{1}$

En el dibujo a escala, el escarabajo tiene una longitud de 4,8 centímetros. Usa $m$ para representar la longitud real, en milímetros, del escarabajo.

$\frac{centimeters}{millimeters} = \frac{4.8}{m}$

Establece una proporción y resuélvela para encontrar la longitud real, $m$ .

$\frac{0.4}{1} &= \frac{4.8}{m}\\\1 \cdot 4.8 &= 0.4 \cdot m\\\4.8 &= 0.4m\\\\frac{4.8}{0.4} &= \frac{0.4m}{0.4}\\\12 &= m$

La longitud real del escarabajo que Amelia observó era 12 milímetros.

Ahora es tu turno. Usa la unidad a escala 1" = 200 millas para encontrar las dimensiones reales de la distancia en el mapa.

Ejemplo A

500 millas

Solución: 2.5 pulgadas

Ejemplo B

600 millas

Solución: 3 pulgadas

Ejemplo C

3000 millas

Solución: 15 pulgadas

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Jeremy tiene un dibujo del librero que muestra que el librero tiene $5.5$ pulgadas de altura. La unidad a escala dice, $2 \ in = 1 \ ft$ .

Con esta escala, ¿Cuál es la altura real del librero?

Para resolver este problema, podemos escribir una proporción y resolverla para encontrar el valor faltante.

$\frac{2}{1} = \frac{x}{5.5}$

Multiplica cruzado y resuelve

$x = 11$

La altura real del librero es 11 pies.

Vocabulario

Razón: Una comparación entre dos cantidades. Podemos escribirlas en la forma de fracción, usando dos puntos o las palabras "es a"

Proporción: Cuando dos razones son iguales, forman una proporción.

Dibujos a Escala: Un dibujo más pequeño que se usa para representar un edificio o modelo más grande o tamaño real.

Unidad a Escala: Una medida que representa las medidas reales de un edificio más grande o tamaño real, un mapa o un objeto. Por ejemplo, 1" = 2 pies sería una unidad a escala.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

El siguiente mapa muestra las distancias entre tres ciudades.

a. En el mapa, la distancia entre Smithville y Frankton es $2 \frac{1}{4}$ pulgadas. Encuentra la distancia real en línea recta entre Smithville y Frankton.

b. En el mapa, la distancia entre Frankton y Blair es $1 \frac{1}{2}$ pulgadas. Encuentra la distancia real en línea recta entre Frankton y Blair.

c. ¿Por cuántas millas Frankton está más cerca de Blair que de Smithville?

Respuesta

Primero, miremos la información que nos dieron. Luego, podemos usar esta información para resolver cada parte del problema. Observa que hay tres partes, $a, b$ y $c$ .

La unidad a escala es $\frac{1}{4} \ in. = 2 \ mi$ . Expresa esa razón como una fracción. Ya que $\frac{1}{4} = 0.25$ , usa 0,25 millas como el primer término de la razón.

$\frac{pulgadas }{miles} = \frac{0.25}{2}$

Ahora, empecemos con la parte $a$ .

Sabes que la distancia a escala entre Smithville y Frankton es $2 \frac{1}{4}$ pulgadas. La distancia real entre esas dos ciudades es desconocida, así que usa $x$ para representar esta distancia. Escribe una razón que lo represente. Ya que $2 \frac{1}{4} = 2.25$ , usa 2,25 como el primer término.

$\frac{pulgadas }{miles} = \frac{2.25}{x}$

Establece una proporción usando la unidad a escala y la razón anterior y encuentra $x$ .

$\frac{0.25}{2} &= \frac{2.25}{x}\\\2 \cdot 2.25 &= 0.25 \cdot x\\\4.5 &= 0.25x\\\\frac{4.5}{0.25} &= \frac{0.25x}{0.25}\\\18 &= x$

La distancia real entre Smithville y Frankton es 18 millas.

Ahora, vamos con la parte $b$ .

Sabes que la distancia a escala entre Frankton y Blair es $1 \frac{1}{2}$ pulgadas. La distancia real entre esas dos ciudades es desconocida, así que usa $x$ para representar esta distancia. Escribe una razón que lo represente. Ya que $1 \frac{1}{2} = 1.5$ , usa 2,25 como el primer término.

$\frac{pulgadas }{miles} = \frac{1.5}{x}$

Establece una proporción usando la unidad a escala y la razón anterior y encuentra $x$ .

$\frac{0.25}{2} &= \frac{1.5}{x}\\\2 \cdot 1.5 &= 0.25 \cdot x\\\3 &= 0.25x\\\\frac{3}{0.25} &= \frac{0.25x}{0.25}\\\12 &= x$

La distancia real entre Frankton y Blair es 12 millas.

Finalmente, vamos con la parte $c$ .

Sabemos que Smithville está a 18 millas de Frankton, y que Blair está a 12 millas de Frankton. Así que podemos restar para encontrar cuánto más cerca está Frankton de Blair que de Smithville.

$18 - 12 = 6$

Frankton está más cerca de Blair por 6 millas que de Smithville.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on unit scale.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Usa la escala dada para determinar la distancia real.

Dada: Escala 1" = 100 millas

1. ¿Cuántas millas son 2" en el mapa?

2. ¿Cuántas millas son $2\frac{1}{2} inch$ en el mapa?

3. ¿Cuántas millas son $\frac{1}{4} inch$ en el mapa?

4. ¿Cuántas millas son 10 pulgadas en el mapa?

5. ¿Cuántas millas son 11 pulgadas en el mapa?

6. ¿Cuántas millas son 12.5 pulgadas en el mapa?

7. ¿Cuántas millas son $\frac{1}{2}$ pulgadas en el mapa?

8. ¿Cuántas millas son $5 \frac{1}{4}$ pulgadas en el mapa?

Dada: 1 cm = 20 millas

9. ¿Cuántas millas son 2 cm en el mapa?

10. ¿Cuántas millas son 4 cm en el mapa?

11. ¿Cuántas millas son 8.5 cm en el mapa?

12. ¿Cuántas millas son 19 cm en el mapa?

13. ¿Cuántas millas son 13 cm en el mapa?

14. ¿Cuántas millas son $\frac{1}{2}$ cm en el mapa?

15. ¿Cuántas millas son $1 \frac{1}{2}$ cm en el mapa?

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