Factor de Escala para Encontrar Dimensiones Reales

En esta sección aprenderás a usar el factor de escala para encontrar dimensiones reales a partir de modelos, dibujos o mapas a escala.

¿Recuerdas el desafío de lectura? Observa este problema.

La señorita Henderson está emocionada con el progreso de sus estudiantes en el desafío de lectura. Como recompensa, ha decidido hacer una pequeña esquina de lectura en la parte de atrás de la sala. Consiguió que le donaran unos pocos sillones acolchados y un sofá pequeño. Cuando los estudiantes llegaron la mañana del lunes, estaban felices.

"¡Wow! ¡Esto es increíble!" Exclamaron mientras se turnaban para usar los muebles.

"Necesitaremos un tapete pequeño" dijo la señorita Henderson.

Dibujó un rectángulo en la pizarra.

"Este tapete tiene un factor de escala de $\frac{1}{10}$ . Si la longitud del tapete es 6" en este dibujo y el ancho es 3", entonces, ¿cuál es el área del tapete?"

"Señorita Henderson, esto no es matemáticas", dijo Jessica sonriendo.

"Un poco de matemáticas no le hace daño a nadie, comencemos".

Mientras los estudiantes trabajan en este problema, es tu turno de aprender sobre factores de escala en esta Sección.

Orientación

La relación entre las dimensiones de un modelo o dibujo a escala y las dimensiones reales del objeto que se representa se describen en una razón. Un tipo de razón que se puede usar se llama unidad a escala , en la que las unidades de medida se usan para relacionar las dimensiones a escala con las reales. Por ejemplo, una unidad a escala de un dibujo a escala puede ser: 1 centímetro = 2 metros.

Otra razón que se puede usar se llama factor de escala. Como una unidad a escala, un factor de escala relaciona las dimensiones a escala con las dimensiones reales. Sin embargo, lo hace sin tomar en cuenta las unidades específicas.

Un factor de escala de un dibujo a escala puede ser $\frac{1}{200}$ .

Si piensas sobre la unidad a escala que te mostramos, 1 centímetro a 2 metros, el factor de escala sería 1 es a 2.

Veamos cómo podemos trabajar con factores de escala cuando nos dan las dimensiones reales.

Supón que quieres hacer un modelo a escala o un dibujo a escala. Necesitarás saber las dimensiones del objeto que quieres representar. Entonces, podrías elegir un factor de escala para tu modelo o dibujo. Usarás ese factor de escala para crear el dibujo.

Ya que un factor de escala ignora las unidades de medida, necesitarás convertir las unidades de longitud para resolver problemas que involucren dibujos y modelos a escala. Saber la unidad de conversión en esta tabla te ayudará a convertir las unidades de longitud.

Unidades de Longitud Habituales	Unidades Métricas de Longitud
1 pie (ft) = 12 pulgadas (in)	1 metro (m) = 100 centímetros (cm) = 100 milímetros (mm)
1 yarda (yd) = 3 pies (ft)
1 milla (mi) = 1760 yardas (yd) = 5280 pies (ft)	1 kilómetro (km) = 1000 metros (m)

Escribe estas conversiones en tu cuaderno y luego continúa. De esta forma puedes buscarlas mientras trabajas.

Un avión pequeño tiene alas con una longitud de 16 pies. Finn quiere hacer un modelo a escala del avión. El factor de escala de su modelo será $\frac{1}{48}$ . Encuentra la longitud de las alas de su modelo del avión en pulgadas.

El factor de escala compara las dimensiones del modelo a escala a las dimensiones del avión real.

$\frac{scale}{actual} = \frac{1}{48}$

La longitud de las alas del avión real es de 16 pies. Usa $w$ para representar la longitud de las alas desconocida del modelo de avión.

$\frac{scale}{actual} = \frac{w}{16}$

Establece una proporción y resuélvela para encontrar la longitud de las alas del modelo a escala $w$ .

$\frac{1}{48} &= \frac{w}{16}\\\48 \cdot w &= 1 \cdot 16\\\48w &= 16\\\\frac{48w}{48} &= \frac{16}{48}\\\w &= \frac{16}{48} = \frac{16 \div 16}{48 \div 16} = \frac{1}{3}$

La longitud de las alas del modelo de avión será $\frac{1}{3}$ pies.

La pregunta pide la longitud de las alas en pulgadas. Convierte $\frac{1}{3}$ pies a pulgadas.

Sabemos que 1 pie = 12 pulgadas. Una forma de encontrar el número de pulgadas en $\frac{1}{3}$ pies es multiplicar $\frac{1}{3}$ por 12.

$\frac{1}{3} \ foot = \frac{1}{3} \times 12 = \frac{1}{3} \times \frac{12}{1} = \frac{12}{3} = 4 \ pulgadas$

La longitud de las alas del modelo de avión será 4 pulgadas o $\frac{1}{3}$ pies.

El lado más largo de un jardín triangular es de 5,5 metros. Leah quiere hacer un dibujo a escala del jardín. El factor de escala de su dibujo será $\frac{1}{200}$ . ¿Cuál será la longitud del lado más largo del jardín en su dibujo?

El factor de escala compara las dimensiones del dibujo a escala a las dimensiones del jardín real.

$\frac{scale}{actual} = \frac{1}{200}$

La longitud real del jardín es 5,5 metros. Usa $l$ para representar la longitud desconocida del jardín en el dibujo a escala.

$\frac{scale}{actual} = \frac{l}{5.5}$

Establece una proporción y resuélvela para encontrar la longitud a escala, $l$ .

$\frac{1}{200} &= \frac{l}{5.5}\\\200 \cdot l &= 1 \cdot 5.5\\\200 l &= 5.5\\\\frac{200 l}{200} &= \frac{5.5}{200}\\\l &= 0.0275$

Si no estás seguro de cómo dividir 5,5 por 200, aquí hay una forma de hacerlo:

$&5.5 = 5.5000, \ \text{so} && \overset{ \quad \ 0.0275}{200 \overline{ ) { \ 5.5000 \;}}}\\\&&& \quad \ \ \ \underline{-400\;\;}\\\&&& \qquad \ 1500\\\&&& \qquad \ \underline{-1400\;\;}\\\&&& \qquad \quad 1000\\\&&& \qquad \ \underline{-1000\;\;}\\\&&& \qquad \qquad \ \ 0$

Ya que la longitud real es 5,5 metros , la longitud del jardín en el dibujo a escala es 0,0275 metros .

Convierte esa longitud a escala a centímetros. Escribe una razón para la conversión de unidades: 1 metro = 100 centímetros. Entonces escribe una segunda razón para comparar $x$ , la longitud a escala desconocida, en centímetros, a la longitud a escala que conocemos en metros.

$\frac{meters}{centimeters} = \frac{1}{100} && \frac{meters}{centimeters} = \frac{0.0275}{x}$

Establece una proporción y resuélvela para encontrar la longitud a escala en centímetros.

$\frac{1}{100}& = \frac{0.0275}{x}\\\100 \cdot 0.0275 &= 1 \cdot x\\\2.75 &= x$

La longitud del lado más largo del jardín en el dibujo a escala será 0,0275 metros o 2,75 centímetros. También puedes usar el factor de escala para encontrar las dimensiones reales de un objeto que se representa en un dibujo a escala o un modelo a escala.

Una hormiga que observó Alison era muy pequeña para dibujarla con su tamaño real. Así que Alison hizo el dibujo a escala que se muestra a continuación. El factor de escala del dibujo es 5. Encuentra la longitud real de la hormiga que observó Alison.

El factor de escala compara las dimensiones del dibujo a escala a las dimensiones de la hormiga real. Ya que $5 = \frac{5}{1}$ , podemos representar la razón como , $\frac{5}{1}$ .

$\frac{scale}{actual} = \frac{5}{1}$

La longitud a escala de la hormiga en el dibujo es 2,75 centímetros. Usa $l$ para representar la longitud desconocida de la hormiga real.

$\frac{scale}{actual} = \frac{2.75}{l}$

Establece una proporción y resuélvela para encontrar la longitud real, $l$ .

$\frac{5}{1} &= \frac{2.75}{l}\\\1 \cdot 2.75 &= 5 \cdot l\\\2.75 &= 5l\\\\frac{2.75}{5} &= \frac{5l}{5}\\\0.55 &= l$

Ya que la longitud a escala que usaste era 2,75 centímetros , la longitud de la hormiga real era 0,55 centímetros. .

Convierte esa longitud a escala a milímetros. Usa la conversión de unidad, 1 centímetro = 10 milímetros, para escribir una razón.

$\frac{centimeters}{millimeters} = \frac{1}{10}$

Entonces escribe una segunda razón para comparar $x$ , la longitud a escala desconocida, en milímetros, a la longitud a escala que conocemos en centímetros.

$\frac{centimeters}{millimeters} = \frac{0.55}{x}$

Establece una proporción y resuélvela para encontrar la longitud a escala en centímetros.

$\frac{1}{10} &= \frac{0.55}{x}\\\10 \cdot 0.55 &= 1 \cdot x\\\5.5 &= x$

La longitud real de la hormiga era 0,55 centímetros o 5,5 milímetros.

Usa el factor de escala de 1 es a 3 para calcular las dimensiones realas dadas las siguientes dimensiones a escala.

Ejemplo A

9 pulgadas

Solución: 27 pulgadas

Ejemplo B

12 mm

Solución: 36 mm

Ejemplo C

15 pulgadas

Solución: 45 mm

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

"¡Wow! ¡Esto es increíble!" Exclamaron mientras se turnaban para usar los muebles.

"Necesitaremos un tapete pequeño" dijo la señorita Henderson.

Dibujó un rectángulo en la pizarra.

"Este tapete tiene un factor de escala de $\frac{1}{10}$ . Si la longitud del tapete es 6" en este dibujo y el ancho es 3", entonces, ¿cuál es el área del tapete?"

"Señorita Henderson, esto no es matemáticas", dijo Jessica sonriendo.

"Un poco de matemáticas no le hace daño a nadie, comencemos". #8221;

Primero, necesitamos calcular la longitud real del tapete y el ancho real del tapete con el dibujo y el factor de escala que tenemos. Aquí está la proporción para la longitud.

$\frac{1}{10} = \frac{6}{l}$

Observa que usamos “ $l$ ” para la longitud faltante. Usamos productos cruzados para calcular que la longitud es 60 pulgadas.

Lugo buscamos el ancho.

$\frac{1}{10} = \frac{3}{w}$

Usamos productos cruzados para calcular que el ancho es 30 pulgadas.

Luego, queremos encontrar el área del tapete. Queremos encontrarla en pies cuadrados. Primero, necesitamos convertir la longitud y el ancho de pulgadas a pies.

$60 \div 12 &= 5 \ feet\\\30 \div 12 &= 2.5 \ feet$

El área se encuentra multiplicando la longitud por el ancho.

$5 \times 2.5 = 12.5$ pies cuadrados.

Esta es el área del tapete.

Vocabulario

Unidad a Escala: Esta razón compara las dimensiones a escala de algo a las dimensiones reales. La unidad a escala incluye las unidades en la razón.

Factor de Escala: Esta razón compara la escala y las dimensiones reales sin las unidades. Usualmente, la respuesta a un problema con factor de escala incluirá algún tipo de conversión de unidad.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

El siguiente dibujo a escala muestra un tapete rectangular. El factor de escala de su dibujo es $\frac{1}{24}$ . ¿Cuál es el área, en pies cuadrados, del tapete real?

Respuesta

Puedes encontrar el área de un rectángulo multiplicando la longitud por el ancho: $A = lw$ .

Antes de poder encontrar el área real del tapete, debes encontrar la longitud y el ancho del tapete real.

El factor de escala compara las dimensiones del dibujo a escala a las dimensiones del tapete real.

$\frac{scale}{actual} = \frac{1}{24}$

La longitud a escala en el dibujo es 4 pulgadas y el ancho a escala es 2 pulgadas. Usa $l$ para representar la longitud real desconocida y usa $w$ para representar el ancho real desconocido.

$\frac{scale}{actual} = \frac{4}{l} \qquad \quad \frac{scale}{actual} = \frac{2}{w}$

establece una proporción y resuélvela para encontrar la longitud real, $l$ , y el ancho real, $w$ .

$&\frac{1}{24} = \frac{4}{l} && \frac{1}{24} = \frac{2}{w}\\\&24 \cdot 4 = 1 \cdot l && 24 \cdot 2 = 1 \cdot w\\\&96 =l && 48 = w$

Ya que las dimensiones a escala que usaste estaban en pulgadas , la longitud real es 96 pulgadas y el ancho real es 48 pulgadas.

Necesitas encontrar el área en pies cuadrados . Por lo tanto, convierte cada longitud a escala a pies antes de encontrar el área. Usa la conversión de unidades, 1 pie = 12 pulgadas.

$\frac{feet}{pulgadas } = \frac{1}{12}$

Luego escribe dos razones más. Debes comparar $x$ , la longitud real en pies, con la longitud a escala conocida en pulgadas. También debes comparar $y$ , el ancho real en pies, con el ancho a escala conocido en pulgadas.

$\text{ratio for length} = \frac{feet}{pulgadas } = \frac{x}{96} && \text{ratio for width:}\ \frac{feet}{pulgadas } = \frac{y}{48}$

Ahora, establece una proporción y resuélvela para convertir las dimensiones a pies.

$\frac{1}{12} &= \frac{x}{96} && \quad \frac{1}{12} = \frac{y}{48}\\\12 \cdot x &= 1 \cdot 96 && 12 \cdot y = 1 \cdot 48\\\12x &= 96 && \ \ 12y = 48\\\\frac{12x}{12} &= \frac{96}{12} && \ \ \frac{12y}{12} = \frac{48}{12}\\\x &= 8 && \quad \ \ x = 4$

Ahora, calcula el área en pies cuadrados.

$A = lw = 8 \ ft \cdot 4 \ ft = 32 \ ft^2$

El área del tapete es 32 pies cuadrados.

Te preguntarás por qué convertimos las dimensiones de pulgadas a pies antes de encontrar el área. Te preguntarás si simplemente podríamos haber encontrado el área, en pulgadas cuadradas, y luego convertir el área a pies cuadrados. Podríamos haberlo hecho, pero si lo hiciéramos, necesitaríamos ser cuidadosos pal convertir de pulgadas cuadradas a pies cuadrados

El área en pulgadas cuadradas es:

$A = lw = 96 \ in. \cdot 48 \ in. = 4608 \ in.^2$

¿Cómo convertimos de pulgadas cuadradas a pies cuadrados?

Sabemos que 1 pie = 12 pulgadas y $1 \ ft^2 = 1 \ ft \cdot 1 \ ft$ . Podemos usar esa información para calcular cuántas pulgadas cuadradas hay en un pie cuadrado:

$1 \ ft^2 = 1 \ ft \times 1 \ ft = 12 \ in. \times 12 \ in. = 144 \ in.^2$

Así, podríamos establecer una proporción y resolverla para convertir 4.608 pulgadas cuadradas a pies cuadrados, usando la razón: 1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas.

$\frac{1}{144} & = \frac{a}{4608}\\\144 \cdot a &= 1 \cdot 4608\\\144a &= 4608\\\\frac{144a}{144} &= \frac{4608}{144}\\\a &= 32$

Obtendríamos la misma respuesta, 32 pies cuadrados, para el área del tapete usando este método. Si eliges resolver el problema de esta forma, asegúrate de recordar que aunque 1 pie = 12 pulgadas, 1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas, no 12 pulgadas cuadradas.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on scale factor.

* Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada problema. Ten en cuenta que varios problemas pueden tener más de una parte.

1. Calvin dibujó un mapa de su vecindario. El factor de escala que usó para su mapa es $\frac{1}{800}$ . La distancia real entre la casa de Calvin y la de su mejor amigo Frank es 80 metros. ¿Cuál sería la distancia, en centímetros, entre esas dos casas en el dibujo a escala?

2. Si la distancia de la casa de Calvin al parque es 40 metros, ¿Cuál sería la distancia en centímetros?

3. Si la distancia de la casa de Calvin a la tienda es el doble de distancia de su casa a la de Frank, ¿Cuál sería la distancia en centímetros?

4. Si la distancia de la casa de Calvin a la de su abuela está a la mitad de camino entre la suya y la de su amigo Frank, ¿Cuál sería la distancia en centímetros?

5. Madeline construyó un modelo de un bote. La longitud real del bote es 24 pies. El factor de escala que usó para el modelo era $\frac{1}{36}$ . ¿Cuál sería la longitud, en pulgadas, del modelo de bote?

6. Si el factor de escala fuera $\frac{1}{72}$ , ¿Cuál sería la longitud en pulgadas del modelo de bote?

7. Un tubo de metal tiene 2,5 metros de largo. Josh quiere hacer un dibujo a escala del tubo. El factor de escala de su dibujo será $\frac{1}{100}$ . ¿Cuál será la longitud, en centímetros, del tubo de metal en su dibujo?

8. Sydra observó una mosca que era muy pequeña para dibujarla con su tamaño real. Así que hizo un dibujo a escala, usando 10 como factor de escala. La longitud real de la mosca era 8 milímetros. ¿Cuál es la longitud de la mosca en el dibujo de Sydra en milímetros?

9. ¿Cuál es la longitud de la mosca en el dibujo de Sydra en centímetros?

10. Luis hizo un modelo a escala de la casa para perros que va a construir. El factor de escala que usó para este modelo era $\frac{1}{24}$ . Quiere que la altura real de la casa para perros sea de 6 pies. ¿Cuál debería ser la altura de la casa para perros en su modelo a escala?

11. Jean-Marc usó un factor de escala de 5 para hacer el dibujo a escala de una polilla.

En el dibujo, la longitud de las alas de la polilla mide 3 centímetros. ¿Cuál es la longitud real de las alas, en milímetros, de la polilla que Jean Marc observó?

12. A continuación hay un dibujo a escala de una piscina. En el dibujo a escala, el diámetro de la piscina mide $1 \frac{1}{2}$ pulgadas. El factor de escala de su dibujo es $\frac{1}{72}$ . ¿Cuál es el diámetro real de la piscina en pies?

13. Barbara hizo un modelo a escala del Monumento a Washington. El factor de escala de su modelo es $\frac{1}{1332}$ . La altura de su modelo es 5 pulgadas. ¿Cuál es la altura real, en pies, del Monumento a Washington?

14. El siguiente mapa corresponde a un parque. Este mapa se creó usando un factor de escala de $\frac{1}{300}$ .

a. En el mapa, la distancia entre la caja de arena y los columpios es 2,5 centímetros. ¿Cuál es la distancia real entre la caja de arena y los columpios en metros?

b. En el mapa, la distancia entre la caja de arena y la pasarela es 1,7 centímetros. ¿Cuál es la distancia real entre la caja de arena y la pasarela en metros?

15. El siguiente dibujo a escala muestra el piso de la habitación de Julian.

El factor de escala de su dibujo es $\frac{1}{200}$ .

a. ¿Cuáles son las dimensiones, en metros, del piso real?

b. ¿Cuál es el área, en metros cuadrados, del piso real?

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